Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вычитая написанные соотношения. найдем оа — 13и = б— — о,. Так как все элементы бесконечно малой ионясдоватсльности 1ои — 1>и) имеют одно и то жс иостоаннос значение б — а, то ио теореме 3.5 б — а = О, т. с. б = а. Теорема доказана. Теорема о.8. Ст:одя>изстяея >игом доеапиыьнос>аь оаут>саче>ссь Д о к а и а т с л ь с т в о. Пусть 1хи) — сходящаяся последо- вательность и о сс предел. Йснользуя формулу (3.5), имеем хв = а+па, где сть элемент бесконечно малой последовательности.
Так как бесконечно малая нослсдоватсльносп, 1ста) ограничена (саь те- орему 3.3), то найдется такое число Л. что для всех номс,ров и справедливо неравенство (ои~ < Л. Поэтому ~хи~ < ~а~ + Л для вссх номеров п, что и означает ограниченность последователь- ности 1ха). Теорема доказана В а м с ч а н и с 1. Ограниченная последовательность может и нс оыть сходянссйся.
Например, последовательность 1, — 1, 1, — 1... ограничена, но нс является сходящейся. В самом;сслс, осли бы эта последовательность сходилась к некоторому чис- ЛУ а, тО Кажлаи ИЗ НОСЛСДОВатгаЬНОСтой 1Хи — а) И 1Ха41 — и) являлась бы бесконечно малой. Но тогда, и, силу гсорсмы 3.2, последовательность 1(хи — а) — (хзис~ — а)) = ха — сии.1 была бы бССКОНСЧНО Маяай, Чта НСВОЗМОжНО. таК КаК ( Ха — Хьь1 ( = 2 дпя любого номера и. ') См. также неравенства >2.З) нз и.
4 1 1 гл. 2. Гл. 3 пгкдкл послкдовяткльности Докажем слс;Сующие основные тео1гсмы. Теорема Я.У. Сумма с:ггодягцгихся, пггслигздогггиггггсгиг гиггстегй (сига) и (уа) гсгпь схггдягцояся пггслгдовагигельносггьь ггредел которой' равен, сумме пределов гзослиедовгигпгглгмгоггтпегй (ха) и (уа). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а и б соответственно пРедслы последовательностей (,свис и (Ув). Тогда хп = а + оа Уа = б+ 13гн где (оь) и (/3„) бесконечно малые пос"гс;говательности. Слсдоватсльног (ха + уа) — (а+ б) = оа + гЗп.
Таким образом. последовательность ((х„+уа) — (о+б)) бесконечно угадая. и поэтому последовательность (ха + уа) сходится и имеет своим пределом число а+ б. Теорема 3.10. Разность схггдягцгихсгя, тн ледотипельноспгей (ха) и (уа) есть ггхггдягцгияся пггслиедогзггтслг гиггсггигн ги/гедгзлг, кото,'оои 1говезн Ргизносгггги пуггделиов пг)следовогггельносггюй (ха) ги (Уа). Д о к а з а т с л ь с т в о этой теоремы аналогично доказагельству теоремы 3.9 Теорема 3.11. Прогглзвгздегигигг сходягцихсн послггздггытельнггстсги (ха) и (уа) есгпь сходягцгияся плкмндггватхльтнтпгь предел коггиггрог1 расти прокиоедсиино пределов пгислгздогзгиггиелтиостегй (Ха) '« (уа) Д о к а з а т с л ь с т в о. Ес:ш а и б — пределы последовательностей (ха) и (гда) соответственно, то ха = о, + оа, Уа = б+ /3„ и т,„.
уа = и.. б+о,.гЗа+ б оп+о„гЗа. Следовательно, хь. уа — а б= а./3а + б па+па . /3„. В силу теоремы Зн1 и следствия из нес. а также теоремы 3.1 последовательность (о,. /гда + б. сгв + оа 13в) бесконечно малаЯ, т. е. и последовательность (ха уа — и б) бесконечно малая, и поэтому последовательность (:и;а уо) сходится и имеет своим пределом число о,. б.
Для доказательства соотвстствуизшсй теоремы для частнспо двух после говательностсй нам понадобится сясдующая лемма. Лемма 1. Есглги последовагпельпость (уа) сходгтгся. и имеегп опгли инат', от нуля предел б, то, ннгнлисая, с некотлироео 111 номера,. опргзделггзгигг, последовогте.лпиюспиь ( — и и которая явля- У езгпг:я ггейгггиги"игегигигггй. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть е = ~ б ~/2. Так как б у'= ф О, то е > О. Пусть Х номер, соответствуюгций этому е, иачззнаии с кого1зоио вигиголиизясзсгг не1завснслво ~ уп — б~ < е и~сиз (уа — б( < ) 1и(/2. Из этого неравенства следует. что при и > > Х выполняется неравенство ) (у„,! > )б1/2. Поэтому при ') В самом деле, так как Ь = 1Ь вЂ” у,.) + у„и ( Ь вЂ” гуг„! < ( Ьг/2. со ) Ь ) < < г ь — у ! л- ( ги„! < г ь г/2 л- г у„!. сходящився нослвдоветткльности 1 2 и, > Х имеем — < —. Слс !оватсльно, начиная с этого номера (Ь!' Х, мы можем рассматривать иоещсдоватсльность ( — 1, и эта !.У„) ' последовательность ограничена.
