Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Так как Вш — = — Вш —, то эта функция не имеет — и х и левого гйзсдельн01 О знач(знпя В зтоп то пиь Другим примером функции. имеющей точки разрыва 2-го рода, может с(ужить функция у = с!я х (см. рис. 4.25). Эта функция имеет разрыв 2-го рода в каждой из точек ггн, и, = О, +1, + х2,... 2. Кусочно непрерывные функции.
Функция 11 = )'(;с) называ((тс11 киса (1(О Вепйеры(зно(1 на (шменте [озб), спп( Она непрерывна во всех внутренних точках [а, Ь),:за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кролле того, имеет односторонние предельные значения в точках а, и Ь. Функция называется кусочно непрерывной на интервале пли бесконе (ной прямой. если опа кусочно непрерывна на .Набом принадлежащем пхл сегменте. Например, функция 1(х) = [г) ) кусочно непрерывна как на любом сегменте, так и 2 на О(зскОнечной прямой.
') Рисунок 4.33 носит чисто иллюстративный характер. ) напомним, ч(о символ ((в) обозначает пелую часть числа т,. 146 ЦОН11ТИЕ ФУНКЦИИ. НЕ!Н'ЕРЫВИОО'1ло Г71. 1 ДОПОЛНЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 'УТВЕРЖДЕНИЯ ИЗ П. 6 $ 5 В настоящем дополнении дается доказательство утверждения из п. 6 е 5. Для удобства сформулируем здесь это утверж гение в следуюлцей форме. Сушествуепк и, притом единственная„пара функций о(х) и С(х).
определенных но, всей' бесконечной прямой и удовлетворязощих следуюизим трем пзребованиям. 1'. Длл любых вещественных чисел х', хо и х вьтолияютсл соотнолигнил Е(х' ч- хо) = Е(х')С(хо) + С(х')Б(со), С(х' + хо) = С(х')С(хо) — о(з>')о(хо), Е (х) ч- С (а) = 1. (4.6') г 3 . Лри 0 < х < — справедливы неравенства 2 (4.7') О < Е(х) < х. Доказательство этого утверждения мы разделим на две части. Именно: сначала мы докажем единсплвсиность, а затем существование функций Е(х) и С(х), у 1овлетворязощих требованиям 1', 2' и 3'.
1. Доказательство единственности. (ля доказательства единственности достаточно убедзпься в справедливости л;тедуюших двух утверждений: 1) Функции о(х) и С(х), обладающие перечисленными свойствами, непрерывны ни всей числовой прямой. 2) Значения функций Е(х) и С(х) определяются единственным обрезом на неногпоролл всюду плотном миооюествс в>очек бесконечной прямой >).
Действительно, в силу непрерывности функций Е(х) и С(х) нх частные значения в каждой точке х бесконечной прямой равны их предельным значениям в этой точке. Если теперь мы рассмотрим сходящуюся к и пол;зодовательность значений аргумента. элементы которой принадлежат указанному вьппе всюду плотному множеству точек. то соответствующие после.1овательности згзачензглг функций о(х) и С(х), в силу сформулированного выше угверж Гешт 2). опреззеляются единсзвенным обр'сзом, а поэтому и пределы этих последовательностей определяются также единственным обрагюм.
Но эти пре гелы как раз и являются частными значениями функций о(х) и С(х) в точке,г.. Следовательно, функпии о(х) и С(х) определяются единственным образом на всей бесконечной прямой. ') Формулы (4.5') (4.7') получены из формул (4.5) (4.7) п.
6 3 5 путем замены обозначений функций эшз: и сои х иа э'(х) и С(х) соответственно. >) Множество (х) точек бесконечной прямой называется всюду п,лоплнмм на бесконечной прямой, если в любой --окрестности каждой точки этой прямой имеется бесконечно много точек множества (х). 148 ЦОНУ1ТИЕ ФУНКЦИИ. НЕИРЕРЫВНОСУ1'Ь Г21. 1 В силу того, что Я(г>) непрерывна в нуле и Я(О) = О. получим, что , Гх, — х'> с,гх -~- х 1пп В ( " ) = О. Поскольку последовательность ' С( ' ) ) ограни- ченнал ' ), правая (а стало быть.
и левая) часть (4.16) имеет своим пределом нуль. Но это означает, что 1ш> 5(х„) = В(х), т. е. функция В(х) непрерыв- на в точке х. Аналогично доказывается непрерывность функпнп С(:е). Для этого вме- сто (4.15) нужно получить формулу С(х ) С( ) 25( )5( ). 2) Докажем, что значения функций 8(х) в С(х) определяются единр.г огненным абраг>ом в точках —, где р целое положительное нли отри- 2" цательное число, а и — целое положи>ельное число. Отметим, что такие точки обри>уют всюду игютное множество точек числовой прямой.
Предва- рителык> установим некоторые свойства функций В(х) и С(х). Установим, во-первых, что этн функции периос1ические и имеют период 2н ). В самом деле, полагая в (4.1о) хо = х -Ь 2п и х' = х. получим л(х -Н 2п) — Е(х) = 2С(х + х)Я(х). си т> Так как Я(х) = 5 ( — + — ) = 2Е ( — ) С ( — ) = О, то из последнего соотно- 2 2 2 2 шсния вытекаст, что 8(>с+ 2п) = 8(г>), т. е.
