Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 27
Текст из файла (страница 27)
что у! ) ув, а это противоречит неравенству у! < уа. Лемма 1. Для пюго чтсзбы сгп11гсзггг монтаонная на сегменгпг [а, 6] функция у = ) (х) яолялась непрерывной на этом сегментег необходслмо и дастин!очно. чпзобы любое число у, заключенное .методу ч!лслами сс = 1(сл,) и, лз = ~(Ь)з бегло з!лачелл!лем зттл' функции. 11ными си!вамп, для топ! чтобы строго монотонная функция у = ф(з;) была непрерывна на сегменте [а, 6], неооходимо и достаточно, чтобы множеством значений этой функции был сегмент [Ог 1з] (или [лз. О] пРи 1з' < ст), гДе сг = 1(сл) и 1з = ф(б).
Доказательство. 1) Необходимость. Ради определенности рассмотрим возрастакпцую непрерывную на сстменте [сгч 6] фУнкцикз У = — 1'(х) (длЯ Убываипцей фУнкпии доказате.!ьство аналогично). Покажем, что если О < у <,'з'. то существует внутрешсяя точка, с сегмента [ггз 6], в которой 1(гз) = = у (в силу возрастания функции г(х) на сегменте [по 6] такая точка с", будет единственной).
Обозна шм через (х) л!!!сзжество то*и!к сгсзгигс;нта [а„Ь], длз! кото1зых 1(х) ( у (этому множсзству пРииадлежит„напРимеР. то зка пч ибо 1'(гл) — сл < У). Мнсзжество (х) ограни ино сверху и поэтому имеет точиукз верхикзкз грань с. Докажем. !то 1(с) = у. Озасетикс, что лкзбое !испо нз сигм!зита [а, Ь ] г ажньпизе с, п1зннадлсзжит множсзстеу (х) ), а лкзбое шсло, прсзвосходящее с, не п1зинадг!сзжит этому множестеу ). Покажсзи, что с внут1хзнняя то'ска сзсзгэ!!зита [оч 6]. В ) Ибо по определешпо точной верхней грани для ллобого х, меньшего г, найдется тг "!акое, что х ( х' и 1(х') ( ",, Но тогда из возрастания 1(х) следует что и Л (х) (,, т.
е. х принадлежит (х). ~) В силу определения точной верхиеи грани. 116 ПОПЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'Е1'ЫВНОСТЬ ГЛ. 1 самом деле. пусть, например, с = Ь. Рассмотрим сходящу1ося к Ь возрастакпцую последовательность (х„) зна"н1ний аргумента функции й =- у(х).
Так как у(х) непрерывна в точке Ь сп1ва, то 11ш у(хо) = (). С „.И1угой стороны. у(х„) < .у ), и поэтому о-чж в силу теоремы 3.13 !пп (х ) < .у. Таким образом, 11 < .у, что и — 1 ос противоречит условик1 у < )8. Полученное противоречие доказывает, .что с < Ь. Аналоги шо можно убедиться, что а < с. Так как с вн) 1ренняя 1очка 1е1 мен1а [а,. Ь), 1о наидт гся (х ) и (х ) сходящиеся к с во:зрастакпцая и убываиицая последовательностии значений аргумента х.
Поскстльку 1(х) непрерывна в точке с, то йш (х'„) = 1пп у(х",) = у(с). Но у(хо) < у, а, у(х,'„') > 71 — гпо и — гос > ух). Поэтому 11ш ('(х'„) < у, 11ш (х,",) > у. откуда 1.1едует, п — >х ' о-чх что у(11) = у. 2) Л о с т а т о 1 н о с т ь. Проведем доказательство для возрьп1такпцей на сегменте [и, Ь) функции у = у'(х) (для убывак1- гцей функции рассуждения аналогичны).
Пусть с — лн1бая точка сегмента [и, Ь) и у =,1 (с) знап1пис фушсции д у = )'(х) в этой то па1. Убедимся, что чис:ю у является правым и левым предельным у зна 1ени1'.и 111) нинин У (х) в г( . ) то'1ке с (если с грани'1ная точка сегмента [П.Ь), то .у '~ ' 'Г """ ' аиче' " ' 1 Ь х значением в этой граничной точке). Пусть а, < с < Ь:, Рис. 4.8 докажем, что у яв.шется левым предельным значением функции в точке с.
Пусть с столь малое положительное число. 1то ст < у — е (рис. 4.8). Поскольку по условию леммы число у — е является значением функпии у (х), го па с<шмсптс [ач 6) мо11спо указать точку 11', такую, "1то у (11) = ч — е. Так как функгшя у (х) возрастает, то д < с.
РассмотРим теп11Рь:побУК1 схоДЯЩУюсЯ к с пос 1еДовательность (хо) значений аргумента х, элементы которой меныпе с. На шная с некоторого номера уУ. все элементы х„ этой последовательности ЬловлотвоРЯК1т нейавьчптвам 11 < хо < с (один такси эл11мент изображен на рис. 1.8). так что в силу возрастания )'(х) при и > Л справедливы неравенства у(д) < у(хо) < у(с). Так как ') Таь как исе х меньше с и, стало быть, принадлежат (х). ) В силу того. что х'„< с < х",, дли любого и. н1 остейшие нлементА)ные ех нкции 117 ((11) = !' — е и 7(с) = 7, то из пос:н)днях неравенств вытека!)т, что при и > 11' 0< У вЂ” 1(х„)<е, т. Е.
