Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 11
Текст из файла (страница 11)
лк)бое иго!прил!а)г)ельное пион), входящее в состав множества (х). Предположим. что это чигло х не удов и гворяет неравенству х ( х. Тогда х > х и по правилу сравнения найдется номер )с такой, что хо = Уо, .... хв ! — — .г! 5, х),, > Уя. По после))- ние соотношения протнворе )ат тому, что в качеств!" У),. берется и и и б О .,! ь ш и й из д!)С5!тичных энаков х), т!)х э:имен)ов х, у которых ц!'лая !асть и п!'.рв)и. (5! — 1) знаков поет! за~ятой соответственно равны УО,:г!, .... х)„.
Докажем тши'рь 1!тверэкден!)е 2). Пусть х' = х)0. х'!х! ... ... х'„... — произвольное вещественное чи)шо ), меньпис х. Тогда в силу правила сравнения втц! Ственных чисел пайд! тся номер и такой., что ) ,) То 5!)О ))! Х!" "Хп..! — Хп — !" Хп ~ Хп )2 !) С другой стороны, чи)шо т мы строили так, что среди элементов аШОжсетна 1Х) ПайДСтСЯ ЧИ!)ЛО Х = Хо. Х!Хо ... Хп ..., ЦСЛВЯ часть и первые н десятичных знаков у которого т1- же, что и у числа х.
т, е. !О ХО ° У! Т! ° ° ° ° )п-.! )п-! ° Уп Хп. Сопоставляя (2.7) и (2.8), в силу правила сравнения вещественных шсел полу п)м, что х' ( х. Угпверэ)оден!)е 2) докалано. Таким ооразом, для случая 1' существование точной верхней грани доказш!О. 2'. Аналогично докаэываетс5! существование точной ворхНЕй ГраНИ И ВО ВторОМ ! )уЧаЕ, КОГда ВСЕ аЛЕЛ)ЕНГГ)Ы, МНлаяосства )х) являю)ася, о)прнцотельны)ил), ве)цес)пвеннылин снслалп!.
В этом случае все элементы множества )х) мы представим в виде отрицательных бесконечных десяти шых дробей. Обо плачим через Уо нанлнсньт1ро из целых частей этих дробсй; через х! — Нанмень1а1п! и! первых десятичных знаков тех нз этих дробей, у которых целая часть равна хо! ч!роз УВ . нона!еньтнй и.! вторых десятичных )иаков тех и ! этих дробей. у которых целая '!Неть рйВна хо, а перВый десчти'ш! )й знак раВ!'.н У! ', Таким путем мы определим отрицателып)е вещественное число !!'0' !!' ! 'Гт ' ' Хп В полной аналОгии со счучаех! 1 докжэыВж'тс5), ч'!'О чис')О У 5!В- ля! тся точной верхней гранью множества ) х) !т.
е. удовлетворя- Это чис)о л' мы, не ограни шваи обгцности, будем считать неотрицательным, ибо если оы оно было отрицательным., то неравенству:с > т.' улов)н)творил бы неотрицательный элемент х множества (х). теория нешес'!'Венных чисел ГЛ. В Рт двум у>верждениям, сформулированным при рассмотр(".нип (луча51 1 ). Теор('мз дока:>анз. 3 а м е ч а п и е . При доказательстве т(*оремы 2.1 для (шу- 1ЗЯ 2 1' 1ПСЕ!а и = ЗЕВ И)тэ ..
Я77 . В(Р Д((Я(И 1НЫР эиа1'И. начиная с некотОроГО МРс! 1, мОГут Окз:эаться равными нулю, т. Р. это число может оказаться иъ!Р!Ощим вид х = —:со.ж! ... УЬ .>Я>7 000 где Уа ф О. В этом случае остается в силе приведенпо( вьппе доказательство, по согласно договоренности, принятой в и. 3, при сравнении с эл('.ЫРнтами мнОжсстВЗ 1ис(!О я (' !Рд17ет записыВать В Вид(' :1: — — ео (Г! ..'1:1: — 11л(7 — 1) 000 й 2.
Арифметические операции над вещественными числами. Основные свойства вещественных чисел 1. Определение суммы вещественных чисел. Одним из важнейших вопросов теорци вещественных чисел является оо(!1>ос об 01)реде>!енпп, оиерац(и1 слооюе(и(л и ултоок>е!ГН5а (эгап7 з Гисел и о соойсг(шоя этих гте1х!(гий. Остановимся пр(жд(" всего на операции (шожения вещественных пп:(Гь Хорошо и)вестно, как складывают два вещественных числа па практик(ь Для ТОГО (тООы (ш07кить дВЗ ГР!ИР('тВенных числа а н 6, их заменяк>т с требуемой степеньк> точности рациональныии чи(шами н за приближенное значение суммы двух данных В( и(("ств()нных (ис( л бор! т сумм> >казанных рз.пион)хтьных !и(х'л.
