Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 4
Текст из файла (страница 4)
СО врс:!Они Выхода В свет пс11ВОГО издания кнша стим!а ОснОВ- ным учебником во многих вузах и университетах. Несмотря на то, что общий тираж предыдущих изданий превысил 240 тысяч экземпляров, книга превратилась в библиографическун1 редкость. В целях ускорения выпуска книги текст пятого издания перепечатывается стереотипно с чстверто1о издания. В. А. Ильин Июнь 1998 г. ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В Осеюву настоящсй книГЛ ПОЕ!Ожсны Ек:кцие!, .'Еитавшисся авторами на физическом факультете й!1 У в течение ряда лет. При написании книги авторы стремились к системати шости изложения и к выделению важнейших понятий и теорем. ТсорсТЕы, играющиЕ! Особо важнб ю роль, в тексте ~азваны ОСЕЕовныхЕИ.
Авторы стремились также не формулировать новых понятий и теорем задолго до их непосредственного использования. Порядок расположения материала в книге соотвстствуот устаповивппъЕуся на физическом факультете М1'У плану чтения курса лекций. В частности, изложению систематического курса в настоящей книге предшествует ШЕава 1 «Предварительные сведения об основных понятиях математического анализа!и В этой главе рассматриваются некоторые ваЕкные физические зада пл и обсуждакЕтся математические Сред!.тва, необходимые для их решения.
Таким путем выясняется тот круг вопросов и понятий, с которым придется иметь дело в курсе математического ана:и!за. Опыт чтения лекций показывает, что такое предварительное выяснение вопросов, которым посвящен курс анализа, существенно облЕегчает студентам усвоение абстрактных математических понятий. Возросшая роль вычислительной математики и приближенных ыстодов такжс нашла снос ОтражсшЕс В кепЕГс. Имсш!О ПО!!тому авторы стремились там, где ото возмоЕкпо, к алгоритмнчности изложения доказательств теорем и проводимых вычислений. В части!я:ти, в гл.
12 в первую очередь полчсркнута алгоритмическая сторона приближенных методов вы !НЕО!Опий и .лишь затем дано обоснование этих методов. Кроме основного материала, авторы сочли возможным включить в книгу нскоторыс дополнитольныс вопросы, напечатанные мелким шрифтом. При написании этон книги авторы исполь;ювали некоторые методические приемы из курса лекций Н. В. Ефимова Ел из известных книг Э.
Гурса, Ш. ~К. Валле-Пуссена и Ф. Франклина. 18 ИРЕДИСЛОВИЕ К 11ЕРВОМУ ИЗДЛЕ1ИЮ Авторы с и!тают своим приятным;(олгом выразить глубокую благодарность А. Н. Тихонову за многие нснныс идеи и указания и огромную похющьч оказанную на всех этапах написания этой книги. Авторы т !кикс ш!убоко благодарны И. А. ???Ишмарбву, работа которого по редактированию этой книги способствовала значительному сс улу ппсппю. Авторы искренне благодарят Н. В.
Ефимова, зЕ Д. Кудрявцева и особенно А. А. Самарского за большос количество мстодичсских прсдложкснн, Б. !?. Будака и С. В. Фомина за просмотр отдсльных ! лав и сделанные ими замечания, Б. Хих! чснко, Н. Заикина и А. Золотарева за помощь при подготовке рукописи к псчати. В. Ильин, 3. Позняк 1965 г. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВКДЕНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ МАТКМАТИк1ЕСКОГО АНАЛИЗА 'й' 1. Математические понятия, возникающие при описании движения 1. Математика изучает количественные отношения и пространственные формы окружающего нас мира. Э.гементарная математика ограничивается лишь первоначатьным изучением количественных отношений и пространственных форм, ибо она имеет дело в основном с постолггггыеин величинами и с прогтейгшикш геометрическими фигурами (треугоггьнггкакггг, окружностями и т.
и.). Понятий и методов злементарной математики оказывается недостаточно для описания механического движения и других протекающих но време ни процессов. Выясним, какие новые математические понятия необходимы для э гого ). 2. Со всяким процессом связано представление о перегиенной величине . т. с. о такой величине. которая в условиях данного процесса принимает различные значения. Более тог о, всякий процесс характеризуется по меньшей мере двумя переменными вслшгинами, изеиелгеяпе кете рык нгзаггмосакзгпгго.
