Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Докйжеп(, что Гю(!тРдОВйтельность (си). Д.1я когоРой си .= ", их!ее.г пРи лк>бом фик('иРованном (г пРеде.л, Еи+ 1)! равный нулкэ. 1'ак как п1эи достаточно большом и дробь ' < и -Г- 1 ( 1, тО, НаЧИнаяСНЕКОтОРОГОНОМЕра Э"ЭГ, ИМЕЕМ )Е>ээе!( ( (Си~. ПОСКОЛЬКУ / (>(ее! ! =- =- ~ Е>ээ ~ ' 1и'~ ~т! , ~в! и! и,-~-1 и-1-1 Следовательно, начиная с номера Х. последовательность (/ си!) будет ъ!опотонно убывакэшей и ограниченп(эй снизу (например, нулем).
По теореме 3.15 по(шсдовательность (/ сиД сходится. П>'сть с — предел этой последовательности. Из соотноэ Этеэ Рввенктво вытекает ив РектРРентной фоРээхлы:(м тэ = — Г тл, -й — >1 . 78 гл. з ри нднл иослндонятнльиости !ПЕНИЯ ! Сп-!-1 ! — - ( Сп ) ' С и!Д1Ч1Т ЧТО С вЂ” О ТаК КЗК ПР1 Д! Л ,-1 послеДовательности 1! спэ1/) Равен с, и пРеДел послеДовательности ~ ' 7 равен пулю. Г (х! и+1 4. Число е. Применим теорему 3.15 о существовании предела а10нотонной пос,!едОвательнОсти для доказательс1ва существовании при'Д1!Ла по11Л!Донат!".Льно1тп 1хп), элеэ!гптт;ггп к71тс1- рой определяется формулой ' =(" )и Пока?кем, '1то эта посл!'.доват!'.льность (77771л777гпггегп1 'и 17арм7!Н1- 7еиа сверху.
Применив формулу бинома Нькгтона, найдем 1 п(п — 1) 1 пйп — 1)7п. — 2) 1 7п, — +11 + и 2! и'-' 3! пв ...+ п17! — 1Н7! — 2)... [и — 1п — 1)) 1 п,'. 777 Представим это выра!кение в 1шедукпцей форме: хп = 2 + —,, (1 — Ч +. —, (1 — Ч (1 — -) +... -'(1-Ч(1--') (- ') (3б) Совершенно аналогичным образом запишем элемент хп в11 =' —,' ('- п.',) —,' ('- ..',) ('- „,',) Непосредственным сравнением убеждаемся, что 11 < 11'77-~.1; т.
е. последовательность 1х„) вг7зрастаи7щил. Для доказательства ограниченности этой последовательности сверку заметим, что каждое выр71жение в круглык скобкак 1 в соотношении 13.6) меньше единицы. Учитывая также что — < 18 1 <,, при Й > 2, полу !им Итак, последовательность 1хп) возРастает и огРаничена свеРКУ. По теореме 3.15 посшедоватсльностть 1хп) имеет предел.
Этот ') Ибо ! 1 — — 7! < ) 1 — ) для любого О < Л: < и и, кроме того, х„ и, п -1- 1 содержит но сравнению с т„липшии положигелвныи член 1 Л СВОЙС'ГВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСЗ'ЕЙ 79 1(ред(зл называк)т |ис;|ом (ь Сл(здоват( льне, по определ((ннк), 1 ') и е = 1пп (1+ — ) ( ) 3 а м е ч а н и (). В дгзлз Вейн!ох( выяснит( я, гго чи("и) () игра(т важную роль в матех|атике. В настоящем пункте мы даем только определение числа е, по не указываем способа вы пиления этого числа с лк)бой степенью точности. Это будет сделано в ш|.
1 и 2 з 16 гл. 8. Здесь мы лишь отметим, тто поскольку х„< 3 и из (3.6) непосРеДственно очевиДно. Зто 2 < хо. то чи(:|о е заклк) |ено в предел()х 2<в<3 (3.7) (в силу следствия 2 из теоремы 3.13). я 4. Некоторые свойства произвольных последовательностей и числовых множеств 1. Подпоследовательности числовых последовательностей. Пусть:г|, хи,.... х„, ... — некоторая пиловая п(кледОВательно('ть, 1 ги:смотрим прозтзвольнук) Возраст)1кнцз'10 по(си.'— ДОВатЕЛЬНОСтЬ ЦЕ.|ЫХ ПОЛОжИтЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ й|, йя, .... йо, ... Выберем |гз последовате;|ы|Ости (хв) .элементы с поморами й|. йэз .... йп, ...
