Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Лемма доказана. 2. Определение произведения вещественных чисел. Поскольку Вопр(х:1.1. ВОз!ц1кю01ци( В сВязи с Ощ)еделени()м прои)Вое;[('ния В('Г!1('стВенных 'Гисел., В ОсноВном сОВП(1,!В(от с ВО1ц)Осами, рассмотренными нри определении суммы вещественных !исел, мы огр шичим(я лишь краткой формулировкой результатов. 01)редед!Нх) снача:!а щ)оизведе(н(е дв) х полол«)пжпельнь(я чисел а и Ь. Обозначим чере:з п(, оя, (3! и (тя )нобьиз положи- 1()льны( ряционяд!ьны( числя, удОВл(тВОряющие 1и"1)ИВенстВам и ! < о < ая, )1! < Ь < 192.
11роизведением 1)оло:и.!(тельпь!(г вщцественных чисел а, и Ь назовех! вещественное чи(шо я, удовлетворяю)цее неравенствам (т! ()! ( Я ( (12))Г2 Точно так же, как и для суммы, устанавливается, что такое вещественное число (1; существует. и притом только одно. П(ггко убедиться в том, что таким числом ж явля("тся то зная верхняя грань множества (ЕЕ(()! ) произведений всех рациональных чисел о! и е(1), здовл(творя(ощих неравенствам 0 < о! ( а, 0 < ()! ( 6.
Произведение вещественных чисел,л«)бого знака определяется цо (леду)ощему правилу: 1) считают, что а 0=0 В=О; !((./ /Ь!. если а, и 6 одного знака, 2) считают, что «6 = 2 ) — ! и ! / 6 !. если и, и 6 разных 'знаков. В закл!Оч('Гцн) отхц тим, что Таяне так же, кезк и для суммы, МОЖНО ЛОКаЗЯТЕЬ ЧтО В ЩНГМЕНЕНИИ К ДВУМ РаЦИОНЯЛЬНЫМ ГИСЛЯМ ОЩ)ЕДЕ. и Н1КГ Щ)ОИЗВ(ЗДРНИЯ ВЕ1Ц( СТВЕННЫХ НИСЕ. ! и ЕКЗВ( СТЕГОЕ из 3,!ехпнт)ц)НОГО курса Опреде)ление прои )В(.д(зния рациОВЙ.;!ьных чисел приводят к одному и тому же результтту.
3. Свойства вещественных чисел. В этом пункте мы )бедимс)1 В спря вел:!ВВ(ктп д. !я нроизвозьных В( шести( нных че(- сел всех ос(ювиысв соойспзо, т ре нкпециых в и. 1 3 1 д.ш рационяльнь!х !исел. Справедливость для вещественных чисел свойства 1' уже установл("на выше. Таким образом, нужно выяснить лип!ь вопрос о справедливости для вещественных чисел свойств йо 1йс Легко Убедиться в сщ)аведливости д.зя вещественных чисел свойств 2' 5' и 11', связанных с ~~ни~нем с)ммы.
СГО)ав(здливост(. (Войств 2' о' н(цо(р(дств(нно Выт(зонт из ощ)ед(.нния суммы вещественных чисел и из сцраведливосзи указанных свойств для рациональных чисел. о4 ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ '1ИСЕЛ ГЛ. г Остановимся на доксыательстне свойства 11'. г. е. докажем, что если сг. Ь и с — любые три вещественная числа в о > Ь, тв о + с > Ь+ с. Тюс как о ) Ь, го н силу вспомогательного у сверждешш, устююнленного прп доказательстве леммы (см. конец п.
1 настоягцего параграфа), най,гутен рациональные числа о! н,лг такие, гто о ) о! ) 3г ) Ь. Зля вещественного числа с н для положительного рггциоггал ного числа е = о! — 3г найдутся рапиональные числа "с! и Сг такие, что,! ( с ( т, прнчс"м Сг —,'! ( е = = сц — 3г (см. утнерж,!ение, доказанное н п. 4 1 1). Пусть далее ог н 3! ...побыв рюпюнальные числа, удовлетворяющие неравею:тваь! пг ) о. Ь > 3!. Тогда по определению суммы вещесгвенных чисел ог -г и > о -~- с > о! + Тг, гй -(- згг ) Ь -~- с! > г3! -!- т!. Для доказагельстяа того, что о + с > Ь+ с, в силу трююнтнвносгн !ника > дсктато шо доксыатгь гго о ! ж-о ) 3г ч тг.
