Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Интервал (с — е. с+с), где е > О, будем называп е-окреспы зсоесгзью спосгкп с, 6'. Х1иожсстззо всех вещественных чисел бу,и.м называть "шелопай, (беексззсечпой) прямой и обзозззгзчать символом ( — оо, +ос). 7'. Множество всех вещественных чиссл т, удовлетворяющих неравенству х > и (или х < 6). будем называть гссзлугсрлмсзй и обозначать символом (и, со) (или ( — оо, 6)).
8". Множество всех вещественных чисел х„удое. гстворяющих .неравенству х > а, (и:си х < (з), будем называть опькрьипой полупрлмой и обозначать сиашолом (и, оо) (или ( — оо, 6)). 3 а м е ч а н н е . Отметим, что сегмент иногда гсачывают зомкнуспым отрезно,м или просто отрезком. а интервал — открытым отрезном. Произвольнос множество (и) будем называть взютным е себе, если в любой окрестности каждой точки г этого зшожества содержится хотя бы одна точка множества, отличная от т.
Примером плотного в свое мнохсегтва может служить любое из определенных выше множеств 1'-8'. Другим примером плотного в сабе множества ксозкет служить множество всех рашзональных чисел. вхо сящнх в состав любого из множеств 1' — 8'. ДОПО.1НЕНИБ 1 О ПЕРЕВОДЕ 'ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИ'ЧНОЙ СИСТЕМЫ Сх1ИСЛЕНИЯ В ДВОИхХНЪг1О И ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУ1О В этом дополнении мы остановимся на алгоритмах перевода чисел из десятичной систомы счиссгения в двоичную и обратного перевода из свои шой сз системы в десятичную ). Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную. Для за сания:сеся плч ного числа х1е в разря.сной сетке электронной машины используют гак называемую н о р м а .з и з о в а н н у ю форму записи этого числа хсз = усв 10"". (2.18) В этой форме записи величина 21о = (1 — 25з)(о1 10 -~- оз 10 + -~- оз 1О ) (2.19) ) Излагаемые ниже алгоритмы реализуются, в частности, на электронной машине БЭСМ-4.
38 ТЕО1 ИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ННСЕЛ ГОЕ 2 называется десяти ~ной м а н т и с с о й зависло числа. причем о~ ) 1, Яз беРетси Равным нУлю пРи Ув вэ 0 и Равным единице пРи йю < 0 '), а показатель степени р = (1 — 28г)(13 т 1013 ) (2.20) называется десятичным и о р я л к о м данного числа, причем лг берется равным нулю при р~в ) 0 и равным единице при р;в < 0 ). в~ Рис.
2.3 На рис. 2.3 указано, ьак десятичное число (2.18)-(2.20) задается в разрядной сетке электронной машины. На изображение каждого из десятичных чисел НЫ ом ов, ..., пэ отводится по ~етыре двоичных разряда, так что каждое из указанных чисел может принимать любое целочисленное значение от 0 до 15, а на изображение числа ))в отводится всего лва разряда, так что дв может принимать значения О, 1, 2, 3 з). Стандартная программа вырабатывает по десятичному числу (2.18) (2.20) соответствующее ему двоичное число лю Эта программа реализуется следующим образом. Сначала вычисляется величина 3: 3 = (1 — 25з)(п~ . 10 -~- оэ 1О д- -Е аэ) 2 Затем указанная величина у умножается на величину й = 2вв 10 ' (попчетняя величина за,заотся в машшп" также в нормализованной форме, причем обычно с избытко:а в две единицы мла„ппего разряда мантиссы).
