Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Но тогда и левая »'(.тв) ' часть (5,27) имеет при»5г1» — + 0 предельное зна»ение. По опре.1атению л»1»оллзводнойл указанное предельное значение равно 1з (ус»))'. Таким образом, мы доказали дифференцируемость обратной функции в точке уо и получили для ее производи»ил соотнсппепие (Г~(уо))' =,(, ) (б 28) Теорема, 5.4 доказана. Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим в окрест»»ос:ти точки:го график функции у 1"зс ''1 = 7'(»»») (илп сзб»1»»лтнсзлл функ»лии). П1»едположим, что точке хо на этом графике соответствует точка ЛХ (рис.
5.4). Тогда, очевидно, производная 7»(»»»о) равна тангенсу у»ла наклона ст касате»»ьной, проходя»слей через точку ЛХ, к оси Охх Производная обратной функции 11' '(рв))' равна тан- ') Символом (» '(уо))' мы обозначаем производную обратной функции в точке уо. 173 ВЫЧИО с!ЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ген<у угла накз!она /> т<)Й же) )оюатс'льнОЙ к О< и О!Й ПОскольку углы о и ~3 в с умън составляют )г/2, то формула (5.28) выража< т очевллдный факт: !й >6 = 1/ !й о, й 6.
Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций В этом параграфе, опираясь на доказанную вьппе теорему 5.4, мы про Солжпм вьгли<ление гй>оизводных простейших зл<зхп>пта1)нллх функций. 1. Производная показательной функции у = ах !О < < а ф 1). Показательная функция у = а"', будучи определена на бесконечной прямой, служит обратной для логарифмической функции х = 1ояо!Й определенной на полупрямой у ) О. Поскольку для логарифмической с!>ункции в окрестности любой точки л< полупрямой у ) 0 выполнены все условия теоремы 5.4, то, согласно зтолл теореме, функция !! = а' диффсреншлруема в любой точке х = 1ойо у и для ее производной справед.ливи формула у !а') = !!ой, у)' ! !ой„с у Из этой формулы, Воспольз<)ВНВ!пись изВРстным из элеыентар- 1 ного курса соотношением 1ой 5 = и учитывая.
что у = а~, !о,о, Ь ОкОП'1атсь<п НО получим (а~) = ах 1па. Полученная формула справедлива для всех точек х бесконечной прямой. В частном случае а, = с эта формула принимает вид (е ) = е'. 2. Производные обратных тригонометрических функций. Начнем с вычисления производной функции у = агсвшх. Эта функция. будучи определена на интервале — 1 < х < +1, <служит обратной для функции <г = сйпу.
определенной на инт<рва.;н) — — < !) < + —. Поскольку для функции х = вп)!! В 2 2 акре)стности любой точки й инте'рвала — —" < у < — выполнс'- 2 ' 2 ны все условия теоремы 5.4, то. согласно этой теореме, функция у = агсвш х дифференцируема в любой точке' х = вшу и для ес. произв<>дной спраВРдлпВа фОрмула !агсв!и:1>)' — ., — = . (5.29) 1ипд)' совУ <! в;илу 174 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦ!ЧАЛЫ!ОГО НС'1ИСЗЧЕНИЯ ГЛ. В Мы в:)яли перед корнем знак +, ибо совр положителен вен)ду т т ня интервале — — < у < —.
Учитывая, гто вшу = — х7 из форму- 2 2 лы 15.29) окончательно полу шм 1ягсвш х) ( 1 УГГ- 7) По;!у ченнйя фо1>ь!у.>а. Кйк уж( Откнл!й.)ось В проц()осе га> Выводй, справедлива для всея х из интервала — 1 < х < +1. По анало- !ичнОЙ схеме Вычи(>ля(71с!1 щ)ои )Водная функции у = я1ссов >л Эта функция, буду Ги определена на интервале — 1 < т, < +1, (служи> обратной для функции х = сову, определенной на ин- тервале 0 < у < )г. Поск(>зьку для функции х = сов у в окрестно- сти лн>бой точки у интервала, 0 < у < Чг выполнены все условия теоремы 5А, то7 согласно этоЙ тео1к>ьн;, функция 7! = йгссовх дифференцируема в любой точке х = сову и для ее прои:)вод- ной справедлива формула 1йгссов(г) =, = — —.
= —, . (5.30) Г 1 1 1 =(7»2) .,Г=:.*', 7 . «, « . Г ГГ = -';/~ — т ь 7 7 . Г ) 7 1 тервале 0 < у < )г. Принимая во внимание. что сову = х, из формулы 15.30) окон (ательно найдем 1агс(>ов х) у(1 — х) Полу п>иная формула, как уже отме (йг!Ось в процессе ее вывода. справедлива для всех значений х из интервала — 1 < х < 1. Перейдем к вьппнленшо производной функции у = агс1йх. Э!н функция„будучи (лгределена на бесконечной прямой — со < < х < +НОГ служит обратной для функпии х = Чй у.
определен- 7Г 7Г ной на интервале — — < у < —. Поскольку для функции х = Чу у 2 ' 2 в окрестности лк>бой точки у >п(тервяла — — ' < у < — ' выполне- 2 ' 2 ны все у(ловия теоремы 5Г1, то. со(ласно этой теореме. функпия 77 = яг(:гй х зи())фереицируеыа В л(обОЙ то'пн( х = РГ 7/ и дзя ее щ)ои:!Вод(н)Й сщ)аВедлиВя (Ч)Орму)!а Г 1 1 (а!'с( а' 7:) 1!яд)' Чч-(агу' Учитывая. что гн у = х, окон !ательно получим (аг(ййх)7 = 1 1 Ч-хг Пол > *и'.Ннйя формулй сщ)йве,!ливй д:!я Вснк то н>к х бескогн"(ной прямой. 1 7 ГГВЛВГГЛО ДИФФЕРЕГ!ЦИРОВЛНИЯ ОЛОжНОЙ ФУНКЦИИ 175 Остается вычислить производнун! функции у =- гггсгсй8 х. Эта функция, буду*ш о!И!ел!с!она на, ос*.с:кон(.зной пряьссгГ! —:зо < х < < +:ю, с.зужит обратной для функции:г .= сан у. определешюй на интервале О < у < гт. Поскольку для функции х = сй8 у в окрестности ли!бой точки у интервала О < у < хс выполнены все условия теоремы 5.:1, то.
