Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Очевидно., "по эти точки являются щх>дельными точкамги рассматриваемой последовательности,поскольку подпоследовательность 1, 1>2, 1>3,... ..., 1 />и ... этой последовательности имеет преде„> нуль, а подпоследовательность 2. 2, ..., 2.... имеет предел 2 ). Других предельных точек у этой пос;седовательности нет.
В самом деле, пусть х любая точка сисловой оси, отличная от точек О и 2. Расс мотрим неперекрывао Х 2 ющиеся е-окрестности точек О, 2 и т (рис. 3.1). В е-окрестностях то сек О и 2 содержатся, начиная с некоторого номера, все элементы последовательности, и поэтому в указанной -окрестности точки х находится лишь коне гное число ее элементов, т. е.х не является предельной точкой. 3. Существование предельной точки у ограниченной последовательности. Справедливо следукнцее замечательное утверждение. Теорема 3.16. У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы г>дна, предельная гпочксп Д о к а ч а т е л ь с т в о.
Так как последовательность (хгг) ограничена, то существун>т вещественные шсла т и М такие. что все элементы хп последовательности (х„) удовлетворьпот неравенствам т, ( ггг> ( ЛХ. Рассмг>игрим,множество (а:) всщес>гпве>гных чисел:г таких, чтг> нравее2) каждого иг этлгх "сисел либо вовсе нет .элементов последовательности 1хп). либо таках элелсенлпов лиигь кс>не"снве число.
Множество 1гх>1 их>е.- ст хотя бы один элемент (напрссхгер, гисло Ы) и ограничено сни:зу (л>обык> >ислам, мсныпим т). В силу теоремы 2.1 у мно>ке- свойства ьн оизвольных ноолкдовйткльнооткй 83 а е ) Цел«со<)б)раас)ос)та обоэиачепия этой нижней грани символом х бу)Сот вь)я<77)о) са ниже.
ства (т)) существус т точная ниэюнля грань. которук) мы обозна- чим через У ). Докажем. что это число х и является предельной точкой по- следовательности (хи). Пусть е любое положительное число. Число У вЂ” е заведомо не прин))дле)?К)гг мнОже.- х — а х х' У+а с,твт (.7,), а псытому правее числа х — " леэюит бесконечно много элемен!'ис. 3.2 тнв 7)вслед<)всстп«льнс)с<77171 (хи).
По определении) точной нижней грани найдется )исв)О х< из множества (х). удовлетворяющее неравенствам:с ( х' ( х + + е (рнс. 3.2). По определении) множества (х) правее х' лесясипс и«. более ч«лс конечное, ч<асло элементов последовастсльност<177 (;Си). Стала бнтЬ, На ПО.,)уСЕГМЕНтг (У вЂ” с,:С'1< а тЕМ бОЛЕЕ И 11 е-окрестности точки х содержится бесконечно много элементов последовательности, т.
е. У является прс дельной точкой после- ДОВатЕЛЬНОСтИ (Ха). ТС)ОРЕЗЬ)а ДОКаЗаНа. 3 а м е ч а н и О 1. Обратимся еще раз к множеству (х), введенному нри доказательстве теоремы 3.16. Мы доказали, что точная нижняя грань У этого ашожества представляет собой пре<пельнук) ТО*1к" после, довательности (хп) До- х х' кажем, что ни <)дно чс)ело:с. превпсхвдяшсе У. не является )сред«линой !'ис, 3.3 7ПО"<квй 710«77Е)двваП)«льти)- с)пи (х„). т, е.
х является наибольшей предельной точкой этой пос зедовагельности. Пусть х лк)бое число, превосходящее х. Выберем ) 0 столь малым, чтобы число х — с также пре- восходило число:г. (рис. 3.3). По определению точной нижней грани найдется чис)л::' из множества (х), ле?кащее левее х— — е. По определении) множества (:с), правее:с<, а стало быть.