но зто непосредственно вытекает нз неравенства сг и ( о! 3г. Заметим, что вопрос о вычитании вещественных чисел как о действии, обратном сложению. полностью исчерпывается на ос~о~а~~~ с~ойс~~ 2'-ос'. Осгзсзвелг 1! а з и о с пг ь ю оеийеспгсген- иысе чисел а и 6 оещеспгоешсое число с такое, чшо е+ Ь = и,. Убедимся в том, что такой разностью является число с = а+ + Ь'! где б! .—. число, противоположное 6. В само!!! де!се, используя свойства 2' б'.
можем записать с + б = (а + Ь') + 6 = а + (б' + 6) = а + О = а. Убедимся в том, что существует только одно вещественное чис- ло. являкгщееся разностьк! двух данных вещественных чисел. Предположим. что кроме указанного выше числа с = а+ б' су- ществует еще одно чист!о Й такое, что д+ б = о. Тогда, с одной стороны, (а+6)+б' = а+6' = с, с другой стороны, (с1+6)+б' = д+ +(6+ б') = с1+ О = с1, т. с. с = д. 11з определения разности и из свойства 5' вытекаег, что гис- ло а', противоположнос а, равно разности числа О и числа а. Это число обычно записывают в в!где — а.
Не вьгзывает затруднения перенесение на случай весцествен- ных чисел свойств 6', 7', 8'. 9'! 19' и 12'! связанных с поня- тием произвсдсния. Огмстиг! гсипгь в отноппнии свойс"ига 9', что сечи а положительное вещественное чис ю, а сг! и сга какие угодно рациопалыгые числа, удовлстворякнцие неравен- ствам О < ос < а < сгя, то число аг, ооратное числу а, опреде- ляется как е,синствснное вещественное! число, у,совлстворяющсс 1, 1!) неравенствам — < а.
<— ог о*, Свойства б'. 9' по:зноляют еде.!ать вывод, что для лкгбых двух вешссгвенных чисел а и б (6 ф О) существует, и притом г В качестве числа о' може г быть взята точная верхняя грань множества 11) всех рациональных чисел с — !. ! а АРИФЗз!ЕГИ>ЗЕС'1СИЕ ОПЕРАЦИИ НАД 'П!О !АМИ об )а6! = (и! )6(, (с>+ 6! ( )а) + )6). !2.14) !2.15) ') Заметим, что ато свойство называют ввсвомоз! .4Рхвмедо. только одно, вещественное чишзо с.
удовлетворяющее условию с6 =- а. Это число с называется частным чисел и и 6. Из определения частного н и;з свойства 9' вытекает, что число и', обратное числу а, равно частному чисел 1 и и. которое мы обозначим как 1»и. Заметим. наконец, что па случай вещественных чисел нервно!пня и посжднсе 13-е свойство рациональных чисс.з, а именно: какова> бы нн бьзло весйесзпвезпзве ч>зело а, ллооюзсо число 1 повторить слагаемым столько риз, чпю полу нннзая гуллми превзвйдтп сл ).
Докажем это свойство. В случае а ( О доказатсшьство не тРебУетси, ибо 1 > и. ПУсть и > О; и = ае. из ... ао .., В силу того, что определение суммы вещественных чисел в применениии к сумме ра>!напальных чисел совпадает с определением суммы рш!напальных чисел> поззторив число 1 слагаемым и, раз, получим целое число и.. Таким образом, достаточно доказать. что для чис та и найдется целое число 11 такое. что и, > и. Но это очс.'видно: достаточно вззззь з>, = асз + 2. Таким образом, на случай веществтьчых чисел, ззереззс>сязпся все осповззые свойства, сформулированные для разуаоззилызьз>г чисел в и.