Рассмотрим, например, механическое движение материальной точки по прямой линии. Это движение представляет собой процесс изменения положения точки на прямой;плнип с течением времени. С указанным процессом связаны две переменные воли гины — время и путь, пройдспныи точкой от начала отсчета. Для характеристики рассггатрггггаскгого движения нужно ') При игом мы ис будем стрекгигьсв к точным форыйлировкам, а постараемск лишь вьшснить гог круг- вопросов, с которым нам в дальнейшем прилетев иметь дело. 20 ГЛ. 1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ знать, на каком расстоянии от начата отсчета, находится точка в каждыи данный момент времени, т.
е. нужно знать завило>лмость пути. пройденного точкой, от, времени. В механике та- ку1О:зависимос1ь нттлыиак>т втаквнвм, де!!акен!ля. Иными слоВами, закон движения представляет собой правило, посредством которого каждому зна !сияю времени к ставится в соответствие определенное зна и ние пути у, пройденного точкой:за время к. Такого рода завпси>юстп между двумя псрсменнымн к и у, пртт которых каждому значению переменной тв ставится в соответствие определенное значение переменной у, встречая>тся не только прп расс !отрог!!ти механического движения материальнойт точки, но и при описании других физи кккпх процессов. Абстрагируясь от конкретно!о 11>изттческого содержания перси('.1п1ых к и ту, >1ы приходим к ОднОмт' из Вжкнсйш!>х матт'.магичсских понятий 7>опят!!то функци11 ).
Если известно правило, посредством которого кв„мсдому зна'лентлто переменной >и ставится, в соотвеп>отгнив определенное зна етлтлтт неРемгнной У, то гонт!Рлтч что пт>1>ементтт>Я У Является функцией переменной к При этом переменная и называется аргументом рассматриваемой функции, а соо!ветствующес данному зг значение переменной у называется частны.м, знвчютелл функпии в точке зк Д:тя обозначения 4>ункцтт!т испо>1!К>уютен еле;тующие символы: у = тута:) или у = т(к). В после,!нем обозначтнии буква 7', называемая характеристикой функшти, символи:зирует указанное выше правило. Ес;ш рассматриваются разные функции, то для обозначения их характеристик употребляются разные буквы. Под !сркнсм, что для обозначения аргумента и функпии вовсе нс обязательно употреблять буквы т и у.
Н!>пр!>мер, запись Е = 6(т) означает, что переменная Е является функцией аргумента 1, причем характеристика этой функции обозначена буквой 6. Как переменная величина, так и функция обычно характеризуются различными численными значениями. Поэтому углубление прсдставлоний об этих понятиях тесно связано с нсобходимОстью раз!Зттти>! теор!!и ВсщсстВснных !Исе.! ). 11 ) Введение в математику понятия функ>пти связыватот 1 именем великого английскот-о >ченого И. Нь>Стона 11642 1727).
л) СледУе> огхп:гитть что понатие фУнкции и поннтие шсла относнтсн к так называеътым на тальнь1м понятвлал. Каждое из начальных понятий может быть ртыъягнено, но всякая попьпка дать определение начального повя гик сводится к замене Определяемого поня птя ему эквивалентным. С, нача и ными понятиями '1и1В11 ль знаком из з. Ымен1'ИШОТО к>!к а. К нв'та:1ьным понятиям относятся, например, понятия прямой линии и п>юскости. понятия, возззиклюзцзин при описйнии движпзии 21 Рассмотрим несколько примеров функций.
1) Извостно, что путь Я, пройденныи первоначально неподвижной материальной точкой при падении под действием силы тяжести за время 1 определяется формулой Я = ц?з/2. Эта формула и представляет собой правило, посредством которого каждому зна ц.нию переменной б ставится в соответствие значение переменной Ь', т. с. определяет Ь как функцию аргумента 1. 2) По закону Кулона два разноименных единичных заряда, находящихся на расстоянии г друг от друга, притягиваются с силой г' = с/7 где с .— некоторая константа. Эта формула также прелставляет собой правило, посредством козорозо каждому значсникз переменной г ставится в соответствие:значение переменной Г. т, е.
определяет Р как функцию аргумента'и. В указанных двух примерах |травило сопоставления аргумента и функции:задавалось при помощи формульь Такой способ задания функции называется оналитзлческим. Наряду с этим способом существу- К тот и другис способы задания функпии. Отметим некоторые из них. В практике физических измерений весь- р и ма уиозрсбзитеззезз таблпчнагй способ залания фупкпии, при котором выписыьаются в ззидс таблицы:значения аргумента и соответствующие им р хпз значения функции. Часто зависимость между аргументом и функцией задается посредством графика, который, например, снимается на озпиллографе.