П1КИЕДОВатЕЛЬПОСтЬ (Г(!Сн)) СХОДИтен К У, а ПОСКОЛЬКУ (Хп) —. ПРОЯ!)ВОЧЬНВ)1 сходища~с~ К С СН1,ва ПО111ЕДОГВТЕЛЬПОСТЬ значений аргумента., то тем самым доказано, что левое предельное )на)ение в точке с существует и равно у = 7'(с) ). Если а < с < Ь, то. рассуждая аналогично., можно доказать, что 7 = !(С) является правым предельным значением функшп) в точке сс Мь) доказали, что правое и левое предельные значения функции у = !'(х) в любой внутренней точке с равны частному ее значении) ф(с), а это, в силу замечания в и. 1 ~ 2, ознагает непрерывность !'(х) во внутренних то )ках сегмента. Непрерывность этой функпин в граничных то )ках сегмента следует из ТОГО, '1тО ОООтветствук)п!Ве Односторо)пгие щ)едельньц) зна'и",— ния ((х) в граничных точках сегмента равны частным значениям функции.
Лемма полностью доказана. Следствие. 17усть )га сегменп)е [щ Ь),н)дана строго монс)- т!пиная непрерывная функция у = Г(х). и пусть н = Г(а), ))' = = ((Ь). 2!)гда, ота функция имеет, ни. сегменте. [и,))) (или [55,11), если ()' < сг) строга монс)то)п)у)о и непрерь)аную Обрати)у)о функцию х = ( '(у). Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу только по доказанной леммы множеством значений функции у = )(х) является сегмент [ОчЯ, а тогда, согласно заме )ашлю 1 этого пункта.
на сегменте [н, Я существует обратная строго монотонная функция х = (у). ъгножеством значений которой является сегмент [а., Ь) и которая поэтому, в силу той же самой леммы. нещ)ерывна на сегменте [о, ))[. 3 а и е ч а н и е 2. Отметим. что монотонные функции имеют правое и левое щ)сдельные значения в каждой внутренней точке области задания. Доказательство этого предложения 1ц)сдоставляем читатели). й. Простейшие элементарные функции Простейшими элементарными функциями обьн)но называн)т 1ЛЕДУИПЦПЕ фУНКЦИП: У = Хо, У = а'.
У = )ОИ Х, У = В)ПХ, У = = сов х, у = 1и х., у = С1и т,, у = агсв)пи., у = атосов х., у = агс1й х, у = агсс1й х. Из э;н)ментц)ного к11к:а читатель имеет щ)едставлсние Об этих функциях и об их графшсах. Некоторые из этих функпий. ) Мы рассмотрели случай столь малого е > О, что о < Л вЂ” е.
Если а > -!— — Е, то доетаточно положить И = о и повторить проведЕнныЕ раееуждания, используя очевидное неравенство Т вЂ” =- < 1'(о). 118 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ Гл. 1 напри>сер у =- а ., б<!з труда опредсмсякг!ся для рациональных значений аргумента х. <1ы вы>к:ним вопрос об определении прост<>йшпх элемс нтарных <)>упкций для всевозможных вещс>ственных значений их аргументов. Этот вопрос нс является простым: неясно, например, как возвести произвольное веп<ественное "шсло х в произвольную вещественную степень о.
;<1ы изучим также вопрос о непрерывности простейших элементарных функций во вс:ех точках области их задания. Нами будет обосновано то поведение щюстс>йших элементарных функций, которое наглядно вырисовывается из рассмотрения их графиков. В депо.шенин к гл. 8 приводят<я алгоритмы вы си<"и;>пся зна'1<>ннн простейших Элементарных <1>ункций. 1. Рациональные степени положительных чисел. Возведение.побого вещс-гтвенного п>ела х в целун> аолоок"исаельну>о степень и определяется как и-кратное умножение >ис>а х самого на себя.
Следовательно, при целом и, мы ма>кем с ппать определенной степенную функцик> у = т," для всех естественных значений х. 11екоторые свойства этой функции будут нами использованы для апре;1еления рапиональных степеней положительных 1иссд!. Докажем сшедукпцую лемму. Лемма х. Степенная функция у = х" при х > О и целом полооссительном и возрас>>пасси и непрерывна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем возрастание этой функции. Пусть О ~ х! ( ха. Так как х2 — х!' — — (х2 — х!)х х(х!2> + +Х" — 2Г +. +Хп — !) Хп — !+Хп — 22 +, аа< — ! > О, тО Хс>' ) Хп. 1>2 1'1 ''' 1 >2 12 11 ''' '! ' >2 '1' Непрерывность эгой функции была нами установлена ранее (см. пример 1 и. 1 э' 3). Следствие. Рассмотрим степеннусо функп>по р = х" на с<тменте ~О, 1'>с), >де Х вЂ” лк>бое по.южнтельное *шпю, Так как эта функция непрерывна и возрастает на указанном сегменте, то она имеет в силу г седствия из леммы 1 этой главы на сегмент<'.
~О,Х ) возрастаю!пук> и непрсрывпу>о обратнсю <)>ункцпк>, которук> мы обозначим через у~~"'. Поскольку 1>Г можно выбрать как угодно большим, то и 1>сс< также будет сколь угодно большим. Следовательно, функция :г.
= у с" определена для всех неотрицательных зпа и;ний у. У1<>- няя для этой функции обозначение аргумента у на х, а осюзначение функции х на у. мы получим сычи>иную функцпк> у = х>с", опрс'д<'псиную для всех неотрицательных значений х. Опрс'делим а с" как чисто )>, равное значению функции у = = х'1" в точке а. >1ы можем теперь определить лк>бук> рацио- П1 ОСткй(ШИЕ ИДЕМЕИТЛРИЫЕ ЕЬ ИКЦИИ нальнуго стог(ень 'г ПОложительн010 *1исгв о. Им('.нно, ((ели г = 7717771, Гд('. 77(, и 71 — целыЙ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
