Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 17
Текст из файла (страница 17)
шах!№,ХЛХг). Начиная с этого Помора. имеет место исравсвство ( дй — а ) ( е. Итак, иослсдоватегльиость !дй — аг) бесконечно малая, Теорема доказаиа. монотоннык ноолвдов«стнльнос;тн 3 3. Монотонные последовательности 73 1. Определение монотонных последовательностей. Определение. Послс2дс2вс27пельиосспь 1хо) исмьисается и е у— б и в а ю ис е 6 (и е а о а р а, с т, а ю ис е Й ), если ка«ждый последро21«2121 слеп В772ст последосиипельносьпи ие меньте (нсс больсие) предьсду2дего, и.
е. Сели дл.,я всех номеров и спрсгвссдсисво ИС«ИВЕНС7ПВО :хя ~ (хп-2-1 («:7,, ) 21:ь-~-1). Неубывающие и нсвозрастающие последовательности ооъедипяются общим наименованием моногпоннью последоваспельногт21, Ес ш элементы монотонной пос;и:доватсльности 1«О22) для всех НОМСрОВ и удОВЛстнарспат НсраВЕПСтну,аь ( Ха 11 (Хь > Хь11), тО ПОСЛСДОВаПЛЬНОСтЬ 1ХО) НаЗЫВаЕтСЯ С«12ВРие72111И201Е21 (Уб2Ьсааюсйей). Возрастающис1 и убывающие последовательности назыВа!ОТСН '1акжС с7првго мс«21()7711«2122иям12,.
11оносонныс последогатсльносгги ог1хпси сены либо сгсрхс, либо снизу. Именно: невсирасспающис посясдоватсльности огра,— ни'сены сверху. а и2:убьюаиидисе последовательности ограниче: нся сьпюу своими первыми элементами. Поэтому невозрастающая последовательность будет ограниченной с двух сторон. Сели опа ограничена снизу. а нсубывасс«сная последовательность будет ограниченной с двух сторон, сели она ограничена сверху. Рассмотрим примеры монотонных последовательностей. 1.
Последовательность 1. 1, 1/2. 1/2, .... 1/и, 1/и.... невозрастающая. Она ограспнюпа сверху своим первым элементом. равным единице, а снизу числом нуль. 2. Последовательность 1, 1, 2, 2, ..., и. и, ... Неубывающая. Она ограничена снизу свопм первым элементом, равным единице, а сверху нс ос раничена.
3. Последовательность 1/2. 2/3, 3/1,.... и/(71+1),... возрастающая. Она ограничена с обеих сторон: снизу своим первым элементом 1/2, а сверху., например, числом единица. 2. Признак сходимости монотонной последовательности. Имеет место следующая основнал теорема. Теорема О. «Ое.
Если, неубываисщан С 22ессс222рс«сгспасс«122ая) послес11212ите22ь21120771ь 1х„) с«г1«112тче2121 сверху 1сниву), гпо она сходится,. согласно предыдущему пункту после:соватсльность (хя). удовлетворяк2щая условию теоремы 3.15. является ограниченной. Поэтому теорему 3.13 можно кратко сформулирова«ь так: с:с«121 моис22пс2нссая, послс:дсиюспсьссьносспь схо) с«гдя12121чс:ии с Общсх С7001«Он, 700 02юс схадиспся. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как последовательность 1«2ь) Ограни 1с;на, го множсство с;11 элсмснтОВ имсс1 то 1ныс'. Вц>хнсс2ю и нижннпо грани «: и х (сы. теорему 2.1). Докажем, что сели Гл. 3 пгндвл послндовлтнльности [хв) неУбывакппаа посшеДоватсшьность, то се НРс)ДРлох! оУДРТ УказаннаЯ то снаЯ веРхнЯЯ гРань У; если жс 1хо) невозРастак)1цая пос"и'.Доватс)льность, то Рс) прс)делОы буде1' указанная точная нижняя грань тс Мы ограпичиггя случаен! неубывающей последовательности, поскольку для невозрастак)щей последовательности расту ждения аналогичны.