Такой способ залания функции называется «рафическцм ). 3. Потребности физики иногда приззодят к необходимости изучения функции р = ~(.з:), аргумент х которой сам представляет собой некоторую функцию х=,о(1) нового аргумента 1. В таком случае зоворят, по у представляет собой слоокзн?по функцззло орармеззто 1, а,т, называзот вромсон:уточним аргументом. Эту с 1ожнунз функцикз можно записать в слелующем виде: и = ХМЙ)) Рассхютрим следующий пример. ??усть материальная точка ЛХ равномерно вращается по окружности радиуса Л с угловой скоростью ы (рис.
1.1), Най- ') Подробнее о способах задания фуннннн см. ~л. 4. 22 ГЛ. 1 предВЙРительные сйедения дем закон лви>кс1ния ~роскции у этой точки на некоторук1 ось Оу, лежащую в плоскости окружности и прохолящую через ее центр О. При этом будем считать, что в момент времени 1 = 0 точка М находится на оси Од. Обозна ВЕм через д координату рассматриваемой проекции на оси Оу, а через х угол г'.171Оу. Очевидно, что у = Лсовх. С другой стороны, поскольку точка движется по окружности 1 угловой 5:короетью ш и в момент времени 1 = 0 находится на оси Оу, то х = ВА. Таким образом, д представляет собой слаоюную фсд11кцин5 аргумента Й у = Л сов х, где х = ь51, или д = Л сов а51.
Заметим, что движение по закону д = Л соь ь51 в механике называют гармоническим колебанием,. Й 2. Мгновенная скорость и связанные с ней новые математические понятия 1. Пусть функция д =- у (57) представляет гобой закон движения материальной точки по оси Оу. 1ля характеристики движения важную роль играет понятие средней скорости. Вычис51им сре;ЕнкЕк1 скорость 1571,,1вижущейся точки 'за нрохсежуток времени от х до х+5.ех, тле х фиксированный момент Времени, 52 х — некоторое приращение времени.
Поскольку в хюмснт времени х движущаяся точка находится на расстоянии 1(х) от начала отсчета, а в момент времени .г, + е.е.г, -- на расстоянии ) (х+е)ех), то путь ьед, 1~ройленный точкой за время еех, равен ех у = ((х+ Ее:г) — 5 (х). Поэтому средняя скорость а„р равна -'~ д 5'(55'+ -~ х) — 5'(х) и,р = — ' а 55.
Ьх Так как момент времени х фиксирован, то из последней формулы видно, что иср является функциси аргумента Ехх. Для характеристики неравномерного движения, наряду со средней скоростью, большую роль играет понятие мгнове717115й скороснги В данный мом(1е1т Времени х. Мгновенной скор75ствю (или нросто скоростьк5) в момент Времени х называется чис:ю, к которому приближается значение срелней скорости 5" (х + .Х х) — 1(х) иср = .Тх когда промежуток времени Ех х стремится к нулю. Физическое понятие мгновенной скорости является исгочником важного математического понятия производной.
АбстраЕируясь от конкретного физического смысла функции у 5 (х), мы будем назь1Вать 7ФОВ;5воднои этОЙ фу е1кции В фиксированной точке:г предел, к которому стремится дробь — ' Ъд .1 Х Лх -~- .Ь х) — 5'(х) при Ь х, стремящемся к нулю. ..'5 Г ! 2 7ИГНОВЬННЛ51 СКОРОСТЬ Операцию нахождения производной принято называть с)7!Я>сре717)нрован7!слс Производная функции у = «(х) в данной фиксированной топко обозначастся символом у'(х) или !'(Х). Используя известный символ;!ля обозначения продела, можно записать «(х) = 1пп — У = 1ш1 ໠— 7О -л77 Н»-50 .л» Рассмотрим некоторые примеры. 1) Вычислим мгновенную скорость материальной точки, па- дающей под дсйствисм силы тяжести.
Поскольку закон движс,- ния этой точки опредслястгя функцией Я = б12«2, то путь Ь Я, пройдс11пый точкой за промежуток врсмсни от 1 до 1+2:! 1, раасн э(с-с-17) ь'! 1 ~1 1 я(~1)2 2 2 2 Поэтому средняя скорость за тот жс промежуток времени равна 'осР:: Я1 + 1з 1 ° Л! 2 Слсдоватсльно, мгновенная скорость н в фиксированный мо- мент времени 1 равна с = 1пп = 1пп (»1 + — Ь !5 С5 Я Н7.-5О Ы Л1- О 2 Фактически мы вычислили производную функции Я = НМ 772. 2 так что мы можсм записать У = яй 2) Вычислим производную функции у = х", где и -- цслос положительное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
