Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В практике физических измерений используется и еще один способ задания функции графический, при котором соответствие между аргументом и функцией:задается посредством графика (снимаемого, например, на осциллографе). Й 2. Понятие предельного значения функции 1. Определение предельного значения функции. Рассмотрим функцпк) у = «(х), определенную па некотором множестве (х), и точку а. быть может, и пе принадлежащую мпо>ке«тв) (х), по об.:1адйкпц)зо тем свойстве«1, что в лк)бОЙ еокрестности точки и имен)тся точки множества (х), отличные от и.
Например, точка а может быть П)анпчной точкой интервала, па котором определена функция. Определение 1. Чиец)о 6 иагь)еиепи:я, и р е д е л ь и ь) м ,з н и, ч е и и, е м ф у и к ц и и у = «(х) и и, о ч, к е х = а ()ьаи пределом функции при х — >а), еслидлялн)6ой)ходя- и!ей!)я к а последоииетелспзоспт хз, хг,..., ха,... Йпиичеаипл аргу,МЕНХПа Х, иЛЕМЕИти Хп КитиРой ОтЛ7)Ч))Ы, От а ') (Х ф- а).
СОП)П; ое)7)шпиухнция последовательность «(хз), «(:ги),..., «(хв),... значений фу)зкции, сходи)пеня к () ') Это ) ребованве обьясняется, в частное) и, им, *по функння «(х) )и>не) бьиь не определена в точке и. 10й Гл. ! ПОЦЯТ1ЛЕ ФУНКЦИИ. ЦЕН1'ЕГЫБНОСТЬ Для Обозна «.Иня пргдельллого зна,*«;ния <))ункцип использ)'- ('тг51 (с«дтк~ЦВ5! ('имВОлика: 11ш з (х) = Ь. Отметим, что футскция д = 1(х) мооюе«с иметпь а таочке а пю)лько одно предел( !!ос зт(аче<сие. Это вытекает из т<юо.
что последовательно<!Рь (1(х )) может имел ь только один щн дел. 1 5)ссхютрим не('кол)ко примеров. 1, Функция ! ((1!) = с иуп'('1 пред(лтьноо знач('.ни(' В каждоЙ точк(' б< скоп(зной щ)яь«)й. В самом де 1Р, ( <) ли хл, хи,...,.Ть.... ('.<'Ть . 1«)бая сходящаяся к а по<ледоват<нльность зна лений аргум(нта, то соотве<птВЛЮИ(ая ио(1!«Довапльнос!ь значРННЙ <))Ьнкции имеет вид с, с,...,с,... и поэтому сходится к с. '1аким образОм, щ)(ДРльноР зна «н1« этОЙ <))ункцин В любОЙ точк( х = а равно с.
2'. Пр< делю!о( знач('ци<' функции !'(х) =- з: в .побой точке а бес«Он("!ной! щ)яу«)Й равно и,. Д(Й(твит<хльно, В этом < пуча< Ног.пдовательногти знанний щ)гбмента и <))ункции тол(лестн(н- НЫ, И ПОЗТОХ!У, РНЛН ПОС:)РДОВВ)Р:)ЬНОСТЬ (Хь) СХОДИТСЯ К а,, (О П последовательно('ть (1(х„) ) также сходится к а. 3'. Функция Дпрпхле, значения которой в рациональных то 1ках раВны РдиницР, а В щ)рациональных нулю, нР имРст предельного значения ни в одной точк< а бескоп(чной прямой.
Дей(таит<льна, для сходяп«)йся к а, последовательности рациональных зна !гний аргумента предел соответствующей последоват(з1ьности зн<«ний флнкции равен Рдингщ(г, а для сходящРЙ- ся к а последовательности иррациональных значений аргумента предел соответству«нцей по(ледовательности значений функции равен нулю. В дазьнгйшем мы будем использовать понятия односторонних пр(дельных значений функции. Будем считать.
(то множ< ство (зх), на котором задтила <))Ь нкция Я!х), для „побега е ) 0 имеет хотя бы один элеи!Впт, люкащий на !лнтервале (а„а + е) (соответственно на интерваг«! (а,— — е, а,)). Определение х. 'Э(с<я!о Ь тс<сзтааетт!ся и р а а ьс м (л е а ти, м) предельным значением фтттскг(и(1~(х) отпочкех=а, егли для лтобой сход.пцейся к а тсоследоа<сттсельтсоетттгс хл, х), ...
..., з!я, ... зтоечеиий арг<йметспта, тз этсеметсттстя х„котпорои больтие (меньше) а, сои!!с<зев)с!!сот!то«лая пос.г(доаатт!ель!сость 1'(х!), з (ха), ..., 1 (х,), ... з!ючетпсй фгдтскцигс сходипюя к Ь. Для правого предельного значения функцилл используется обозначение 1)ш т'((!!) = Ь нлп 1" (а + 0) = Ь. .г-сь-50 Для левого предельного значения употр< бляется обозначение 11п! з (х) = Ь или з (<с — О) = Ь.