И РаСПОЛОжИМ И:( В ТНКОХ| жв ПОРЯДКЕ, КаК И числа йт: еь,,...,(г.ь„; Полученнук) ш(ловую последовательность будем называть подпоследовителыиютьто последовательности (хв). В ча( тности. сама по(шедовательность ((гт)) может рассматриваться как подпоследовательность (в этом случае йп = и). Отметим следуклцее свойство подло(ледовательно(той сходящейся по(шедовательности: если последовательность (:гп) с:годится и имеет своим, пределом число и, то и любил т)одпоследовательность отт)о(1 последовитпельносп|и сходится и иместп, сваг(м пределом (осло а. В ('амоы д(ми). так как ((Г55) схОдяща5и:5| по(си'дОВале:1ьность и и - ее пр(з.(( л, то д1я.1к)бого е >О можно ука:зать номер )т' такой, что при и > ))т выполняется неравенство / хо — и / < е.
ПУсть (л|.„,) — некотоРаЯ поДпо(шеДователь- НОСТЬ ПО(ГЛЕДОВат(ЛЬНОСтИ (;(п). Таи КаК йк > ))т, ТО, Налнная с номера йн, элементы подпоследовательпости (х|м) удои;и.тверяк)г нергзвенств( !:г„— о / < е. Поэте)(п полно(си)довательность (х|ы) сходится и имеет пределом чи(ыо и. Справедливо и обратное предложение: если все подпоследовителг.- ности г)инной послсдооателы|остлл (го) сл)одятся. то пределы осех этих под))оследовителы(осте() )х)вт(ы одт(омд) и, том|) 80 Гл. 3 предел последовательности о)се числу а; в частности, к этому оюе числу сходится и, последовательность )х„).,(ействительно, лак как по(лсдоват('льность )хп) также является подпо(ыедователып)стью„то она сходится и имеет пределом некоторое число а.
Но тогда и любая другая подпо(шедовательность также сходится и имеет тот же предел а. Подпо(шедовагельности бесконечно оольших последовательностей обладают аналогичным свойством. Именно, каж:дая иодиоследоват(льиоскгь беекоиечио болыиоб пгвелсдовапгельиости также будет, бескоиечто больилой.,(оказательство этого утверждения аналогично доказательству соответствующего предложения о подпо(.ледовательпостях сходящих(я последова- "1()ЛЬНОСТ()Й. 3 а ы (' '1 и н и е. Из каждой схОдя1ц()йся ПО("и'.доВат('льности можно выделить монотоннук) сходящунк:я подпоследовательность.
В самом деле, если )х(э) сходяп(аяся по(ледовательность и а ее предел, то имеет место по крайней мере один из (ыедук)щих трех случаев: 1) имеется бесконечно много равных а элементов последовательности, 2) в лк)бой е-окрестности точки а имеется бссконе шо много алехи нтов, улов;и)творяющих неравенству хп < а. 3) в лк)оой е-окрестности точки а имеется бесконечно много элементов, удовлетворяющих неравенству х„< а ).
В первом случае сходящейся монотонной подпоследовательностьк) является подшкледовательность равных а элементов. Второй и третий случаи рассматривепотгя одинаково, поэтому ограни !имея рассмотрением второп) слу (ая, т. е. будем считать, гго в любой е-окрестности точки а имеется беско- Н() 1НО МНО! О ЭЛ( ХП Н 1 ОВ Хп, 1 э)ОВ Н 1 ВОВИК)П1ИХ Н( 1)5)ВЕНО 1 ВУ Гп < < а.
Иными словами, ра(агмотрим ( (учай, когда в лк)бом интервале (а — е.а) содержится бесконечно много э.,н)ментов по(' и)ДОВательно('ти. ПУсть хь Один из этих э:и!ментов. хь! < < а. Из бесконечного множества элементов по(шедовательности )ха), находящихся на интервале )х(та). выберем какой-нибудь элемент хьэы номер Ь~ которого больше )с). Затем из бесконечно- ГО МНОжЕСТВа:)ЛЕМЕНтОВ ПОС.,)ЕДОВатЕЛЬНОСТИ )Ха), НаХО;(ЯЩИХСЯ па интервале (хьа а) выберем элемент хьы для которого кл ) > )св. Продолжая этот процесс неограниченно, мы полу (им монотонно возра(тающун) поднос,н)довательность )хь„) по(шедоВВТе)1ЬНОСТИ )ха), КОТО1)515!. В Силу УказаННО!'О В ЭТОМ пуНКТС свойства подпо(ледовательностей сходящейся последовательности.
