Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 36
Текст из файла (страница 36)
что в пределе при Ьх — >О угол наклона секущей должен переходить в угол наклона касательной. мы в З 2 гл. 1 сделали основаш>ый па наглядных соображепиях вывод о том, по >>у!и>вводная «'(х) равна угловому ккмЯигциеигпу каттеаьнги1 в пи>яке М к гХх>г«чику >«гйикции й = «(>г) В пас>05>щем >гупкге мы >г>с>чаям ука>аппыс паглядныс> соображения. Предположив, что функшгя й = «(х) имеет прои>- водпук> в данпой точке х, мы докажем: 1) по график функция у = «(х) имеет касатсльпую в данной точке М(х.
«(х)). '2) что угловой коэффициент указапной касательной равен «'(х). Будем доказывать утверждепия 1', и '2) одновременно. Обозначим угол наклона секущей МР к оси О:г символом у>(Ь:>>). Поскольку угловой коэффициент секущей ЛХР (т. е. 1й>Р(Ьх)) 1и равен отношению — '. то >1х ' Р(ьх) =- агс1й '~У (5.7) при лк>бом достаточно малом Ьхз отличном от нуля. Из сущесгвовапия производной «'(х), т, е. из существования прсдель- 160 (>ОИОВы ДПФФеренЦийлы1ОГО ис'1ис>1ееии51 Гл. в ного значения 1пп — ' = «(х) и из непрерывности функции -'ау дх — «О гах' и= агс18 гх д.
гя всех значений аргумента вытекает существование пр(дельного значения функции (5.7) в точке гдх = 0 и равенство 1пп гр(2дх) = 1пп агс(я —" = агс(8 «'(х). (5.8) г>х~~ гхх~~ -Ъх Равенство (5.8) доказывает существование предельного значения (при г.'га> — + 0) утла наклона секущей МР« т. е. доказывает существование касательной к точке ЛХ.
1хроа>е то> о. и:з равенства (о.8) вытекает, что если обозначить угол наклона касательной через гро, то гро = агс1п «'(х)«т, с, 18>ро = «'(х). 5. Правая и левая производные. В полной аналогии с понятиями правого и левого предельных значений функции ввод>нся поп>ггия г>1я>вг>й и левон г>1>г>г>звг>днагх фупкщ(и у = «(х) (в дгип>ой ~о~ко х).
Определение. П р и в о й (л е в о >й) и р г> и з в о д н о й г(«ункциг> у = «(х) в данной («>икгси1>г>вт>н>гг>й >по'гке т называется г>ранг>е (левое) пределы>ое знака(ие ргьзнг>ст>гг>гг> ответе>и>я (5.5) в то"гке гдх = 0 (ири уги>овин«тно это предельное значение су>дега>вуст).
Правую производную Функции у = «(гс) в точке х обычно обозначакп символом «'(:г+0), а левун> производнук> в точке х— символом «'(х — О). Ег:лп 1>у>гк((ия у = «(х) имеет в точке т. произоодну>о, то она имеет в этой точке и правую. и левую производные, совпадг»ггн(ис меэк;ду собой,. Если г()у>гк"вия у = «'(х) имое>п, в точке х и г>рг>вун>, и яе(еу>г> ирогюводныс и, если уквзоннаге производные гх>вт>>адан>т, меэюду собой, то г«>унк>1ия у = «(х) имело в точке х производную' ).
Вмест( с тем существуют функции, имен>щие в данной точке:г и пранук>. и левук> производные, по не имеющие производной в этой точке. Примером >акой функции мож(т служить фупкш>я Эта фупкпия имеет в точке х = 0 правую производную, равпук> .зх " — Ъ 1пп — '=1, и левую производыун>«равную 1пп — = — 1« ах-«оз-о -Зх зи -«о — о Ьв но пе имеет в точке:с = 0 производной. 6. Понятие производной векторной функции. В математическом анализе и его приложениях часто встречаются понятия векторной функиии и ее прои,>водной.
