Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 25
Текст из файла (страница 25)
108 ПОЦЯТ1ЛЕ ФУНКЦИИ. НЕП1'Е!'ЫВНОСТЬ ГЛ. ! Пр<у!Ен!КНОР '>Нач<'Ни(>:(НОГОЧ;!(",На ) (Х) =- (Т вЂ” а)п' В ЛЮбоЙ точке б( окон(чной прях!ОЙ (>>и!Р( ! НЬ(>т н равно !а<тном1 зна пнию мноГОчлРна в этОЙ тОчке'. Поэтому 11П1(х — а) =. О. Отметим, что сели функция р = ф(х) илсееп), равное Ь предель- 7)сос зиа"сети!с' в 7иочкг. и, тио ф>7))скция (х(х) = 1 (<и) — Ь явля((шея, бсгкоисчтю малой а ангчкс а. Де!н твптел!Ьно, пред<>льныР знач<г— ния каждой и> функций 1(х) н Ь в точке а равны Ь, и поэтому в силу теоремы 4.1 1ш! (л(х) =- 11п!(ф(х) — Ь) = 1!ш )(х) — 1!ш Ь =- О. х->а хоо, ' х — )а' х — )о И(т!Ользй Я полу"<Рнный Рн>Ультат, мы пцлУ'1аеы спРЦношьнОР представление .<Ля функции, имеющей равное Ь пре,!ельное зна- *1РниР в точкР .'1' = а: ,7(х) = Ь+ <7(<х), Где !!ш О(х) = О.
7,— )а (4.1) 1!ш ) (:е) х- оно 1ш! ф(т) 2; — )а — О 1>ш ! (х) х оо)О 1ш! у (:с) х — )а — О илн !'(а + 0) = +ж, или )" (сл — О) = +сх>, нли !'((л+ 0) = — ОО, и.,ш )'(а — 0) =- — ОО. Познакомимся < методикой сравиешш б( скопечно малых фй'нкцпй и употреб>сяеу)ОЙ те>рминолОГНРЙ.
Пусть сл(сх) и )д(:г) . две '>аданные на одном и том же мпоже< тв<> <)>1нкнин. яеляющнеся б(скан<> шо меьтыми в ТО<не )г = и. 1. Функция о((г) называется бс>око>)сгчтсо малой' более высокого порядка, чем )>(а>) (имеет более высокий порядок малости), Рслн предельное значс ние функции о(з>))))>(х) в точке а равно нулн>. ПредставлРННР (4.1) Ока'п,>Рвется РР(ьх!а Лдобпым прн доказательстве р)х>ли шых предложений н будет неоднократно использовано на:1н ннжР. Наряду с: понятием бесконешо малой функции часто испо>!вздуется понятие функции, бссконс"чно большой в точк<' а справа нли бесконечно большой в точке а с !ева. Именнс>, фуикц()я 1 (г) назьиаепися бескоиечис> больисой в тс>чке а справа, (слева).
если для .лн>бой сз>одяиЛейся к а послсдоватпелеисошпи х>, <Г... Ха ... ЗиаЧЕ>тй аРгуМситна Х, ЗЛЕМЕ)отта Хп КОП(ОРОй больше а (меньше а), сов!и(>етстив71)ои)(ля 7>ос>л>сс)ос)ат)>салли!ветвь ф(((!) > ()лг), ф(ха), ... з)саосетс!лй фУ)(кйии Яаллепгсл бесконечно бал<ивой последовсиисльиос.п)ью оиределстисого знака,. Для бесконечно больших функций используются следующие обозначения: ПОНЯТИЕ П!'Е !ЕЛЬНОГО знаи!ЕНИЯ ФУНКЦИИ !О9 2. Функции О(т) и,с1(х) нгсэываютс>я беско>сеч>нг мситмсг, одного порядка (ихн>ют одинаковый порядок малости). ессли прс'дельно!'. значР>пн' функцшч с:г(х )1 !1(,11) В тсчкР а суисс'с>твус>т и О'!с!ично от нуля. 3. Функции О(х) и )>(сг) нас>ываются эквивале>ш>ными бсско71еч7ю мальсма, се ш прРде„1ьнОР значс1пю с)>ункции О(х)/Дх) В тОчкс а раВнО сдиницР.
'1асто бесконечно мальн> функции сравнивасот с какими-либо стандартными бесконе що малыми функциями. Обычно в качестве функции сравнения берут функцию (х — а)п', где ка — целое положительное чпссло. В этом случае употребляется следующая тс-рхсипологп% бес кОпсчнО ма:шя в ТО скР а функция О(х) пмес т О(а') порядок малосв!и 7>Е если вреде>п.нос значение функции (х — а)"' в точке а, отлично от нуля.
При сравнении бссконечно малых функций часто употребляют символ о (о малое). Именно, сслп функция сх = ст(х) представ,лает собой бесконечно малую в >очке в, функцию более выс:окого порядка, чем бесконсчно малая в этой >ке точке функция 1> = д(х), то это условно залп! ыван>т так: О = о(Д) (читается: с> равно о малое от сэ).
Таким образом. символ о(3) означаес любую бесконе сно малую функцию. имеющую в точке а бо,>ее высокий порядок ~ало~~~. Ие:1 бес:коне шо ~ила~ в этой точке функция Д = 7>(х) Отметим следующие очевидные свойства символа о; если у = = о(!д), то о(сэ) х о(у) = о(1>), о(17) Е о(сэ) = о(17). ".-)имети>с гакьк. что ещ>и с> и !э бсзсконе.сно ма.льп> в 11>чке о, с)>1нкцнп, то с)>ункция с>(> ихн>с т боле!.