согласно -!той теореме, функция д = = агссоб!к;Гифференцируема в любой точке х = !!18 у и для ее производноГ! справед.шва формула 1 1 (агсгсг18 и) (с!я гг)' 1 -г- сг Учигываг!. "Гсо сй8'у = х. окон"сительно получим (агсгсйб:г) 1 Ьхг' Эта формула справедлива для всех точек х бссконе" гноГГ прямой. Таким образом, мы вьпппьшли производные всех простейших элементарных функций.
за исключением степенной функции с лнгсбым вещественным показателем. Отк,тадывая вычисление производной этой последней функции до 5 8, займемся обоснованием правила дифференцирования сложной функции. й 7. Правило дифференцирования сложной функции Цельк! настоящего параграфа является установление правила. шснволякгщего найти прсгизводнунг сложной функции у = = «[ср(1)], ес Ги известны производные составлякицпх ее функций у = «(х) и х = оэ(1). Теорема й.~. Пуст! фуггкцпя х = ср(1) дпфферюгцггруема в нскогаорсгй точке Го. а функция и = «(х) днфференцируема в соотвелиствуюгцей гпочкэе хо = ср(йо). 7оеда слонсноя функцпя «'[еэ(1)] дифференцируема в укаэаннсгй точке Го.
причем для производной этой функции сгграведлгхва следую!с(ая формула '): 0 [ср(1о)]) = «(хо)р (Го) (5 81) Д о к а з а т е л ь с т в о. Придадим аргументу Г в тсшке уо произвольное, с!и!личное. опг, нуля приращение с!1. Этому приращении! соответствует приращение с."сх функции х = ср(1). Приращению глх в свою очередь сюответствует приращение Ьу функции у = «(:г) в точке хо. Поскольку функция у = «'(х) предполаингтся дифференцируемой в тстке хо, приращстие этой функции в точке хо вложет быть записано в виде (см.
Ц 2) сду = «(хо)Ьх + ОЬх. (5.32) ') Символом (ДЕ(ге)))' мы обознвчвевг нроизвоцнуго сложной функции у =- «(тг(!)) в точке С = Со. 176 ОснОВы ДНФФегегчцил.'1ьнОГО нс"1ислеиия Гл. В где Гпп гг = О. Их — >О Поделив равенство (5.32) на г."11. будем иметь —,' = У (хо) — + Π—. Ьг! .> Ьх Лх Ь! ' ,М (5. 33) Пусть теперь в равенстве (5.33) >51 — > О. Так как из дифференци- 1>угнести функций х = г>>(С) В то гке Го Вытекае! Иепрг>1>ывность этой функции в точке ГВ, то. в силу разпостной! фоГэмы условия непрерывности, Лх — > 0 (при гэ! — > 0). Поэтому можно утверждать, что суэц!!с'г'Вугч !' предельно!> зна"и'ни!! 1!ш О=О.
(5. 34) иг->о Кроме того. в силу требования дифференцируемости функции гг = Ч>(Р) в точке ГВ существует предельное значение 1пп — = 'э> (го). (5. 35) дг->о л! Сушествование предельных значений (5.34) и (5.35) обеспечивает существование предельного значения (при г.гР— > 0) всей правой части (5.33). равного 7"'(хо)>р'(Го). Стало быть. сугцествует предельное значение (при г>à — > 0) и левой части (о.33). По определения> производной указанное предельное значение равно производной !ложной функции 7' [г>>(!)] в точке Г ь Тем самым нами доказана дифференцируемосгь сложной функции в точке Го и установлена формула (5.31).
Теорема 5.5 доказана. 3 а м ! ч а н и г>. Х!ы 1>ассматрнвали !"Чожнук> функция> 17 =,г (х), где х = >>>(!), т. !'.. бра.гги гв В качеств!> проне>к!'то'!Ного аргумента. а Ч в к!честно окончателг,э!ого;ц>гумента. Этн обозначения. конечно, могут быть изменены. Часто удобнее бывает рассматривать слоэкнуго функци>о Вида р = Г(г!). Где н = г»(х).
т. с. брать х в качестве окглгчательного аргумента, а некоторук> переменнук> и в качестве промежуточного. Для этой функции формула дифференцирования (5.31) принима! т вид 17' = О ( (и)))' = Х'(и) Р'(х) (5. 36) (мы опус1или у соотВетс!В'зо1цих;эначений аргу>!!энтон гв и и нули. имевшие вспомогэтельный характер). Приведеэг примеры !гено!ыован!чя только гто докгв!анно>о правила дифферегширования сложной функции. 1'. Вычислить производнук> фу!поппи р = еже!к'. Эту функция> будг-'м рассматривать как гггожнукэ фуг!кцпк> вида р = сц, где и = а!СГа х. Используя формулу (5.36), получим ц = (е ) (агсЧЯ т) = е ,, = с 1 Е х-' 1 Ч- х-' 177 5!О!ЬЛРИФМИс!все>КЛ5! ПРОИЗВОДИЛЯ | 2'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