и в с-окрестности точки х лежит не более чем ксшечное чиссю эле- ап Нтеи ПОСЛЕДОВат«ЛЬПО«тн (Ха). Это И ЛОКЕКЗЫ))а<)т. Что не является предельной то )кой. Определение. Настбольи)оя 7<ред«льнаа точка х последо- вательности (хп! на<<сава«и)ся в е р х н и лз 77 р е д е и о м это<1 послед<)ва)пельно«тп и Обвэн<гчается символом х = 1пп:«77 77,— )ос Замечание 1 позволяет утверждать, что р всякой ограничен- ной посл«д<)вательности с<уилеспсву«771 верхний предел,.
пгкдкл иоолкдонйткльиооти Гл. г Совари«е!«Ио аналогично вводится понятие 7<«э)снего прсд()в ла х «п)шн;донате).«ьностн (х„)., который Огйн«д(".ля1«тся как нана<ни) ш(«71 пределы«ая Точка этоЙ по<си',донат<.)«ьносги. Для ниж- НЕГО ПРЕДЕЛа ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ООО:лиаЧЕН(П' Х = 1)Ш Хи. Су<л)ест()вовс!псле н«лн)него предела у лн)бой огриниченной поСЛЕС1«аан«)ЛЬШ«)тн (Хи) дОКаЗЫВастгя В ПО;ШОП апаЛО~ИИ С раесу>кдениями теоремы 3.16 н замечания 1 к этой теореме. То,!Ько на этот раз с ледует рассмотреть множество (х) всщественных чисел х таких, что левее каждого из этих чисел .зс)жит не бал< е и'.м кон<"шо<'. «игла элехп)птов -)той пошп'дове<т()льности.
Итак, мы прихОдпм к слРЛЬ 10п«Рму утВР1пкдРпию. У всякой огрслтл<лченной тлос))<«<1овслтт«Р((77<ос<тли, сутйествутот <)<у)<тп«<лй, <л 7(тлене)ттй пределы.. Извлечем е«пе ряд <си'дствий из рассуждений теоремы 3.16 и «амечания 1. Следствие 1. Ьлтл (а, б) <лнт>)ервалл, вне ноны)рого леэнг(ап лииль конечпос число элементов огран«чснной, тлосгледоввтпельносп>и «сх„), а х и х ниэн)н)ий и верхний пределы этой последи«а«пель нос тпи, тоо инттг 1)вил (х. х) с)оде1«лс<<лттлс)л в <лнтт)е1)вслл«е (а„б) 'и пГ)э7нам7! и х (~ б а.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как правс е точки б находится не более чем конечное число элеъ«ентов пос<ледовательности, то Ь принадлежит указанному в доказательстве теоремы 3.16 множеству (х) н поэтому х, < Ь. Рассуждая ана,югпчно, убеди>к>я, что а ( х. Это и о«начает, что интервал (а,б) содержит интервал (х,х). Следствие Й. Длл лтобого положе)ипельпого чллсли е )лнтервал (т, — е, х + «) содерэн:ит все элементы последс)вап>ельноспш (хн), начинал с и«копи)його номе1«л ()<лст(лс)л<л)его, коне>чно, Опл е).
(о к а з а т е л ь с т в о. Так как х являегс<я точной нижней гршыо множества (ег„), указанного при доказательстве теоремы 3.16. то для л<обого «) 0 найдется число х'. меныпее х + + е и принадлежащее (т). 11о это означает, что направо от х', а <тепло быт>ь и 7<с)туп«о От ннт«Р«ала (<К вЂ” «ЛК+ «) лаю«ети леон)итнь л(лиль кОне.'"4140<! Чи()ла эл<лм<ин7пав т<ослс«диван««лти<(н)- ти (хо). Аналогично докжывается, что и налево от интервала (:с — е, х + «) можРт л(>жать .лишь кон<«чно<. чис 10 э:п.ментов пош!(«донат(«льно(>Зги (х«,) ° 3 а м е ч а н и е 2. Выясним вопрос о том, сколько предель- НЫХ ТОЧЕК МОжвт ИХ«РТ) ОГРаНИЧЕШ«аЯ ПОСЛЕДОВат(«ЛЬНОСтЬ (Хи). Обозначим через х и х соответственно нижний и версний п1%делы э«ОЙ п0<:п«донат<«льности.