1 ззаегпоящегв ззирагйхвфа. Следа!за!не.лаз>о, для вез>1ественных чисел с>ох1>с>>зяюзп свою салу все. >И>ав>зли алгебры, от>инзллйнесл к арнфлзсзтичееа>!>м дтизтвиялз зл к сс>чсзз>за>з>зн> 1>автзсп>в и неравенств. На этом мы заканчивасм нзложс;нис элементов тсории ве'- щественных чисе.з> необходимых для построения курса математического анализа. Дальнейшее развитие теории всшегтвенных чисел читатель может найти в приложении в конце книги. В заклк>ченис заметим, что мы построи,ти теорию вещественных чисел, апеллируя к их представлению в 1>зз.сс бесконечных а'сятичных дробей.
Совершенно ясно, что мы могли бы апеллировать и к бесконечным дробям с любым другим !не обязательно десятичным) основанием. В этом отношснни системы счисления с различными основаниями эквивалентны между собой. Однако в зн которых вопросах приближенных вычислений и, в частности, при окру!- ленин чисел до заданного ко,зичеспза разрядов системы счиен, ния с четными и нечетными основаниями ведут себя существенно гю-разному (см. по этому поводу дополнение 2 к этой главе). 4. Некоторые часто употребляемые соотношения. Докажем справедливость для любых вещественных чисел а, и 6 саедукнцих двух со<>тношсний: 56 тко1 ия вкщкствкнных сискл ГЛ. 2 — )ел[<а()сс), — [6!(6()6[.
В силу основшях свойств. можно по щенно ск.садывать неравенства одного знака (это доказано в конце п. 1 Ц 1). Поэтому — (!а!+ !6!) < а+6 < !а[+ !6[. 11спользуя в случае а + Ь ) О правое, а в случае а, + 6 < О левое из пос. ндних неравенств. мы получим неравенство (2.15). 3 а и е ч а н и е . Отметим епсс Сва чеи то употребляемых неравенс:тва: )са — Ь[) (а! — )Ь), !сл — Ь[ > )а! — )Ь!.
(2.16) (2.17) Для получения неравенс сва (2 16) достаточно учесть, что а = (а — Ь) -~ Ь, и, опираясь на (2.16), записать неравенство: [а) ( (а — Ь)+[Ь!. Неравенство (2.17) является следствием неравенства (2.16)и неравенства )Ь вЂ” а,! > (Ь)— — (а),которое получается из (2.16), если поменять местами числа а и Ь. я 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел В дальнейшем нам часто зт)зидется иметь дело с различными множествами вшцественных плесси Нулем обозначать произвольное множество вещественных чисс л символом (х), а чис ~а, входязцис в состав этого множества, будем называть элелзе~ппами или спичками этого множества.
у1ы будем говорись, что точка,;с1 мзюьюегтаа (х) отлзсчнш от то ски ха этот мпоэссестсзи. если оещестоетсые числа хз и тв зсе раппы дунув другу. Е:слн при этом справедливо неравс,нство х1 ) хз (хз < хэ), то будем говорить, что точки хс лесисит привес (леаее) точки хз. Рассмотрим нскоторыс наиболее употребительные множества вещественных чисел. 1'.
Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам и < т < 6, гле а < 6, будем называть сеглсеисном и обозначать символом [а, 6]. При этом числа а и 6 будем называть грапичпъсмп то снами или тозсцими сегмента [а,.Ь[, а любое число х, удовлетворяющее неравенствам и < х ( 6, будем называть озп)псрезсссей точкой сел мента [сз 6[. Словссная формулировка этих соотношений такова; 1) модуль произведения двух чисел раееп произведению модулей этих чисел, 2) .ллодуль суммы даух чисел пе превосходит сулалссм модулей этих чпс:ел.
Соотношение (2.14) непосредственно вытекает из опредсления произведения двух вещественных чисел. Докажем соотношение (2.15). На основании опредссшния модуля и правила сравнения;пя любых вещественных чисел и и 6 справедливы неравенства ДОПОЛНЕНИЕ ~ 2'. Множество всех вещественных чисел се, удовлстворякнцих неравенствам и < х < Ь (или и < х < Ь), будем иазьпзать полуеезмспгспом и обозначать символом (а, 6) (или (а, 61). 3'. Множество всех вещсствсиных чисел х, удовлетворяипцих неравенствам а <:г < Ь, будем называть ппгпероалолз и обозначать символом (а, 6). 4'.,1кзбойс интервал, содсржасций точку с, будем называть окреспзззсзс1гзью ггзочксз с. 5'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