Поскольку 2 .- точная верхняя грань множества элементов иосси*Довательносги [хп), то Дла „гюбого е > О можно Указать ЭЛЕМЕНт:Га таКОй, Чта ХЭС > У вЂ” Е И:Гк ( У [ЛгобОй ЭЛСМЕНт:Го НС бО.1ьшР то'!нОЙ Вс'.рхнРЙ грани х,:гц ( (У). Сопостав;15151 указанные неравенства. получим неравенства О < х —:гсе < е. Так как 1х„) неубывак)щая последовательность, то при и > 7)г справедливы неравенс"гва х)у < хл < х. Отсюда следует, что при и > 7)7 вьшолняк)тся неравс)нства О < т, — хо < т — )г,~-. Выше мы отме шли, что х — сгсс < е, поэтому при п, > 7)7 справедливы ги)РВвсгнс:гва О ~(;г — ха ( ., Нз котопых вг.гтс.к11)т нс)РВвсепс:тво ]хо --:г] < е.
Таким образом, установлено, что х предел посскдовательносги (х)7). 1еореггг доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Условие ограни сенности монотонной последовате.лъности представляет собой необходимое. и доста)пи"снос', ус.,ливис есс с:ходимос)исс. В самом деле, если монотонная пснгледовате,,гьность ограничена. то в гилу теоремы 3.15 она сходится; если же монотонная последовательность с: одится., то в силу теоремы 3.8 она ограничена.
3 а м е ч а н и е '2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например. посыедовательпость [ха), для КОтОрОЙ Хп = [ — 1)л)771 СХОдвтСя И ИМЕЕТ ПредЕЛОМ ЧИСЛО НУЛЬ. Так как:)паки элехьентов этой пос"и'.Див)тсзсьнос:ти шредуготся.
то она не является монотонной. 3 а м с ч а н и е 3. Ес ги пос 1с.донат!)..гьность 1х)7) неуоывакпцая и ограниченная и х — ее предел, тс) для всех номеров и справедливо иеравенсгтво:сп < х. Элементы невозрастак)щей ОГРаНИЧЕШЮй ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ [:С;и), СХОДЯЩЕйен К Х, УДОВЗ)Р; твоРЯк)т неРавенствУ х ( сго. СпРавеДливость этого гтвеРжДО- иия была установлена в процессе доказательс"сва теоремы 3.15. Следствие из теоремы 3.15. Луспгь дано, бесконечнал, сиспшма сегментов [аг.
61]. ~аг. 5г]. [из.бз]..... [ио,бо]...., касисдый последсиощий сгз которых содерэзситсл в предьсдущем') и щустго ризность бп — ио [будс)м, назъшссть ее длиной' сегменти [ао.57,]) стремится к пул)о при и — ) Оэ 1систему сегментов. облслс17)н)сс!ун) з)иссмп свобспгоими, буде,н повыбить стлгссва)ощебсл). Тогда суще!таус)п, и притом единственнил7 точки с, ггрсснидс)еэсс)сги1сгл вселс сегменсг)сгм этой системы. ) Это озаачьог. что а, ! ( а ( Ь„( 6„ моиотоиыык послкдов>сткльности 75 Д О К а 3 а Т Е:1 1, С т В О. Прся(ДЕ ВС(гГО ЗВМ()ТИМ, ЧТО ТО 1- ка с, прина!(л(эжан(ая Всем ('егм(нтзм, мо>к(т Ныть 70;1ько Однй.
