Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 42
Текст из файла (страница 42)
будем писать там, где это удобно. вместо дх п ду симвс)лы Ьх и Ьу). ') Ворочая, эта фора)у.)а элементарно 7)роаортссчтя. 1 Го ПГ'ОизВОДГГые и диФФеГ'енпия:Гы Высших ГГОгядкОВ 187 Предположим, что функция у = ф(х) дпфференцируема в нс.кото1ГОЙ ок1еестнос:ти точкес:го. )Осла пс;1ГВЫЙ Диффе1есснпиЗ.з ду:етОЙ с)еуескссееи Гсмсес!т ВГГ Г ) суу = ф (:г)ассс п яВлясстся с))уескГсис',Й двух псе1)ссмсеесных: то'!ксс х н Все сичнны с(:сь Предположим дополните.сьно, что функция (ч(:г) такекс является дпфферснцирусмойс в точке хо н что величина дх имеет Одно и тО же фикссц)ОВанное зесееченссе для Всех точек:с: 1)асс:матриваемой окрестности точки хо.
При этих предположениях существует диффоренциал функции ду = — гн(х)асх в точке хо, который мы будем обозначать символом б(дд), причем этот пос;нсдний дифференциал определяется формулой б(ссу) = ЬГВ"'(сс)дсг)! — = (ун(х)инск)'! . Йх = уо(сссо)с)хс(т (5 бой) Определение. Зссичение б(ду) дифференциала от первого дссфференцсссслсс с)у. Гсзяпсое ирсс бх =- Йх, ниссьсссиюпс в пс о р ьс .и д гс ф ф е р е ес ц сс, сс л сс лс фсснкцсссс у = ф(х) (в точке хо) и, обовничаеот ссслсссололс 0 у.
Из формулы (5.54) и Гю определения второго дифференцслеела вытс.каст. что с) д = ф (хо) (дсг) . (бе.о5) Заметим. что так как мы считаем величину дх фиксированной, то нз опредстсния второго дифференциала сразу жс вытекасп, что вто1еой дифференциал псмависпмой переменной сс х равен нулю. Совершенно аналогично последовательно определяк>тся дифференциалы более высоких порядков.
Предполагая. что производная порядка (н — 1) функции у = Г'(:ГГ) дифферепцируема в точке:с;О (т. е. предполагая. что фупкссия у = ф(х) имеет в точке хо пРоизвоДнУю поРЯДка н), мы опРеДелпм Д и ф ф ерснциал нго порядка днуфункцнпу=ф(х) (втсечке хо) как дифференциал б(др Гу) от дифференциала (н — 1)-го порядка д" у, еззятый при бх = исси. Для диффе1етщиала Гс-гсе ГГО1еядка дну метало~ нндукссии элементарно устанавливается формула сн с(сс)( )()с )н, (5 бб) В самом деле, при ГГ, = 1 н н = 2 формула (5.56) сссраведлива.
Предположим. что эта формула с:праведлнва для некоторого номера (н — 1), т. е, предположим, что дн 'у = 7" (и ')(ГГ)(дх)сс ) сегдсе. Со~ласно ОГГрс;дсстсснпю дпд, Гнгсу псм ) ') См. п. 1 з 9, формулу (оц39). ~) Мс с опускаем индекс 0 у точки г. 188 ОснОВы ЕЧНФФеренЦ!члг1ы!ОГО нс'1ис:!ения Гл. э <1'*7< =- д(ь<" '<у) 1дкГ йк= д[!'(" 1)(хн«х)н ') ! -,, „,, = =. )(")(х)(<Ух)" 'дх!„! = !<в)(<г)(«х)п, т. е. справедливость формулы (5.56) установлена, Из формулы (5.56) вытекает саед)чо<ц< е выражен!<е для производной порядка и: у(в)(,,) <! У (пх)" (5.56') ОЧЕНЬ Ва>КНО ОТКН!ТИТ<ч ЧТО ПРИ 71 ) 1 фо))МУ2!Ы ( <.О6) И (5.56') справедливы, вообще говоря..пппь тогда, когда:г являет<я незаВН<имОЙ порем<',ннО<ч (т.е.