При этОм 00В('рш("ннО н(' забот5ГИ:я 0 том, с какой! стороны 1но недостатку или по избьпку) в: ятые рациона (ьные чи(Г!а приближают данные веш(ствснные пнла и н 6. (Ракти(ески укаэанп!>й практи (еский способ (шоже«и> В('Ш()(тв(н«ых чисел предпо,,(агаег, что им точнее рациональные числа сх и ц' приближают 10 любой стороны) вещественные чиста и и 6 со- отВ("Гстзенно, тР ( 'Го 0(Р(' ('умма (х + (д приб;п!я(зрт то з('!Н('- СТВРННО( 'НПГЮ7 КОТОРОР ДО:!ЖНО ЯВ.!ЯТЬСЯ С("ММОЙ В(ЩРС!ВЕННЫХ чисел а и 6. Желани(', Опр>хвдат! Указанный практич(ский способ с:!Ож(ь ния ВРщрстВенных '1НСРл7 РстрстВРннО, приводит нас к слрд("ю- П(РМ>' 01Ц)ЕДРЛ01П110 СУХЬ!Ы ЛВУХ ВРПШСТВРННЫХ ЧИСРЛ. 11усть о! и (хя какие угодно рациональныс ппша, м(вя(ду котОрыми заключено В(щ(стврннОР чис10 а (т( ().
0> ~( а ~ (о)), з ()'! и 1% . какие угодно рациональпьп числа, м(жду которыми заключено веществ(нное чи(шо 6 1т. Р. 1>! < 6 < 7>>в). Тогда суммой вещественных чисел а и 6 мы назовем такое веществен- С 2 АлгИФХ!ЕТИ'1ЕС'1СИЕ ОПЕ!ьАЦИИ ИАД 'П!О 1АМИ нос'. 1ис;1О х, кот01)ОР 'лзключенО м('.жду ВсРми рациональными числами ос+ )31 и ы2+ 132 ) 1Лныьси словами, с 9 м м о 12 Релйеспст синях чисел а и 6 мы, наливе,,и гпссксэе с«с(Иве(пес.нное ч(село:г„когпо!«(е для лсобьсх !юйссвнальньсх 'сисел ыс.
Ой, )зс сс 192, рдосллеьчвврл«нцих гсерасэенсгсссвссм Ос < и < ой, С)1 < (1 < сс)2, (2. 9) ддокле!Ив(эрлен! следрюткм, не1«и«гсшпсспьмл с(1+ А < х < с(2+ (дв. (2П О) Сун!Рс'твОвзнисг тзкОГО ВР!ц("стВЩ1ИОГО 'ли(с1з х, 11 п)зитоы тОлькО одного, не вызывает сомнений. (Соответствующее доказательство приводится ниже.) 11етрудно убедиться в том, что таким пп соы х ЯВ.!ЯРтсЯ точнзЯ ВР)эхнЯЯ ГРзнь ынОжРстВз (ссс + Д ) сгмм ВОРх (юнионзс!ьных чисРл стс и 19(, )дОВ.;нгтвО)11!ющих л(- вым нерзвенс;твзм (2.9) 2).
1'. Прежде веста убедимся В то л, .по указанная верхняя грань существует. В самом деле, фиксируем произвольньн. рациональные числа 11 и На, удовлетворяюппсе правым неравенствам (2.9), н рассмотрим всевозможные рацион шьные числа Ос и дс, удовлетворяющие левьсм неравенствам (2.9). Из свойства транзитивиости знака ), установленного в п.
3 9 1,. приходим к выводу. что Ос < ог. Вс < Зз, а из этих неравенств (следует, что и, -~- Вс < ог -1- Вг (см. конец п. 1 1 1). Такнм абра(эом, множество всех рациональных чисел (ос-Ь дс) ограничено сверху и число и -~-И является едкой из верхних граней этого множества. По теореме 2.1 у множества (Ос -Ь 01) существует то сная верхняя грань, которую мы обозна шч через г. Остаатся убедиться в том, что число х является суммой вещестненньсх чисел а и Ь, т. е.
удовлетворяет неравенствам (2.10). В самом деле, по апре,зелеяикэ то 1- ной верхней грани, справедливо левое неравенство (2.10), а справедливость правого неравенства (2.10) вытекает из того, что О 1 + да — одна из верхних гриней, а х — (ночках всйсхнлл гринь ъпсожества (см т (11). 2'. Установим теперь, что суспествуот в(илько одно вещественное чис- .,«1 х, удовлетворясощес неравенствам (2.10). Будем сншраться на еле;сующлю лев(чу (для тдооства доказательство этой леммы отнесено в конец настоящего пункта); Лемма. Рдс,ли длл дврх данных аещсстаеккмх чисел,гс и хз и длл лсабозь наперед езятоао по лооюителькозо рациокаль кого е кайдртсл деа рассиональкьсх «села,с и 11 таких.