В са>и)м деле, е()ли бы нашлась еще одна точка (1, принадлежащая всем сегм(игам. То весь с()гмснг') 1с. (1[ принадлежал бы ВСЕМ СЕГМЕЬПНМ [аа, бг(]. НО тОГда дЛя ЛП>бОГО НОМЕра И ВЬШОЛНЯ- лись бы пеРавепства ба — ап > а( — с ) О, а это невозможно, ибо бн — ап — > О ПРИ П вЂ” + ОС. ДОКажЕМ ТЕПЕРЬ, Чта СУЩЕСтВУЕт тО"1- ка с, 1!ринадлежащая всем сегментам [ап,бп[. Так как система сегментОВ яВля('.тся стяГИВаюш('Йся, то послсдОВат('.лл ность .,И)- вых концов (а,„1 является неубывакнцей, а по(щедовательпость правых концов (5(51 невазрастакпцсй, Поскольку обе эти по(щедовательн(исси ограничены [в( е э.
шменты последовательностей (апт и (Ьи ) находятся па сегменте [а(, 1>!11, то по теореме 3.15 обе ОНИ СХОдятСя. ИЗ тОП). (ТО раЗНОСтЬ 5н — ав яВЛястея бЕСКОНЕ 1- но малой, Вытекает, что !казани!>е по(зп)довательности име!От общий предел. Обозна (им этот предел через с. Из замечания 3 вытекает, что для любого номера и справедливы неравенства аа < с < 5„, т. е.
точка с принадлежит всем сегментам [ат,, бл[. 3. Некоторые примеры сходящихся монотонных последовательностей. Рассмотрим примеры по(.ледовательностей, для нахождения предела которых будет !(спользована теорема 3.15 о пре«деле монотонной последовательности. Крох(е того, в этом пункте мы познакомимся с одним общим приемом нахождения пределов последоватслыкк тей, задаваемых рекурреигными формулами [ П р и и () р 1. Ра()сх(отрллы посл(здова!Сльно( !ь (щ«51, элем()нг 11;и КОтОРОй РаВЕН а > О. Эту же последовательность можно. очевидно. задать следукицей рекуррентной форму>(ой: : =«щ ':.=«2«вн —. Для того чтобы установить существоваш(с предела пос,>едовап).(ьносол (:гп(, Докаж()м, !то эла послеловательность вол1х>сипанлдал и варан((ченнал.
Первое ускпгтривне>ся непосредственно. ДОК«1ж(ЛМ. ЧТО ПО(''!Ед015ВТ(5;!ЬНО(.'ТЬ (:Гг«1 ОГРВНИ'П)НВ СВ(лрку ЧИС- лом А, где А наибольшее из двух чисел а и 2. Если хв < а, то требуемое доказано. Есщл же щи ) аэ то, заменив в правой ча- ) Ради определенности мы считаем. что (1 > с. 2) ) )Гскуррснтная формула 1от латинского азова «гссппспва возвращающ)(йся) формула, позволяющая выразить 1н+ 1Рй элемент послсдоват(щьпости чсрс) значения сс первых п элементов. 76 гл.
з рн кдкл послкдовиткльности Стн НЕРаВЕНСтВа Х„= В, + Хо 1 < а+-Хв ЧИСЛО а, ПРСВОСХОДЯЩИМ , .'2 его >ислам хо, мы полУ шм хт < 2хв, откУда хн < 2. Итак, мы доказалп, сто последовательность (хв) огра>си пи|а с:верх1. По теореме 3.15 она имеет предел. Обозначим эни предел через с. Очевидно, с. > О. И:з рекуррентной формулы имеем соотношение >о — В+ >в — 1: ,д которое о>на сает. >то последовате»внести (хн) и (а, +:св с) тождественны.
Поэтому их пределы равны. Тасс как первая из этих последовательностей имеет предел с, а вторая в, + с. то с 1 т,/Г+ 1 = в, + с. От>тода, поскольку с ) О, находим что с = П р и и е р 2. Рассмотрим теперь последовательность (хн), с пс>мощью которой обычно вычисссяк>т квадратный корень из пп,южительного числа а на современных быстродействуюсцих электронных ъсашинах.