ВтОрой и по<ледук<щие дифференциалы не обладают. вообще говоря. свойством ппвариантностн формы). <<тобы убедиться в этом, расскютрим вощюс о вы ппленнн второго дифференциала (дважды днфференцируемой) функции <у =- ((<г) в предположении, что переменная х является дважды дифф<чр<.<щн)!у<!мой <рункци<ЧЙ некоторого а)<гдаюнта й Используя равенство (5.39) и формулу д(ии) = иди + 7<до, получим «у = д(йl) ! -. < — — 5[7'(<х)<й!) = — [«ХЯ[)'(Х)~)+)'(Х)Ь(«71))[д~ <и — — [«Х [" (711)бХ)! „+~'(Х)й~Х. цтак <!277 )л(т)(<11.)2 + )г<(х)<ах П<кледняя формула отличается от (5.55) наличием в ней дополнительного и, вообще говоря.
не равного нулк< члена (<(т),)2х 8 11. Дифференцирование функции, заданной параметрически В этом па))а<))афе мы ОстаноВимся на а<<у<<!дик<1 Вычи<"и!ныя !Й<оизводнык функции. задапноЙ па)зам<<т)зп «<скн. Пусть х и у заданы как функ<<и<< неко! О)юге !г!)замет)<а й х = — <)7(1). у — <)7(7). При этом з<ы предположим. что функции <р(д) и <)7(1) имеют нужное число пронзводнык по переменной 1 в рассматриваемой об.!асти изменения этой переменной. Кроме того, мы щи<дположим. что функция х = «2(1) в окрестности рассматриваемой точки имеет обратную функцшо 1 = <72 (х) ). По<ледне<1 предположение дает нам возможность рассматривать у как функцию аргумента х. 1~ ) Это ойсспе*плвается сутнегтвованием первой производной Чм(<), отличной ог нуля в некоторой окрестности рассматриваемой точки < (см.
и. 4 '2 2 гл. 15). ФУНКЦИ11, ЗАДАННАЯ НАРАМЕТРИ"!ЕСКИ 189 Поставп)я задачб о вычи(л((н)п( про)г)водных у по а)пум()нту (г. Эти производньп( договоримся обознач пь символами (2) (з) 1/т, Р,, Р'е,... В силу ('войства инвариантпости первого дифференциала можем записать ) 11( = иа, се(1 = ())((1)сИ., (7ж = (р~ЯсИ,. (15.57) Из этих формул получим следующее выраженно для первой производиойп ~81) ' 15.58) Аналогично вычпсчяются производньп вьпхпих порядков. Так. для вычисленця второй производной у ., достаточно предста- (2) ВИ'1'Ь ()Е В ВИДЕ [г) 4ь.',) Ухе 4. и воспользоват( ся формулой 15.58). третьей (к( формул 15.57) и прави.том дифференцирования частного.
П р и и е р. Вычиспгть первую и вторую производные функ- ции, заданной параметри и'.ски; :г = о() — вш1), р = а11 — сов 2), — ос < 2 < оо. Кривая, определяемая эплми уравнениями. называется цинк(аидой 2). Получим ( акга( 1 уи = ' = с18 — ' 12~ 2кй, где lс - целое), и(1 — сов() 2 11(2) = и(1 — сов 1) 4и Ив 2 5) При этом мм бором ((и и (сг в одной и той же точк( 1 и д.,(я одного и того же М, а) Б)(клоида представляет собой траекторию некоторой фиксированной точки окружности, катя(вейся боя скольжения по прямой линни. ГЛЛВА 6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В агой главе будет рассмотрена задача о восстановлении функции по пзв(стной производной этой функции.