х — )а — 0 ПОНЯТИЕ П!'ЕДЕЛЬНОГО зпгп!ЕНИЯ ФУНКЦИИ 105 В качестве примера рассмотрим функцию ! ()с) = нс,тсх !). Эта с()ункцня пмс)с г В ну:и гй)авог и левое прссдгльныс'. значения, причет! Вкп(0+ О) = 1, а няп(0 — О) = — 1. В самом деле, !с)лп (ги) л!Ооая сходящаяся к нулю пос)тодовас ГедьнОс тъ зна чений аргумента этои функш)и. элементы хн которой больпк- НУЛЯ (Хн > О), тО В!Пгеео = 1 И ПОЭТОМУ )ПП В ПХ„„= 1. ТаКНМ 71 — г со образом„справедливость равенства н1,'п(0+ О) = 1 установлена.
Лна.,югично доказывается, что ндп(0 — О) = — 1, 3 а м е ч а н и Р. Есэ)11 в псвчке а !Чгавве и, левов п1)седсеэсвиьи: зис). Гноил с))уик!!ии 1 (:11) равны, тв в точке а су!цвствует»рвдвлюсве зиа"!Свив этой фсункс1ии, раси!Ое указсии!ым односторонним п1)еделсисквм значвниияк Этот наглядный факт мы снабдим доказательством.
Пусть (хн) — любая сходяп!аяся к а посследонатслыикггь значений аргумента функции 1(:1)). элеш нты которой нг равны а. Пусть (хс ) подпоследовагвльность этой последовательности, состоящая из всех больших а, элементов последовательноСтн (Эн). а (Х! ) — ПОДПОСЩРДОВатРЛЬПОСтЬ, СОСтОЯЩаЯ ИЗ ВСЕХ ХН НЬШИХ а ЭЛЕМЕНТОВ ПОС:ЛРДОВатСЛЬНОСтн (Хн) Я). ТаК КаК В СИ- лу и. 1 5 4 гл. 3 подпоследовательности (х!Т„) н (хс,„) сходятся к в, то из существования ириного и левого 10)Сдельных значении функции ((сх) В точкР в, ВЬГпкаРт, *1то посл!дона!сльности (1()ХЕ„,)) И (се(СГ1„,)) ИМЕЮТ ПрЕдЕЛЫ, КОтарЫЕ ПО УСЛОВИЮ раВ- ны. Пусть Ь предел этих шхледовательностей. 1ля любого > 0 мОжнО указать нО:)ср )т такой, ч!О ВсР эдРмРнть) пос'1РДОВатРЛЬПОСтой (!(ХУ,,„,)) И (У'(СВ! )), ДЛЯ КОТОРЫХ !Стн > 1)С И 1н, > т)1, улов, !отворяя)т неравенствам (~(схь,„) — Ь( < в п ()(;1)! )— — Ь) < в.
Следовательно, при и > 111 выполняется неравенство /~(С)г)) — Ь! < В, т. С. ПОС.ЛРДОВатРЛЬНОСтЬ (1(Хв)) СХОДНТСЯ К Ь. Тгм Сам~~ дока:)ано, )то пред!)льпос) зна гение функции 1(х) В ГочкР а супсРстВувт и раВнс) Ь Сформулирус м Опус)дел! пия 1Ч)едсс,)нного )начепия функции при ст1н)млении аргумш!та х к бе скслн"снос:ти н к бс)скопе пкн:ти определенного знака. Будем считать., что множсство (:г). На котором задана функция у'(х), для любого А > 0 )смс)сч хотя бы один э.н мснг,н жа)пий вне сегмента [ — А, +А). Определение 3. Число Ь иазысэаенссл и, р е д е л ь и и эн з и а ч е и и в эи ф у и к ц и и, 1(сс) и р и х -) оо (или ) Определение функции у = в в.г дано в и 1 1 1.
) эиы нсклгочвеи нз рассмотрения случай, когда у носидоввтельностн (,г,„) лишь конечное свело элеменп)ое лежит правее (левее) точки о. ИМ)том случае сходимость (Т(х„)) очевидна. 100 ЦОцят!ле Функции. Неп!'еныицООть Гл. ! и р е д е л о м ф у >с к ц сс и п р и х — ) оо). если длл лт)бой беско)селии бо,лсииосй последоеапсельнстпш значссстй ссргсЛмесспса гоопсостгл)юуютал последооателтсоси>гь тсачс)тй фу)ск)Л)си сходппюл к 6. Для обозначения прс дельного значения функции при х — ) оо используется с.п)дующая символика: 1ш! 1(:г) = 6. ъ-)ж Наконец, будс.г ~~~~~~~, что множс ство (х), на котором задана функция )'(сс), для любого А ) 0 имеет хотя бы один э.ньн нт х, удои.,)с"! воряклций ус"ювик) х ) А (:с ( — А). Определение л.