Вьн:окий порядок м ьтосгти, чем каждый и> со:сне>интел С, и пс>этому ст)> = о(ст). ссгд = о()3). Для бесконечно больших в точкс- а справа (или с;лева) функций >н пользуесся ана.тоги шая кн.толика с равнения. Пусть А(х) и В(х) бесконечно большие в точке а справа функции, и пусть, например, обе эти бесконечно болыпие функции пололсителып>го знака, т. е.
!пп А(х) = +Ос и 1пп В(х) = +Ос. к — га.1-0 7' — Г а -г-0 г>1ы будс'м говорить., что функция А(х) имеет в точке а справа более высокий порадок рослпа. чем функция В(х). Рссли функпия — являе>ся бесконечно болыпой В >очке а с>права, Ее>си же 4(х) А(', правое предельное значение функции — '' в точке а конечно и Н(х) 110 сьоцятие Функции. Иенс'егывность ГЛ. 1 отлично от н)ля, то в этом сл)'гас мы бгудеус гово)сить, гто А(сс;) и В(х) имеют в точке а справа одтсакооьт порядок роспла.
Рассусот)ггсхс несколько прнмс ров. 1'. Функции и(:г) = 3х2 + х'г и д(х) = 2х~ являются бесконечно малыми функцияхси одного порядка в точке:с: = О. Дей,'(в) ' З ствительно, при х ф Π—,' = — + -х. Так как 1пп гх = О. то в ,8(х) 2 2 х. го 2 а(г) 3 силу теоремы 4.1 1пп, " = —. Л э со означает, чсо п(х) и сд(х) х.эо д(х) 2 бес конечно мальп, одного порядка. 2'. Фупкпии п(х) = хо — бтсг и )г(х) = ха эквпвалентньгс о(х) бесконечно малые в точке х = О.
В самом дс'лс., ' = 1 — бх. д(х) "1ак как 1пп бх = О, то в силу теоремы 4.1 1гш —.' = 1. Эгсг п сс(х) х-со ' " х эо 6(х) означасс эквивалентность бесконечно малых о(х) и Д(х). 14«; 1 3'. Функции А(х) = " и В(х) = — имекгт одинаковый порядок роста в точке х = О справа п слева.
Это следует из А(х) того, что 1гш ' = 1шг(1+х) =1. -эсг И(х) х-.о ц 3. Понятие непрерывности функции 1. Определение непрерывности функции. Пусть точооласти ~ад~~~~ ф).нкцгги 1(;т) и дзюба~ е-окрестность точки а содсржит отличные от а точки области задания этой функцсли. Определение 1.
Ф))сскцсга 1"(х) сгазыаается и. с п р е р ъс, а- и о й а та'ске а. если прсдшсыгое зиазсение зтссй фсдгскцсгсг а пигчкс: а срисесссгарсисс, а )ксана чсгсссгвсг«гсс) зсгаченсггсэ 1(сг). Т~~~~ об)пазом, ).слоггис нс п)гс.)гывпос ти с(гугсксггсгг 1(ссг) е то гксг а символически мо кно выразить сспдуннпим образоьс: !пп с (ссг) = 1(сг). х — « Так как а — 1пн х. то предыдущему равенству мон.но прнх — га д п ь следующую форму; )ггг.
У(а,) = У ())ггг *) х — с« се — с« Следовательно. для непрерывнойс функции символ «1йп» предельного перехода н сихсвол «1» характерпстцки функции хюжно менять местамн. Исполгтгуя опредсглепне 1 гг1гедсгльного знасс;ния с(гуггксггсгг )'(х) в точке а (см. и, 1 '2' 2 настоящей главы). мы можехс следующим образом псгрс'фрггзгсровать опредсгпние 1 непре)гывности функции в точкс' и. 1!ОН51ТИИ НЕНРИ!'!>1ННООТИ ФУНКЦИИ 111 Определение 1*. Фут!кцт(я «((х) называстнся н е п р с р ь(, в- и о й в точи(1 а, если для ли)бой сходяьцсйся к а последоватпсльностпи хт, хз,..., ха,... зт!ачст(т!11 аргулютипа:г соотпвептствуюи(ая послсдоввттельпоси!ь «(хт), «(ха)...., «(хи),...
зт(а'!сний этой футтциа сходится к числу «(а) Заметим, по, по сравнению с опр('делением 1 пз и. 1 8 2 пр(делы!Ого зная(тнит! «(;х) В точке а. мы в О!г)(!делении 1" (и!устичи требованн(. обя тываюпи е вс( элементы по(си довательности хт, (гя,..., х„„... быть отличнымн от а. Это можно сделать в силу того, что добавление к элементам последовательности («(Хв) ). СХОДЯП(ЕЙСЯ К «(а). )ПОООГО ЧИСЛа НОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. РаВ- ных «(а), щ) нару).!Нит сходна(ости полу(акнц(1!ся тц)и этом ио(дедовательности к «(а).
Предположим, что множество (х), на котором задана функция «(х). содержит точку а, и для любого в ) 0 имеется хотя бы один элемент этого множества, лежащий на интервале (а, а, + в) (па интервале (а, — е, а)). Определение 2. Функция «(:и) !(азь(ва(инея и с и р е р ьт в- и, о тХ с т! р а в а (с,л с в а) в в(очк(( а„если т!равос (левое) предельное зна"!стене зп!Ой. фцпкцнн в нючкс а суьцссн(вцсп! и равно частит(ол(у зтш:(гнию «(а). Сик!Волн 1()сити Обозна птпия 1«!прерывности справа ((ьптва): 1пп «(х) = «(а) или «(а,+О) = «(а) к-тл-1-0 ( !)и! «(х) = «(в) или «(а — О) = «((5)). х — тп — О 3 а м е ч а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