"«по 91 < гс < чл -,1 < хг < -э и 11 — -,1 < с. то числа гс и.г разны. ПредполОжим, чтО сс"1ц((стВ('кст ЛВВ Вс(исссственных 1нслз .111 и гэ, лдОВ- летворяюшнх неравенствам (2.10) (при лксбых рацпоналыпс( чисгых Ос, Ог, „'11 и 3з, удовлетворяющих неравенствам (2.9)). Возьмем любое положительноее рашюпальное число з. Согласно утверждению, .доказанному в п. 4 1 1, !э Зим(этны, .(то В эгюьсенчьисном «1"рсе сумма двух Весцсственных .(нсел определялась аналогичным образом (см. А. П.
Киселев. Алгебра П. Учпедгиз. 1959, с. 9). а) Аналогично можно было бы убедиться в том. что таким числом является точная нижняя граяь множества (оз -1- дг) сумм всех рациональных чисел Оз н дз, удовлетворяющих правым неравенствам (2.9). ГУК 2 тко1 ин вкщкствкннык нискл для вещественного числа а и для рационального числа ег!2 найдутся такие рациональные *шола а! и аг. что и! ( а ( и, причем а — а! < г2. Аналогично для вещественного числа 6 и для рационального числа ег!2 найдутся такие Рациональные числа В! и В, чго В! ( Ь ( Вг, пРичем Вг — В! < е г2. Таким образом, оба веществегппгх числа л! и хг будут заключены между двумя рапионагп,ными числами 1сг! 1 В!) и 1а -1- Вг), разность между которыми 1по молу!по) равна 'ги 9 Вг) — «г! +,В! ) = гга — о! ) 1- «уг А ) < -. "1ак как е — любое наперед взятое положительное рациональное число, то в! — — вг в силу сфорлгулированной вылив леммы.
3 . Установим, накопаю гто в применении к двум рациональным числам сформулированное нами определение суммы вещественных чисел и известное из элементарного курса определение суммы рациональпьгх чисел приводлт к одтгму и тому же рсьтульп!оп!у. В самом деле, если п и 6 — два рациональных числа, удовлетворяющих неравенствам и! ( а < о , .!3! < ( 6 ( пг, а «! -1- 6) —. их сумма, получогшая по известному из элементарного курса опредолегпгкг, то очевидно, гто «! + Вг) ( и Э 1г ( < -Ь Вг), 12.11) причем, согласно галька гго „юказанному утверждениго, рапионсдьное число «! -1-1!1 является единственным аещестаенныь! числом., удовлетворяющим неравенствам 12.11) 4'. Прежде чем доказывать сформулированнук! выше лемму, установим следую!нее вспомогательное утверждение. Каковы бы ни были два вещеегтвенныя числа а и 6 гпакие, чпго Ь < а, найдется рш1иоиальиое число а, паклю'ге!шов мсоюду ними, гп.
е. такое, что 6 < и < а 1а следовательно, найдетел и бесконечное мнопюеспгво раз.личных рациоиальнь!я чисел, закан!ченньгя между а и 6). Очевидно, достаточно расом!преть случай, ко!-ла оба визга а и 6 неотриг1ательиы, ибо случай., когда а и 6 оба иепологкгггггельны., сводит! я к указанному случаю посредством парохода к мод!ням, а случай, когда одно чис.ло г!олооюипгельио, а другое отрииагпе.лько, тривиален 1в качестве и можно взять нуль). Итак, пусть Ь > 0: 6 < а; а = ао, а! а! ... и„...; Ь = Ьо, 6! Ьг ... Ьп ... Пусть Ь - ншгменьший из номеров п, для которых нарушается равенство а„=ь„,т.е.ао=1ль,!!!=6! ... а! ! =Ье- !,аг>ьг,.
В силу договоренности, принятой в п. 3 Я 1, можно считать, что все а„ нри и > Ь не могут быть равны нулю. Плеть р иаимеиьигий из номеров и, превосхо;еящих 16 для которых а„> О, !. е. о,=ао, ал, ... а!. 00 ... 0 и„ Тогда пз правила сравнения вещественных чисел непосредственно вытекает, что рациональное число и, = ао.о! ... а! 00 ... 0 1а„ вЂ” 1) 999...
удовлетворяет неравенствам Ь < и < а. Вспомогательное утвержденна доказано. Обрагпаясь к доквзатольству ломмы, предпогюжим., что,г! ф вг, Пусть ради определенности .е! ( лг. Тогда в силу вспомогательного утверждения наи;гутся два рациональных !пела о! и пг таких, что 12.12) в! <ем <аз < гг. Пусть теперь -, ! и "!г — какие угодно р;щиональные чищш, уговлетворянгщие неравенствам 12 л( иех(Г(ти !Ие кии они! лции нлд числлми (2.13) 3) < л) < 3), () < вв < З(ь Из сопоставления (2.12) и (2.13) и из свойства траизитивиости знака ) получим )) < о! < о) < -). Но тогда )) — )) 'Л о — о (, что противоречит тому, что разность 3() — З) может быть сделана меньпп любого наперед взятого положительиого рациопальиого числа я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