Оч<)видно, «т0 все предельНЫ<' ТОЧКИ ПОСШЕданатНЛЫ«ОСтп (Хи) (СКОЛЬКО бЬ) ИХ НИ бЫЛО) лежат на сегменте (х, х). 1 ! сВОйс'ГВА н РОизВОльных ВОслеДОВАтельностей 85 Если ш = х ), то последовательность имеет только одну предельную точку. Е<;-ш же х ( У., то последовательность имеет по крайней мере две предельные точки ге и х. Отметим, что последовательногть может ихп'ть, побое и даже бесконе гное число предельных то >ек. П<и ледовательность 1, 2, 1><2, 2, ..., 1<<><, 2, ..., рассмотренная в предыдущем пункте, имеет только две предельньп точки: нижний предел ш = 0 и верхний предел У = 2.
Приведем пример по<шедовательности, имсющ<зй бесконечно много предельных то и к. Ра<х:мотрнм, например, последовательность, элементы которой бе:! повторений пробегшот все р щиональные чп<ла сегмента !О, 1] Я), Очев>лдно,,побая точка этого сегмента будет предельной точкой 5 казанной по<в!слепят<.льно<'ти. 4. О выделении сходящейся подпоследовательности. Результаты предыду>цего пункта приводят к следующей основной теорем<>. Теорема 3. > 7 (тпеорема Бо><ьцано — Вейерохгарасса <!)) . Ыз,л>обо<У огргннченно<У г<оследонательно<ьпн мавлоно ныделп<пь сход>пйрн>си г>одпо<и<едонагпельно<г>пь. Д о к и з а т <»! ь с т в о. Так кш< по<оп!донат<>льность ограни п>на., то она имеет хотя бы одну предельную точку и.
В таком <шучае из этой последовательногти можно выделить подпо<шедовательностгч сходящуюся к точке ш (ох<. определение 2 предельной точки) 3 а м е ч а н и с 1. Ия лн>бой огроннче<июй ьп>следоиательпосьгн м<кнш<о ив<де>п<гпь монопюьп<лро подпослсдов<ип<льност<ь В самом деле, в силу теорех<ы Вольцано-Вейерштрасса из,побой ограниченной по< ледовательности можно выделить сходящуки:я подпо<ледовательносттп а пз этой подпо<шедовательности, в силу замечания и. 1 этого параграфа, можно выделить монотонную подло<>ледовательность, ) Ниже мы докажем, ч<о раве~<с>во х = х и угловне ограниченности являются необходимыми и лостьпочными условиями схолнмосги поспелов<и ельности. ) Рапиональные числа сегмента [О, Ц можно расположить в поглеловательность без повзорений, например, так.
Рассмотриз< группы рапиональных чисел это< о сегмента, причем в первую группу о>не<.ем числа О и 1, во вторую шсло 1<<2, в третью всг несократимые *шола р,<<1 со знаменателем 3 и вообще в и-ю группу все несократимые рапиональные дроби из сегм< ига [О, 1] го знаменателем и.. Очевидно. каждое рапиональное число попа.<ае г в одну < руину и и каждой группе будет лишь конечное количество рапиональных чисел.
Выпишем теперь подряд элементы нервов группы, эа ними элементы второй группы, затем третьей и т. д. В результате мы и полу*шм нужную нам последовательность. Бернгард Больпаио — чешский философ н математик 11781 1848), Карл Вейерштрагс немепкий математик (!815 — !897Р ГЛ. В пркдкл послкдонйткльности В а м с ч а н и е 2.
П)Эсгаь 1ха) ог)хинин<и«(ал г(оследоваьчелгьнпсп<<н алеме(<п<ы коннор(?й находятся на сегменп!с [а,)?[. Тогда, !!редел с любой сходя<1(ейся гюд<нюледоваьпелъно<тт г<хь„) <г(октж?(1 «ахгнэнгпая на сегмеьяпе [а,(?]. Действительно, так как и, < хв. < Ь, то в си:(у следствия 2 из теоремы 3.13 выполняются неравенства о, < с < Э?. Это и (тначаес "г<о с находится на сегменте [а< 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
