Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Справедливость этих соо>ношений устанавливается непосредственно путем двукратного применения формул (4.0'). Убедимся теперь, что функпии 5(в) и С(я), определенные нами на множестве (в), обладают свойством 1' на этом ь>ножестве. Пусть в'.
вл и я'+ в" прина>лежат указашюму ыпожес> ву. Представим в>, в» и з>+я > в виде сумм (4.19). Объединяя входящие в в' н в" чис >а в„с одинаковыми т>, до тех пор, пока оставшиеся в не будут иметь различные индексы, мы придем к группировке слагаемых в„, дающей представление (4.19) дл» чиста я' 4 з". Но выше мы показали, что результат вычисления Я(я) или С(я) для суммы нескольких аргументов не:>ависит от спосооа группировки слагаемых этой суммы. Оло >ователын>, если в, я и в -~-я принадюжат множеству (я), то значения Я(в) и С(в), вычисленные в этих кочках, у;ювлетворяют первым двум соотношениям (4.о ). В справедливости третьего соотношения (4.о>) для указанных значений аргумента убедиться петру ~но.
В самом деле, из определения 5(в) в С(к) в точках 0 н >( следует, что л (О) 4- С>(0) = 1 и 5э(г)) -г Ст(с() =- 1. Из рекуррентных формул (4.18) вытекает справедливость соотношения лэ(в„) + С (к ) = 1 для всех в„, а из непосредственно проверяемой формулы л (х 4-.г )+С (и жт )=(л (т)+С (т))(5 (х )4С (к )) следует справедливость соотношения л>(в) + С>(в) = 1 для всех точек множества (в). Покажем теперь. что для всех точек множества (в). отличных от 0 в с1.
справедливы неравенства 0 < 5(э) <1. О < С(в) <1 '). (4.20) Доказательство справедливости неравенств (4.20) проведем по ин,>укцин. Для этого каждому п поставим в соответствие группу элементов множества (к), относя в зту груп>ту все элементы (в), которые можно предстарс) вить в ви >е —. где О < р < 2" и р нечетное число.
Элементы этой группы ')Напомним, что в >очках 0 и с( значения л(в) в С(в) определены формулами (4.0'). 152 РГЕ 1 ~ОИ11ТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ будут называться элементами порядка и. Каждый элемент порядка и + 1 лежит между двумя последовательными элемен Гамп. порядок которых не болыпе н и которые отличаются друг оч друга на —, т. е. на я . Первый 2" элемент порядка и+1 равен в яь Все остальные элементы порядка и+1 могут быль получены црибавленнем к я„сг различных в порядка и. Вычислим значения о(я~) п С(вг) 1я1 — единственное значение я поря ~ка единицы).
Имеем из 14.18) оТя~) =;/1Г2 и С(в~) = уг1/2. Таким обре юм. Рьэя;элементов первая группы неравенства 14.20) имеют место. Допустим теперь. что неравенства 14.20) имеют место для всех элементов, порядок которых не вьппе п,. Тогда,в силу первой формулы (4.5'), значения л(я) во всех точках порядка и + 1 положительны, а в силу третьей формулы 14.5 ) эти значения не больше единицы. Полагая в первой формуле (4.5') хн = ГГ, х' = — я и учитывая четность функции С(я), найдем, что СГв) = о(Г) — я), и поэтомгу для СЬя) справедливы неравенства (4.20) ~ггя значений я порядка и+1, так как, если я имеет порядок и + 1, то и 4 — я также имеет порядок и, + 1.
По ин тукцип ог сюда следует. по гля всех точек множества 1я). отличных о~ О и а, справедливы неравенства (4.20). Докалсем, ного ебункяйии о(я) и С(я), опредслюпсме нами но, мнохоеегпве 1я), ляонотсннм на этом мноэяш.тяе. Именно.
покажем, что л(я)— возрастающая функция, а Сся) -- убывающая функция. Пусть 0 ( в < с с ! я -Ь,я' я' — я < во < Г1. Тогда и заключены с"Грота между нулем и ~Е Из 2 2 формулы 14.15) и из неравенств 14.20) следует, что Ь(яс) > з(я'). Следовательно, л1я) — возрастающая функция. Из соотношения С(я) = о01 — в) следует, что Сбя) — убывающая па ьшожестве Я функция. Докаэюем гпепергн что функции оья) и Соя), оггределенние на всюду плопгном мноэюешпее 1я) точек сегмента 10, е)), именлп предельное значение в кошедой точке сегмента )О, е)). !'ассмотрим, во-первых, последовательность 1я„) и покажем, что 1пп Убяс) = О и йш СРя„) = 1 Гсуществованне этих пределов следует нз монотонности и ограгпгчегггтости л1я) н Сбя) па мно.«остье 1я)).