Произведение АТ отвечает, очевидно,,десятичной мантиссе (2.19). Дальнейшая процедура заключается в уьшожегши 93 на 10 или 1/10 в зависимости ог,знака рш (т. е. от лр), производимом столько раз, какова величина )рщ!. В завершение программы в полученном резульгате обычно очищают три младпгнх разряда мантиссы. Убка юаниая программа 1) обеспечивает по крайне й мере 30 верных двои чных.знаков результата, 2) обеспе ~ивает перевод в двоичное число. любого целого десятичного ~исла в диапазоне от 0 до 50 000, 3) обеспечивает перевод деппично нормализованного числа в двоично нормализованное чисто ). ') Таким образом, множитель (1 — 25в) в равенстве (2.19) характеризует знак мантиссы 9~о.
в) Так что множитель (1 — 25г) в равенстве (2.20) характеризует знак порядка 1во ') На самом леле, в силу конструкции клавиппюго устройства,на этом устройстве нельзя пробить каждое из чисел ды оы ом ... оэ болыпим девяти, а число дз нельзя пробить бблыпим сливины. Таким образом, каждое из чисел бы омов,..., ов меняется в диапазоне от 0 ло 9, а .пшло Зэ принимает значения О и 1.
') Если исходное десятичное число не являлось нормализованным (т. е, в (2.19) нарушалось условие п~ > 1), то и результат его перевода в двоичную систему может оказаться ненормализованным. ДОПО21НВВИЕ 2 В заключение заметим, что е<шн при реагязашш указанной программы в процессе умножения на 10 двоичный поря.<ок переводимого чи<шз превышает 59, то <альнейшие умножения на 10 прекращаются, лаже анги они треауются в гоатветствии с величиной )ргз!. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную.
Укагкем стандартную программу, которая вырааатывает по за <апному в пармы!изавюпгой фарг<с,[яои"агапу <иглу х = <1<.2 соагветствукгщее ему „и;сятичное число г'ш, записанное в нармв.шзованной форме (2.18) (2.20). В разря !ной сетке мапшны вырабатываемое число располагается так, как укагана на рис. 2.3. Программа реализуется стег<укнцим абрагом. Сначю<а игходное число хг множится на 1<10 для того, чтобы при па<щелующем умножении на 10 пе получить машинного переполнения.
Затем полу ичшое чи< то множится нз 10 или 1<<10 в зависимости от того, больше оно е:!ипицы или нет, до тех пор, пока результат умножений не попа <ег в интервал от 1<10 .ю 1. Каличегтво прап!не <енных умнож<'ний, очевидно, определяет !р<а~. Чта жс касается .знака рш, то он положителен, если исходное ни.за превосходит е,<янину, и отрицателен в прап!яном случае.
Далее очевидно, что полученное в результате умножений число и будет лесзтичной мантиссой <1<а. ЦифРы а!. аг,, аэ лесатшшой мантиссы <1<з апре:!еляются последователыю путем умножения нз 10 и выделения пелой <асти. ДОПОЛНЕНИЕ 2 ОБ ОШИБКАХ В ОКРз<ГЛЕНИИ т1ИСЕЛ В СИСТЕМАХ СхуИСЛЕНИЯ С х1ЕТНЫМ И НЕхуЕТНЫМ ОСНОВАНИЯМИ Предположим, что вычислительная машина работает с Вразрядпыми числами в системе счисления с основанием р ) 2. Тот„<а, не уменыпзя общности, можно считать, что все чигла .г,, хранящиеся в памяти машины, имеют ви:! х! = игр Е игр -'; . Е и<р где козффипиенты и,, (! = 1, 2,..., 1) могут принимать, значения О, 1,...
.... (р — 1). Совершенно ясно, что такие операции, как сложение. умножение или деление, бугучи проишедены нвд !.-ралря,<ными чиглзмп, могут дать в ре-<ультате числа, га <ержшцие более чем 1 разрядов, и поэтому естественно возникает пвобходиг<ость в округлении укгх<анпых чисел до 1 разрядов. 1загсмотрим простейшую операцию . - округление чисел. гогержащих ! + ! (где ! ) О) разрядов, до чисел, содержащих ! разрядов.