Число Ь назьлоаепюя ироде>гьнслм зпаче)сиелс фу)скцсссс 1(х) при стремлсссии аргумента х к полоз«панель!сей (отрицателтсой) бес)ко)сеч)сосссси, сюли с)лл ллой>ой бсткопе'то большой последооате,ть)!ос))с!с значсиисй с>й>с!уме)!!па, элем!петля кос>сарой, >с!с"с!с!сан с >секоосо1«ого ссомсра !солса«:сипсслтсъс (о)))1)ицсспсс)льссьс), соопсаетспсоунпцал последоаательссосгпь си)шчсншй функции сходнпсгл к 6. Символические обозначения: 1ш! 1(сс) = 6 ( 1пп 1(х) = 6). В качестве примера рассмотрим функцию ! (х>) =- 1)сх. Этн функция имеет равное нулю предельное значение прн х ) оо.
!ей!:)вительнс>, ес си схс,а:а,...,:с:сс,... бесконечно бо'сып)я последовательность значсний аргумента. то последовательность 1/се), 1)схя,..., 1)сз>ъ,... бесконс"шо малая н поэтомт иха"с'т прсдс), с, равный нулю. 2. Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение.
Убедимся, что арифметически! операции над с)>ункшсямн. имеющими предельное:)наченне в точке а, приводят к функц>лям, также имеющим нредег)ьное этой то скс . Справедлива, тс'с)рема. Теоре,ма Л.1. йусс)сь зад!>)с)с!«с )са од)сом и том з«>е мссозсс)сстое функции ! (х) и «(.с:) им!с«>т о то:ске сл прсдельпъсе зсшчс.— ния, Ь и с. Тогда, фу>!к!!!с!с, !"(сс>) + я(х), г"(х) — (х), 5(х) е'(сс) и име>от о спо'псс а предель)съис значения (часпгное при ус!лая(х) ' ' " ' ' ь аии с ф 0), р«со)с!хе соопсоетспсое)то 6+ с, Ь вЂ” с, Ь с !! —. с' 3 о )с а з а т е ! ь с, ! в о П«с ! ! 3>! Псгг сс>п (ссп ) сс) произвольная сходящаяся к а пос;ндовательность значений аргумента функций 1(з>) и ьэ'(х). Соответствусощие последовательсп)стй! „с (сг!), ! (х2) ..
°,! ()ъ) ° и Ь (з>!)~ь (з)2): ° ° ° ° д (сс)ъ) значений этих функций имсют пределы Ь и с. Но тогда, в силу тсорем 3.9-3.12, последовательности (.1(хсс) + ь(хсс)), (.1(х)с)— ИОнЯтие и!'е (е'1ьнОГО зни'1ениЯ ФУнкЦии 107 12 й(па)), 1<1(Хн) й(<а)) И НХНЮТ ЩХЧ<ЛЫ СООТВ<тЬ «геенно равные Ь+ с, Ь вЂ” с, Ь. с и —. В силу произвольности нос <недовательности (х ) это означает, что 1!Пт(((<сс)+й(<сс)) = Ь+с, 1!пс'(1(сс) — й(х)] =- Ь вЂ” с, 1!пс(7"(11) й(х)' = Ь с, 1пп — ' 7" (х) 6 .с — сп х — сп х- и я(х) с Теорема доказана.
Применим доказанную теорему для отыскания предельных значений многочл<-ног и н<.сок(сатих<ых слгеб(сани<сник д)хсбей '). Имеет место следунсщее утверждение. В каждой то"ске о, бескоссечной прямой лредельссые зссачессил многочлгнов и ссссокроггсимых алгебраических дробей сущеспсвуюпс и равны чпспсным зссач<ссс<сям энсих функций в укслзолсиой <почке (в слу сае алгеб7и<сческосс дроби а ис доло<сна быть карс<ем зссам<сссасссалсс) .
Действительно. в силу теоремы 4.1 !пп:г = 1ппх х= 1ппх 1ппх=а . , 2 х-пп х.— сп хып хсп Аналогично можно убедиться. что 1шс хн = а". хе<с Следовательно„для к<ного глена Ьохи + Ьсха 1 +... + Ьн сх + Ь„ полй зим (использйя тео)жму 4.1 для сйсоизведення н сй мусы) 1<ш(Ьоха+ 6<ха ~ +. +Ьи.сх+Ь„) = = Ьоод+ Ьсо," '+ . + Ь„<а+ Ьн. В <луча<' не< ократимой алгебраической дроби. когда о не являет<я< ко1>нехс знахюн не:1<1, получим (щ>панис<я г<орехгс 4.1 дсссс частного) Ьпх" ФЬпс" 'л-..
ФЬ„...<х+6„Ьпа" ФЬсп" '-~... з-Ь„са ФЬ 11<в хсаспх Сох' '< ...Сс,,хсс„, спа <оса"' сл ...С с„,,п<с„, 3. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Функция у = !'(<сс) называется бескоис. пссо малой в <почке х = о (при х — с о). если !Нп у(<сс) = О, Легко убег — са диться. Нащсиме!х '1то <))ункцня 1(.'<1) = (:с: — <с), Гд« пс ц<'лое свело, являес<сс бесконечно а<алой в точке х = а. В самом д<чле, в пр<дыдущеас пункт<- мы установилн, что 11 < 1Несократимая алгебраическая дробь частное двух с<ногаи<с<сов, не име<ощих отличных от настоянная общих множителей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