Для доГГ1я ) 1 Е)в ) казательсгва рассмотрим последовательность с г, где 11я„) = Из (418) имеем 1«зе Кос )=,т:С ЬС=ЯСО СГЯ„) = Сс(ОЯ„„.г) — Уг(вс ЯГ) < Сгбч„г г) Поэтому 11Яс) Ягвс) 2осв сьГ)СГЯсю) 11Я, ~) С свстг) 11встГ) Итак, " > ' " и " > 0 при любом кн т. е. последовательность я„ я,я1 я„ ~( )1 41я„) 1 г убывающая и ограниченная. По теореме 3.15 она имеет предел, который мы обозначим через Г: 1пп =. Е. 1бя, ) (4.21) 153 ДОПОЛУ1ВУ1ИВ Так как в„— э 0 при п, э сх, то 1)пв 1(в„) = О, и позтоьгтк в силу ограниченности функции С(я) (см.
(4.20)) 1пп л(я„) =- 1)ш (1(в„)С(в„,)) .= О. (4.22) Поскольку С(я) ) О, из (4.22) и соотношения 5 (я„) + Ст(в„) = 1 вытекает, что 11ш С(я ) =- 1. (4.23) Отметим, что из (4.21) и (4.23) следует, что л'(я„) (4.24) 5(я„) 2Ь(в„1)С(я„т1) 5(я„т~) Так как = < , то последовательность в, 2я„, в в э~ („) л'(я„) з г возрастает. Поэтому из (4.21) и (4.24) имеем о(я„) Ия„) <Ь< л(я„,) < Е в < 1(в„,). (4с25) Пусть (я,*,) — л|обая сходяк1аяся к пулю последовательность значеций я из множества (я). Для любого и можно, очевндно, указать такой номер Й, что 0 < в,', < вв.
Отсюда, в силу монотонности л(в) на множестве (в), имеем 0 < л(я*„) < л(яя). Поэтому и((4г22) следует, что 1цп Я(в,',) = О. Докажем теперь, что функция л'(я), определенная на множестве (.в) имеет предельное значение в любой точке х сегмента (О. д). Пусть (я'„)— монотонно возрастающая, сходящаяся к х последовательность элементов множества (я). Так как (л(в'„)) возрастающая ограниченная последовательностгь то существует предел 1пп л(я'„), который мы обозначим через Я(х). Пусть (я",() — любая сходящаяся к х последовательность элся З ментов множества (в) (в„~ х).
Тогда последовательность ~ " " '( имеет предел нуль. Согласно доказанному 1пп л'1)' " ' " ) = О. Из (4.15) и ограниченности функции С(я) имеем Иными словами, 1пп Ь'(в'„') = Я(х). В силу произвольности последовательности (я,) это означает существование пре ~единого значения функпии л(я), определенной на (я), в каждой точке х сегмента 10, в)): 1пп л(в) = Я(х). Из соотношения лт(я) -1-Сз(я) = 1 и неотрипательности функции С(я) на множестве (я) следует существование предельного значения функции С(в) в каждой точке гегмента (О, в)].
Мы будем обозначать предельное значение этой функпии в точке х символом С(х). ) Напомним, что (я) — всюду плотное множество точек сегмента (О, в(). 154 ГЛ. ! НОПЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ Оа!тделилт тиенгрь лпн"шшш функций л(>т) и С(х) н .>т>т>бой тт>о'тктэ .г сегмептаа [О, д) как предельные зпа«текил н точке х функций л(з) и С(з), оттределшт>тык па м>ттэжеотттгте (»). Дока кеьт, что так определенные функции л (>:) п С(х) обладают свойствами 1' и 2' утверждения, сформулированного в начале доказателъстза с!тщестгттэзт>пттв функций л(г) и С(х). Предварительно установиы. что определенные указанным выше способом на сегменте [О д) функции В(,г) и С(>) мопштэнпы и ненрерызны на этом охыенте. Вопервых, докажем., что если > любое чнт то из сегмента [О, г1), а,»' и зн любые числа из множества (з), удовлетворяюпгие неравенству з < .т < з то 5(з ) < л(гт) < л(» ).