сходится к а. Если бы ни один из;эи(х случаев не имел места. то в некоторой е-окрестности точки а находилось бы лишь конечное число эл('ментов после.(оватсльоости, т. с. точка а пс бьша бы пролетом последовательности. ( л сВОЙс'1'ВА пРОизВОльных ИОслеДОВАтельностей 81 Отметим.
что из каждой бесконе гно большой последовательности можно выделить монотоннук) бе( конечно болыпук> подпо(гледовательпость. 2. Предельные точки последовательности. Определение 1. Точка х бесконе той прямой наливается 71, р е д е .л ь н о й 7п о ч, к о 'й п(н)ледовапгельност(та (:1:л), если в лн>бой г-окрестностм этной таочки ил(естся бесконе.чно много эл(>иетиаов последовательности (11;„). Справедлива следук)щая лемма. Лемма х. Ес.ли (г — предельная точка последовательности (ха), то ти этой последовительности маслено вь(делить подиоследовительность (эь„), сходяи(днюя к числд х.
Доказательство. Пусть х -предельная точка по(щедовательности (хо). Ра(тмотрим систему е-окрестно(тей точки х, для которых е последовательно равно 1, 1>>2. 17>3, .... 1>71.... В первой из этих акре()тностей выберем элемент (сь, последовательности (хп), во второй пирес>ности выберем элем()нг:гта такой, тто 1г > йг. В третьей окрестно("ги выберем элемент хг., такой, что Ка > Йз. Этот проце(т можно продал)кать неограниченно, так как в лк>бой е-окре('тности точки х нм(ется оесконсчно много элементов последовательности (ха). В результате мы получим подло(ледовательность;хь,, хг,.„ ...,хь,, ...
последо! ват(гльпо(ти (хт)). которая сходится к х, так как )хь — х) ( —. 11( мма доказана. 3 а м е 1 а н н е. Справедливо и обратное утверждение: ес- .>И 11) По(;)ЕДОВаПЛЬНО("1 И (Эп) Хгвжио выделнть Полно(ЛЕДОВательность. сходящуюся к чш!Лу;г. то чи((ло х является предельной точкой по(лсдователыюсти (х„). В самом деле, в .Побой е-окрестности точки и; имеется бесконечно много элементов выделенной подпо()ледовгпельности. а стало быть, и самой по( и.— ДОВВТ(ЛЫКИ:Ти (Хо). Такиьг образом, можно дать друп)е определение В1>сдельной точки по(.ледовательпости.
эквивалентное определеник) 1. Определение Й. Точла. х ниэывиется предельной точгкой послсдооолпсльт(осттл (хо), сели иэ:лпой послсдооапгсльткюпги моэм>но вь(делит,ь т)одт>осоледоватпельность. сходящуюся к эь Отметим (лелук)шее утверждение. Лемма 3. Каэ>сдал сходящаяся пос.гедовотельностпь иметп, тполько однд пределы(тио тпочк>1, совиадиющдю с прг делал( отпой последовательности. Д о к а з а т е „1 ь с г в о. Отметим. во-первых. что предел а СХОДЯЩЕЙСЯ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ (>сл) ЯВЛЯЕТСЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ тОЧ- кой этой по(1,>едоват(льности, поскольку в любой е-окрестности тОчки а содержатся В(ч'.
эл(.'ъ1енты последовательно('тп, на'1иная с некоторого номера. Убедимся, гто у сходящейся по(щедова- 82 пгкдкл поолкдовиткльиооти ГЛ. 3 тельности нсэт других прсэдсэльных то'сек. Дс>йствитс'.льне Ь вЂ” ссрс>дальная точка сходяссссйся пс>с:>едовагельнос"ги. В силу леммы 2 иэ 1хп) можно выделить подпск н>дс>вательность 1х>п, ), сходя>с>у>ося к Ь, но .:попая волги>с.ледоватс>лыпя:ть ~ходящейся последовательности имеет предел а (схс.
и. 1 этого па)>г>графа), и поэтому Ь = а. Приведем пример пос >едовательности, имен>щсй две предельные точки. Докажем, что последовательность 1„2. —,2, —. 2,..., —.2... '2' '3' "' 'и" Рис. ЗЛ ') См. определение 2 предельной точки. а> ') 31ы говорим, по число а лежит правее числа Ь, если и ) Ь (гаг. 3 3 гл. 2). имеет толысо две предельные то >ки О и 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