> Это утверждение сщедуег из соответствующего утверж,>ения для правого и левого предельных зна гений фувкпии (см. г>ал>ечавне из п. 1 1 2 гл. 4). 161 П1 ОИОВО,ТНйЯ Если каждому значении~ нерсменнпй 1 из нехотороео мнолсества (г) сгаавиггсз, в соптпетствие ао извесеанолсу закону определгнний вектор а, гао зовп1~лга., оап на мнпвсгстве (С) задана оекторнал функция, а = а(1). Так как каж„гый векто1з а в заданной декартовой прямоугольной системе однозначно определяется тремя координатами к, у и -, то задание векторной функции а — — а(1) вквивалеитно заданию трех скалярных функций а' = я(Ц), р = й(1) и е = е(1). Понятие векторной функции гзановигся особенно наглядным, если обратиться к так называемому еодозрофр втой функции.
Годографом называвтгл геометрическое мепго концов всех векторов а(Е), приложенных к началу координат О. Кривая й на рпс. 5.2 представляет собой годограф векторной функпии а = а(1). Понятие годографа векторной функции представляет собой обобщение понятия графика скалярной функции. 13ве,геы понятие производной векторной функции а(1) в данной фиксированной точке й Для отой пели придадим аргументу 1 произвольное приращепио а Ьс Ф О и рассмотрим вектор .5а = а(йз Л- Ьй) -- а(1) (ва рис. 5.2 указанный вектор совпадает с вектором ЯР). Умножив указанный вектор на число 1/е56 мы получим новый нектар — = — [а(С -1- М) — а(1)), (5.5 ) за 1 * лд коллинеарный прежнему. 1)октар (5.5*) является аналогом разностного отношения (5.5). Отметим, что вектор (5.о*) представляет собой среднюю скорость изменения векторной фу|скрип на сегменте [П 1 л- .51).
Производной векторной функции а = а(1) в донной фиксированной точке С назнваетсз предел ари 51 — > О равносганого оггнощениз (5.о ). Производная векторной функции а(1) обозначается символом а'(1) или да/дб Из геометрических соображений очевидно,что производная векторной функции а = а(1) представляет собой вектор, касательный к топографу втой функции. Так как координаты разностного отнопк'ния (5.5~) соответственно 1завны (' л- -51) —: (1) Р(с -1- -."з1) — Р(1) в(1 +.51) е(П .51 то ясно.
что координаты производной а (1) равны производным фупкп1гй г'(С), у'(1), ='(1). Таким образом, вы"шсление производной векторной функции сводится к вычислению производных ее координат. 3 а и е ч а и и е 1. Так как векторная функция а = а(1) апре,кляет закон движення материальной точки по кривой Ь, представляющей собой годограф чтой функции, то производная а (1) равна скорогти движения по указанной кривой. 3 а м е ч а н и е 2. Из курса аналитической геометрии известны различные типы произведений векторов (скалярное произведение.
векторное б В.А. Ильин, Э.11 Позняк. часть 1 162 ()СИОНЫ ДИФФЕ)зЕНЦИАЛЫ1ОГО ИС'1ИС(1ЕНИ51 ГЛ. В произведение и смешанное произведение). Выражение всех этих произведений в координатах дает возможность указать правила, ао которым вычисляются производные г:оответгтвующпх произведений векторных функций. В качестве примера приведем правило вычшшения производной скалярного произведения двух векторных функций а(1) = (аг(1), аз(1),аз(1)) и Ь(1) = = (бг О), ь. (1)., ьэ(1)): (а(1)Ь(1) )' = а(1)Ь(1) -Г- аООЬ(1) = (а', (1)1и (1) -1- о ту )Ьэ ОО + + ггг(1)бз(1)) + (ггг (1)бг (1) + ггэ(1)бз(1) + оз(1))г[г(1)).