Каким бы способом ви производилась окру<ление со,!ержащего (1 Е г) разрядов числа х<'т'<, разультатом округления долл<но быть Рразрядное чисто. От< ю;!а вытекает, чта апплбка округления числа а<вы (обо<п<ачиг< эту ошибку символом 1т )) имеет следующий вил: е(х ) = — гр ч- <гг<!) ' р Здесь г мож<т принимать значения О, 1„.... р" — 1 в зависимости от значения последних г разрядов числа .г, а от гп1г) некоторая функция от г, принимающая ц<лочисленные значения и зависящая от выбранного способа округления. 60 ГЛ. 2 ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ лШСЕЛ Наиболее важной характеристикой ошибки округления является ее л;реднее значение Ь, которое определяетгя как дробь лл и«'з- з в числителе которой стоит сумма ошибок, соответствующих всем допустимым значениям чисел х ', а в знаменателе — количество таких чи«ле « Предположим, что все рассматриваемые числа:с«л»Ю удовлетворяют неравенствам О ( т«ею ~ < Е Тогда.
очевидно, количество п~'~'«всех чисел т оупет равно р, н мы получим после несложных пы шслений, что 2 [ — «Р «' Ю З- г««««) Р ') «,+,« / "~ Р" — « р1з- 2 « *-о Сумма 2 п»«г), стоящая под знаком фигурной скобки, завнгит о'г выбранного нами спогоба округления, но в любом случае зта гумма будет целор' — « численной. Второй член под знаком фигурной скобки при любом 2 ч е т н о м р не будет целым. Таким образом, при любом четном основании р средняя ошибка Ь пе равна нулю. Это означает, что при ллобом фиксированном способе округления, опре «еляемом лишь отбрасываемыми разрядами, ошибка от округления до меныпего числа разрядов будет иметь систематическое смещение при любой системе счисления с четным основанием. С другой стороны, легко проверить.
что обычное «школьное» правило округления г любой системе с нечетным основанием приво,«ит к «несмещенным» ошибкам. 1л ) Символ 2 есть символ суммирования тех гзагаемых. которые записаны вслед за зтим символом. Если указанньп слагаемые зависят от номера й то запигь 2 обозначает, что нужно произвести л:уммирование по всем значения»| '«От «п цо 7«.
ГлйВА З ПРКДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ О:спой из основных операций матсматического анализа являстся операция предельного перехода. Эта операция встречается в анализе в различных формах. В настоящей главе рассматривается простейшая форма операции прсдс:п,ного перехода, основанная на понятии предела так называемой числовой последовательности. Понятие предела чистовой постюдоватсльнскти позволит нам в дальнейшем определить и другие формы операции предельного перехода. у 1.
Числовые последовательности 1. Числовые последовательности и операции над ними. Из элемечттарного курса читатель имеет представление о числовых последовательностях. Пряхи'рами числовых последоватсльностей могут служить; 1) последовательность всех элементов арифмстичсской и геометрической прогрессии, 2) последовательность периметров правильных 11-угсзльников.
вписанных В даННуЮ ОКружНОСтЬ, 3) ПОСЛЕданатЕЛЬНОСП Х1 —— 1г;Га —— 1,4, та = 1. 41... приближенных зна и ний числа ъ'2. Этот пункт мы начнем с уточнсння ПОият11я *сис;10вой ПОс;1сдоватс;и тюсти. Если каждолгту сислу и псипуральпиео рядо чисел 1. 2г......, 11,... Ставится а еоотаететпаие по определтьчалсу загсотггг тгено- П1ОРОЕ ОЕтйгтетастстгОЕ СиСЛО Хгн та ЛишатежснтО ВаПУМЕРООангти: аещеетпаетстсмх чисел Х1 та ° ° ° тгг (3. 1) мьс и будем тсааиаатпь числовой последооательпостыо или просто последоаатпельтгостью. с1испа тп будем называть «лементамв или членами поачедоватетьности (3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