Эта последовательность определяется следуя>щей рекуррентной формулой: 1Р о1 хне> = — 1хв+ — ~. н = 1,2, где в качестве х> может быть взято любое положительное число. Дока>кекс, что эта последователье>ос:ть сходится и имс'.ет своим пределом сисло >>а. Прежде в~его докажем существование предела пскледовательности (хв). Д»я этого достато сно установить, по последовательность (х„) ограни сена снизу и, начинсся со в>порога нолсера, являеп>с:я не вос>рас>так>с>1е>1. Сначала докажем. что последовательность (хв) ограничена снизу.
По ус">овин> х~ ) О. Но то>да из рс>суррс>»твой форм,лы, взятой при н = 1, вытекает, >то хг > О. а отсюда и пз той же формулы, взятой при н = 2, вытекает, сто ха ) О. Продолжая эти рассуждения. мы дока>кем, сто все хв ) О. Докажем теперь, что нри тс > 2 все хв йдовлетвор>ион»ссривенству хв ) >/а. Переписав рекуррентнук> формулу в виде а; т> = — ( — '+ — ~. воспользуемся почти очевидным неравен- 1 ством 1+ — > 2 '), справедливым для любого 1 > О (хсы бс рем 1 = = — "" 1.
Получим, что хнт> > т>а при лк>бом п. > 1, т. е. хн > >а>, >> а Г начиная с номера н, = 2. Докажем, паконеп, что последовательнс>стъ (:св) пр>с н > ) 2 не возрастает. Из рекуррентной формулы получим х >> > >лв доказательства зто>о неравенства достаточно заметитаи что при С > О оно эквивалентно неравенству С вЂ” 21 + 1 > О.
77 монотоннын носльдовм н!!ьности — 1+ —,, й Огскэдй, 1'Гййтывйя„'Гто;гее ) у'пэ, нйидем (~ 1, или эги ) ти ! (при и ) 2). Те>к как последовательность (ги) при п ) 2 невозрастающая и ограничена снизу числом е((а, то она имеет предел, не меныпий з(а (см. теорему 3.15 и теорему 3.13). Обозна;Гая этот предел через с и учитывая, что 1!ш;го+1 = с и э э - э оо 1ш! ( — (го+ — ")) = — (с+ — ) получим с = —, (с+ — ) '). С.и*- довательно, с = Е/а. 3 а м е ч и н и е 1. В рассмотренных примерах использовался следующий часто употребляемый прием разыскания щ>вдела последовательностей. Сначала устанавливается существование Н1>(>дезлй, а зйтРм находи(ся е10 '!и(* ГОВОР знй'и!ниР из уравнения, которое п(элучает(я из рекуррептной формулы путем замены В НЕ',й Хээ И ГГтэ ! ! ИСКОМЫМ ЗНа'ГЕНИЕМ С Щ>(>ДЕ!.1а ПО(с!ЕДОВВТЕП!Ь- ности (ти).
3 а м е ч а н и е 2. Рекуррентные формулы часто используются в современной вычи(шительной математике, поскольку их щэим(.нениР щ>игодит к ынОТОк1>йтному пОВторени10 Однотипных вычислительных операций, что особенно удобно при проведении вьгшслснпй на бьп тродействукэщих злектропповы шслительных машинах. Рек'смогренная нами ре'курре>нтн?Гя ф01>КГула Ощ>еде;1я(зт, кйк мы убедились, алгоритм вычи( Гения з(п (мы доказали, что 1!ш:ги = з/а). иэх В дополнении 2 к настоящей главе изучается вопрос о скорости сходимости по(>ледовательно( тн (>ги) к з((пш .'!1ы доказываем. что для лк>бого а ) 1 при ощ>сделенпом выборе первого приближения Гг> уже четвертое приближение >а! дает пйм чи(шо е/а! с ошибкой, не превышакпцей 10 П р и и е р 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