Лемма 1 доказана. Теорема 3.12. 17астное двух с)ходяи)ихся тгоаледовотнгельцо- стпеи (хп) и (упгт пр)! услосниг, етпо предел. (уп) отснгчен опе, нуля, ее!па сходлсйаяся последовохпепьностпсь предел, копи)рой ро.— вен 'епспгвому пределов последовательностей (хп) и (у ). Д о к а з а т с л ь с т в о. Из доказанной леммы 1 следует. что, начиная с некоторого номера Х. элементы нослсдоватсльно- 711 Стн (Уп) ОТЛИЧНЫ ОГ НУЛЯ И НОСЛСДОВатСЛЬНОСтЬ ( — 1) ОГРаНИЧСУ» на. 11а нпгая с этого номера, мы и бу !см рассматривать иослсдоГя„1 ватсльность ( — "" ).
Пусть а и Ь вЂ”. пределы последовательностей У Гх„а1 (хп) и (уп). Докажем, что последовательность 1 — "" — — ) бсс- У КОНСЧНО МаЛНЯ. В СаМОМ ДЕЛЕ, таК КНК а:ее = а+ Оп, Уп — Ь +,Ггп. то а х„.Ь вЂ” у„а 1 Г а, — — = — ) Оп. — -)дее) у„Ь ееы С, 711 Так как носгсдоватсльность С вЂ” 1) ограничена. а иощ!сдоУп а ватсльность )сап — — 71,„) бесконечно малая, то носысдоватсль- Ь носи [ — (ет„— —,З„т! = (с — "" — — ) бесконечно малаЯ, ТеоРема доказана.
3. Предельный переход в неравенствах. Мы только что выяснили. что арифметические операции над сходящими- ся последовательностями приводят к таким жс арифметиче- ским операциям над их пределами. В этом пункте мы покажем, что неравенства. которым удовлетворя!от элементы сходящих- ся иостлсдоватс,н ностсйе в нрсдслс переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей. Теорема О.13. Если алеман)попс сходяи)ейся последовотпвль- Егост)Е, гхпт, начиная с ивгнипс)рова !Н)маро,.
Удовляпгворлготп )а)7)ае)енстпету Еп > Ь (х)е ( Ь)е 7)п) и п7)сдал О э)пои последе)е)ег тельностпп удовлетеьоряет няравенстоу а > Ь Са ( Ь). Д о к а з и т с л ь с т в о. Пусть все элсмевггы хп. По крайней морс начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству хп > Ь. Требуется доказать неравенство а > Ь. Предположим, что а < Ь. Поскольку а — ирсдсл последовательности (хп).
то для положительного е =-. Ь вЂ” О, можно указать ногюр Х та- кой. !то !й)и и )~ Х выполняется неравенство ~,ее) — а~ ( Ь вЂ” а. Э10 НЕТ)НВснс! Во экгивалс1п'но сщс)!у!Ощиа! 1!Вуь! нсраВснстВам: — (Ь вЂ” а) ( хп — а < Ь вЂ” а. Используя правое из этих неравенств, 72 гл. з ш кдкл иоолкдовкткльнооти мы получим хй ( С), а это иротиворсчит условию теюрсмы. Случай:сй < 7) рассматривается аналогично. Теорема доказана.
3 а м с ч а и и с. Элементы сходящейся последовательности !хй) могут удовлетворять строгому исравсиству хй > 7), однако ири этом предел а может оказаться равным !). Например, если ! хй = —, то хй > О, однако 1ив хй = О. й Следствие 1. Если элемсгнтгя хй и уй сходящихся, псюледос)ательносспшг гсхйг) и )дсе), нп'гш)ПЯ с )Секо)))одого номе!в., Удс)- олег)пво!)я)о)п )ю!кге)еигсгпвд сс:с) » (дй) Спо ггх Сгредс))гы ддс)е)лс.)пе)оря; н)тп такому оссс неравенспгву) 1)ш хй < 1)пг д„.
й — )х й — )х В самом дслс, элсмситы иослсдоватслыгости !уй — хй) всотрицатсльны, а поэтому цсотрицатслси и сс предел 1шг (дс) — басс) .= й — ех 1!ш дй -- 1!ш хй. Отсюда следует. что СЕ,— ЕХ 1цц хй < 1)пг уй, й — )х й — )х Следствие х. Есллл все влелгентъс сходящейся псюледовп- п)ель)юспш !хсс) находя)сшя но. Ссглсе)сгслг !а, !)1, Спс) 1) сс предел с п)с) коке) нахс)д117пся нп эп)с)АС с)е;гме)11)по. Всагюмдслс, так кака(хй(б.
топ, -с(б. Олсдуюшая теорема играсг важную роль в различных ирилоиссииях. Теорема З.г~. Пдс)с)ь !хй) и !ей) — сходящиеся послсдо- вохпельносгпщ Сгмен)щгге оби)1111 предел, О,. Пусть) кролле Слога, нвч1гнвя, с негкс))ш)рс)го номера) вле)ме)н1п)я 'последс)вшпельноспиг ~уй) удовлешворялоп) неравенспгвам хй < уй < гй. 7огдсг после- довс)77)ельносгсгь !Усг) схс)ди)исЯ и имеет пРедел, и. 1 о к и:г а т с л ь с т в о.
Нам дос'тато'гво дока:гатгь что )юсчс- доватсльиость !усс — п) является бесконечно малой. Обозначим через 71' номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии тсорс;мы. Тогда, начиная с этого жс номера, будут выполняться также неравенства хй — а < уй — а < гй — а. Отсюда с)лсдуст, что при 11 > ЛС* элементы пос игдоватсльиости !Еуй — а) удовлетворяют неравенству ) у)), — а ) < Свах)(хсс — а ~., / гй — и (). Так как !ив хй = и и !Пи гй = а, то для любого е > О й — )х СС вЂ” ~Х можно указать номера )1'1 и 1172 такис, гто ири и > Ггег ~ хй — а ~ < < е., а при и > Хз ~ гй — а ~ < е. Пусть Х =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