С(з ) > С(х) > С(з ). Ъста>гов>ты, например, что л(»') < л(х) (неравенства л(>) < л(з") н С(з ) > С(х) > С(зн) доказываются аналогично). Пусть (з'„) — сходящаяся к г, возрастающая последовательность чисЕл >шо>кества (з), все элементы з„которой удовлетворяют неравенствам з < .»„< >. Так как па множестве (») ф>нкпия л(з) возрастае>, то пос>ндовательность (л(л',,) — л(з')) возрастает и имеет положительные элементы.
Поэтому предел л'(г) — л'(з ) ) этой >юслодовательцости поло>кигелен. Таким образом, л(з') < о(т>;). Докажем теперь, что фупкцнл л(>) нозрагтоевь по, сггмгнтпг. (О, д) (доказательство уйизанлтл фунжции С(х) на >тном сегменте проводится аналогично).! (усть:тг и г" — любые два числа сегмента [О, д], удовлетворяющие неравенству т' < г". Если з' "- некоторое птг >о множества (л).
заки>о*те!гное >>еж„0:х н г, г < 3 <:г . то по доказанному л(тгэ) < б>(з') и .г>(»') < Е(хл), т. е. о(ттэ) < л(гн). Е!онотопнотть функции В(г) на [О,д) доказана. Прежде чем перейтаи к доказатиельстну нзпрерьшпостнлт функций о(г) и С(х), установим, «тто предельные зпачепиз функцш> 5(з) и С(з) о тоо"эках митю«готт>за, [з) сон>и>да>ото, со опачепи,лми .этих функций и соотнштштнунэщих точках,множества (з). Рассмотрим произвольное число «>тножеглна (з) н две сходящиеся к з последовательности (з„) и (ь„) элементов множества (.») таких, что з„, < < з < .»„.
В силу монотонности функции л(з) ца множестве (») справодливы неравенства 5(з„) < л(в) < л(»~[) >). Так как 1пп л(»~„) = 1>ш 5(»ээ) и указюшые пределы рщшы предельному»начению в точке .» функпии л'(з), то только что сформулированное утверждение доказано. Убедимся теперь, что функ>!ни о(х) н С(> ) >~т прт рьтоньт о тгаж дой то тют ьттгмтэттта [О, д). Для этого;кх:таточно установить, что зти фунюши непрЕрывны в каждой точке .г укаэанного сегмента слева н справа, непрерывяы справа в точке 0 и непрерывны слева в точке д (см. замечание в п.
1 э 3). Дока>кем ради опрелелонности непрерывность функции л(г) в точке х с««мента [О, д) глена (непрерывцость гправа и непрерывность С(> ) доказывается аналогично). Пусть (нь) некоторая слодящаягя к:г слева последовательность чисел множества («) Так как !шт В(зэг) = В(г) то длЯ любого: > 0 можно Указ зать элемент зэь этой последовательности, длв котоРого 0 < л(х) — 5(з~> ) < < г. Рассмотрим теперь произвольную гхоляшуюся к х слева последовательность (х„). Пусть т»" номер, начиная с которого выполняются неравенства з'„ < < .г«< т. В г:илу возрастания функции при и > ттт выполняются неравен- ') Поскольку 1пп б'(з'„) =,>(>), а 5(з') фиксированное чиг:то, то 1ш> [Е(з'„) — л(з')] = л(х) -- В(ь'). >) Ради опредтле>шости мы доказываем это утверждение для функции 5(.г).
1,»о ДОПО2П1ВНИВ ства Я(ясь) < л(»! ) < Я(»). Сопоставляя их с неравенствами 0 < л(»)— — л(яск) < я, получим, что при л яз .У справедливы неравенства 0 < Я(» )— — Я(»з,) ( . Иными гловами. предельное значение функции Я(г) в точке» !»нева равно чшзтному ее зна юнна» в этой точке. "1акнм образом, непрерывность Я(я) в !очке .г слева дока!сана. Опредесшм теперь функнии л(сг) и С(г) зса сегменте [с(, 2»1) с помощью соотношений Л(г -1- с)) = С(я) и С(»' -Ь с() = — Л(»!). Применяя эти формулы еще раз, распространим этн функпнн на сегмент [2с(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