функция Я(х) периодическая и имеет период 2я. Отсюда. в частности, следует, что Я(2п) = О. Полагая во второй формуле (4.5') х' = х и х" = 2т я учитывая, что Е(2х) = О, найдем С(х + 2 "г) = С(х) С(2к) . Так как С(2т) = 1 (в этом легко убедиться, применяя формулы (4.5') сна- чала для х' = х/2 и хо = т)2, а .>атем для х' = и и хо = п), то С(т 4- 2к) = С(х). Таким образом. перно,>ичносгь С(х) также установлена. Свойство периодичности функций 8(х) н С(х) позволяет в наших рассу- ждениях ограничиться сегментом [О, 2я]. 2йы установим сейчас, какие знаки имекп значения функций Е(х) и С(х) в различных точках этого сегмента. И,> (4.6'), (4.7') и непрерывности Я(х) се>>с>ует, ч>о на сстменте (О, тс>2) з>гаче- ння функция Я(х) нео> рнцательны, прпчеьс на этом сегменте функция Я(г;) обращается в нуль только в точке х = О.
Так как В(п — х) = Я(я)С( — х)— — С(я)о(х) г) и Л(т) = О. С( г) = — 1, то 8(я — х) = л(х). Поэтому на сегменте (т,>2, -) значения функпин В(х) неотрипательны, причем на этом ') Из соо~ношения 5" (х) + С'(х) = 1 вытекает. что !С(х)! ( 1 для всех х.
ше -~- х а огсю.са вы>екает ограниченность последова>ельности (С~ ~). 2 е) Функция 1(х) называется г>ерс>ос)инес:хой с периодом а > О, если >ля любого х справесишво соотношение 1(х -1- а) = 1(х). е) Эта формула вытекае г нз первой формулы (4 5 ) и нечетност и фъ нкцин л(х). ДОИОйи<ВНИВ сегменте функция Я(х) обращается в нуз<ыолько в точке х = х. Из формулы Я(2х — х) = — Я(х), которая может быть получена анщ<огично формуле 5(х — х) =- о(х), вытекает, что на сегменте [х,йх] значения функцтли д(х) неположителы<ь<, причем функция о(х) обращаегня в нуль лишь па концах этого сегмента.
!'ассуждая совершенно аналогично, можно убе,знгьгя, тто функция С(х) неотрицательна на сегментах [О. тг/2] и [Зх/2, 2 т] и неположительна на сегмо<пе [тг/2. Зн/2] и обращается в нуль только в точках г/2 и Зх/2. Для,заверя<ения доказательства едипс<ве<шости функций л(х) и С(х) нам попа„<ооятся некоторые формулы. к выводу которых мы и переходим. Во-перва<к, отметим„что из (4юм) вытекают следующие формулы '): з (х) 1 — С(х) Ст (х) 1+ С(г) 2 2 2 2 (4,17) Пологая в этих формулах х = х' + хо в еще раз применяя формулы (4х'), мы я получим интересующие нэс соотноп<ения т/х 4-х, 1 1 — С(х)С(х )4-Я(х)5(х ) / 2 „, /хщр хо ') 1+ С(х')С(хо) — .гз(х') $(х") / 2 ') Достаточно во второй формуле (4.,'!') взять х' = хо = х/2, а в третьей формуле (4л') взять т/2 вхшгло х.
Эти форму.<ы показывают, что если известны значения функций о(х) х' 4-х и С(х) в точках х' и т!', то значения этих функций в то <ке опреде- 2 лаются е <ннственным образом. поскольку из приведенных вылив рассужде- ний штедует, что нам и'<вестны знаки функций о(х!) и С(х) в каждой точке сегмента [О, 2т], а следовательно, в силу их периодичности с периодом 2 т, и в любой точке х числовой прямой.
Исходя пз известных и <'„<ин<твен- ным образом определенных значений 5(х) н С(х) в точках О. т/2. т, 2н сегмента [О, 2п], мы можем, прил<сная последовательно только что получен- ньп" формулы, выпилить единстве<шым образом значения этих функций во всех <очках вида рх/2" сегмента [О. 2х] (р и и, — це.тые неотрицательные числа. причем р < 2"ч ). Так как множество точек вида рт/2" плотно на -! ! сегменте [О, 2 т], то.
в силу гка <анного в начале доказательства единствен- ности, функции 5(х) и С(х) е.<инственным образом определены на всей числовой пряъюй. 2. Доказательство существования. Мы <окажем более общее утвер- ждение. Сущсстпэуютп функции э(х) и С(х), определенные и кепрерь<оиме но всей числовой <рамой, удоолетпоорлюи<ие требооонилм: 1'. Длл ли<бах огщегтпоснных чисел х', т," и х оыполилн<пюл соотно- <оенил Я(<г' 4-:го) = 5(х')С(хо) + С(о/)Я(ото), С(х'+ хо) = С(.')С(хо) — Я( /)Ь( о) (4.э') от(х) + Сз(х) = 1. ДОПВПНВННВ и С(т) в точках множества (в).
Прн этом мы должны убедиться. что последовательное применение этих формул приводит к о,>ному н тому же результату независимо от способа объединения слагаемых в, в гртппы в формуле (4.19). Например, мы можем по.южить в = к 4-х, г 1е х = а>в> и:г, = 2„' а,в„ =э и:>атем вычислить Я(в) по первой формуле (4.5').
Но также можно поло- жить х' = а>в> -~- а>аэ и в" .= 2 а,з,. Чтобы убедиться, что после >она=э те.п пое применение формул (4.5') будет >авать одни и тот же рсзул>пат независимо от способа объединения с;игаемых э, в группы в сумме (4.19), достаточно. чтобы имели место соотношения б((' 9 кп) 4- '"') = Я'' + ( и+ ч)) С((х' ж х") + т"'] = С[в' + (х" -г к"')).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