Аналоги шое правило справедливо и для векторного п1юизведения двух гзекторных функций: [а(1)Ь(1))' =- [а'(1)Ъ(1)) + [а(1)Ь'(1)). й 2. Понятие дифференцируемости функции 1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке. Пусть, как и в нп. 1, 2 предыдущего параграфа, функция у = у(гг) определена па некотором интервале (а,б). символом .г обозначено некоторое фиксированное значение аргумента из указанного игпервала, а символом 2га; обозначено энобое приращение аргумента, такое.
что значение аргумента (с+ глх также нргпгадлежит (а. б ) Определение. Функция у = ((х) называется д и ф ф ер е н ц и р у с м о й в донной танис .г, если ггрирвлггснгггг глу отпой функции в точке:г., ггоогпвспгспгвуннцее прггращсниго аргулгсгипа 1лх, лгогисепг бънпь представлснгг в ваде глу = Аьхх: + ос(хг (з.й) ег)г А - 1(ггкгзгггггргг( "гасло, ггг.
зггвиггллцгге огп, глх, гг и — ф)уггкгция аряумента (1х, явлгянзгцаяся бесконечгггг малой при г.'гх — Э О. Заьгегим. что функпия (г(!лх) может принимать в точке гзх = = О какое угггг)нгг гзггггчггггие (при этом в атой точке остается справед.,ппзым представление (5.9)). Ради определенности можно положи гь (г(О) = О ').
Так как произведение двух бесконечно малых гггдх является бесконечно малой более высокого порядка, чем Ь:г (см. п. 3 () 2 гл. 4), т. е. (т(1х = о(глх)г то формулу (5.9) можно переписать в виде глу = Аьхх + о(Лх). Теорема 5.1. Для того чтобы функцггя у = )(х) являлуиги диффсрснцируемой в данной то"гкс х., нсогбходглмо гг, доста>потно, чиаобъг она омслгг, в энной точке коггсчггунг проьаводггунп ') Нрн этом частное значение функции гг(ь1г) в точке лт = О будет совпадать с ее предельным значением в этой точке. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕ1!ЦИРУЕМООТИ ФУИКЦИИ 163 сг Доказательство. 1) Необходимость.
Пусть функция у =- «(х) дифферепцируема в ггапной точке х, т. е. ее приращепие слу в этой точке представимо в виде (5.9). Предположив, что г.'гх 7'= 0 и поделив равенство (5.9) гга,Ьх„ получим ~'~ = А+ а. (5.10) Из равенства (5.10) вытекает существование производной, т. е. Ьу предельного значения 1пп — =- А.
ств->О Емл 2) Д о с т а т о ч и о с т ь. Пусть функция у = «(х) имеет в данной точке т конечную производпук>, т. е. существует пре- ДЕЛЬЦОГ ЗийЧШ1ИЕ 1гш — ' = «(:г). ах-->О Ъз' (5.11) В силу определения предельного зпачешли функция а = —— Ъу Ьх — «'(х) аргумента Лсх является бесконечно малой при Ьх — > О, т.
е. О* л)су = «'(х)Ьх+ аЬх, (5.12) где 1пп сг = О. Представление (5.12) совпадает с представле- П ->О вием 15.9)„если обозначить через А не зависящее от Ьх чисто «'(х). Тем сймым докйзйгго, что фуггкция у = «(х) диффгрспцируема в то гке х. Доказанная теорехга позволяет пам в дальнейшем огооогсдествллтл понлпгпе дглффеуенцируелиостп фуньпопп в донной точке с ггсгнлгпглем сугцествовспгпл у функцгллл в донной точке ггГнгглввслдглог1,.
Операцию ггахо>ктгсггия ггроизводпой в да:гьпейшем договоримся назьпзать дслфферсзглцглросгслглисм. 2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции. Имеет место счедунггцее элементарное утверж;Гение. Хеорелса 5.2. Если функция у = «(х) дглфференцглрувллсл в донной точке х, то онсл и непрерывно в вгглосй гпочкс. Д о к а з а т е л ь с 1 в о. Так как функция у = «(т) дифференцпруема в точке х, то ее приращение Ьу в этой точке может быть представлено в виде (5.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