Актуальность этой задачи была выяснена в гл. 1. я 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 1. Понятие первообразной функции. К числу важных задач механики относится задача об определени(л закона двил(61ия х(ат((риальнОЙ точки по задапнОЙ ('е скорости. а таке(('. задача об определении закона движения и скорости матерна:и- нОЙ тОчк1л НО заданному ее )скорению ). Эти задач~ приводят к мат((мати и".ОКОЙ п)зоолеме оо(ь(гкьии(л функц(ы(, по заданной пронлводной в(пой функции, Пе)к:ходим к )г(с(мотренп(о этой прон:к(мы. Определение. Функция. Г(х) иавтлваен(сл, п е р в о о б р а пи о й ф у н к ц и е й (илп прон(ли и, е р в о о б р а в н о й) длл фуижц(п( ("(х) на пньоервале (а, Ь), если в ли(бой точке х анп(срвала (а, О) функции Г(х) дифферепь;аруема и ил(вега про(ыводиую Е'(х), равную 1((с).
3 а м е 1 а н и е. Аналогично определяется первообразная для функции 1(х) на бесконечной прил(ой и на опзкрып((г(1 полупрлжой 2) . П р и м е р ы. 1) Функция Е((г) = Д вЂ” хв являепгл перво- образной для функции ф(:г) = — на интервале ( — 1, +1). ') Вместо ускорении материальной точки можно задать действуюп(у(о на то (ку силу (иоо, со(летно втором~ закон( Нь1отопа, сила онределнгт ускорение (той точки).
) И вообпп: на снобом плотном е гсбс множестве (х). Определение плотного в себе множоства см. в $ 3 гл. 2. нггрвооврлз!!лт! Фу1!кцня н нионгидилинный ин'ги!'глл 191 11 ибо в ли!бой точке х этого интервала ~т/1 — Р) Г! .ОГ ' 2) Функция Г(х) — — аГпх является первообразной для функции 1(х) = сов х на бесконечной прямой ( — ж, ос), пбо в каждой точке х ГГесконечпой прямой (зшх)' =- сов х. 3) Функция Р'(Гх) = 1и х является первообразной дта функции 1 ф(х) = — на открытой полупрямой х ) О, ибо в каждой точке х Г 1 ьчой полупрямой (!пх) = —. Если ГГ(гг) являГГтся первообразной,тля ф! нкцни ф(х) на интервале (а,(1), то, очевидно., и функция и'(:г) + С. где С люоая постоянная, явгГяетГя первообразной д:Гя Грунин!!и 1" (ГГГ)»а интервале (а,Ь) Естес твенно, возникает вопрос. как связаны между собой разли шые первообразные для одной и той же функции ф(х). Справедлива следующая основпия, теорема.
Теорема о.1. Если ГГ (х) Га ГГа(Гх) — любые. первообразные для фуикцшГ Г'(х) на интервале (а, Ь), то всюду на этом интервале Г!(х) — Гг(х) .= С, где С вЂ” некоппГрил ГГостоянная. Другими с.иовами, две любые первообразные ддя одной и той же функции могут отличаться л1ппь на постоянную. [ о к а з а т е л ь с т в о.
Поло ким Ф(х) = ГГ (,т,) — Гог(х). Так как каждая из функций Г1 (х) и ГЗ(х) дпфференцируема на интервале (а, Ь ). то в силу теоремы 5.3 и функция Ф(х) днфферепцнруГГМа На Иитг риад11 (а, Ь). Пр1цГГГТГ ВГ;Юду На ЭТОМ Иитсрась111 Ф'(х) = Г,'(х) — Г.,'(и) = ((х) — ((х) = О. В 3 10 1;1. 8 апГтодами, Гп1 Гц:по.Газу!о!ними рГчз1.льтатов э!той главы,'. будет доказана теорема 8.13 сдедуи1щего содердгания: !1 если функ!!ия Ф(х) дифференцируема всюду па интервале (а. Ь) и еГГГш всюду ца этом интервале Ф'(х) = О, то функция Ф(х) является постотпГГГой на Гштервале (а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
