Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 45
Текст из файла (страница 45)
И> злого уравнения находим г л,о. Ьх -ь Ьв> Ьт, е ". о> -1- 1р где а, Ь. с - некоторые постоянные, и, - любое целое поло>кительное число (см. выше. пример 3'). Интегралы оп>орой группы берутся путем и-кратного применения формулы интегрировашгя по частям (6.9), при п>х1 в ка.гоств>> п(с) ~~~~~й раз следует орать (ох+ Ь) в согни>тсгвук>пшй степгни. ПО1 и. каждого интегрирования по частям ага степень будет понижаться на единицу. 3) К трет;ьей группе относятся интегралы вида | еахсонйх 11х. ) еахвгцЬх 11х.
| нш(1пх) 11х, ) соа(1пх) йх, ... (см, рассмотренный выше прим1>р 4'). Обозначая л>обой и:> интегралов чтой гру>шы 'крез Х и пронзво,(я двукратное интегрирование по частям, мы составим для 1 уравнение первого порядка. Конечно. указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегра.юв, оерущихся посредством интегрирования по частям. Приведем примеры интегралов, не входящих пи в одну из перечисленных трех групп, но вычислимых при помощи 4>ормулы (6.9). ) В Случае, еели подынтегральная функция годержит в качеетво множителя (агсгкх), (агссок х)>, ..., формулу интегрирования но частям (б.9) придется црименить дважды. Практика показывает, что большая часть инт>тра.юв, берущихся посредством интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три григ>гия: 1) К первой группе относятся интегралы, подынтегральна51 функция которых сО.11>ржи> в ка'п>ство множи гел5! Одну из следуюгцих функций>: 1пх, агсашх, агссовх„агсфхз (агс16х)-', (агссовх), 1нр(х), ...
(см. рассмотренные вылив примеры 1' и 2'). Для вычисления интегралов первой группы следует применить формулу (6.9), полагая в ней и(1г) равной одной из ука- '1>ацных выше функций ). 2) Ко второй группе относятся интегралы вида НКОШ КДКЛКННЫй Нити! ! ЛЛ 202 1Л. 6 х Их 5'.
Вычислим интеграл 1 = /,," . Этот интеграл не входит / совг ц пи в одну ллз упомянутых трех групп. Тех! не менее, применяя г!х формулу (6.9) и полагая в ней и =:гг л)е =,', получим гггг = сов х = г!.с, е =- 1а х, / в!ггх Нх 1 = гг1кх — 1ах с)х = х1ях — / соь х =.г:1йх+ = хФах+ )лг!соах)+ С. соь х б'. Вычислим, наконец. весьма важшлй для дальнейшего ин- )1 тегРал Кл = 1, г где а, = сопя!, Л = 1,2,...
Этот инте/ (сг+аг)г ' грал также не входит ни в очну из упомянутых выше трех групп. Для вычисления этого интеграла установим для нел о рекуррентную формулу, сводящую вопрос о вычис гении Кл к вычло и!в пило Кл Можно запил ать (нрлл Л у'= 1) 1 / а лн 1 / )(сгч-гг ) — Л )г)1 аа / (12 ! аг)г сгг / (12 1. аа)л 1 )Г г!1 1 / 21г!! 1 - 1 / г1(1~а-а ) аг / Ллг Ьцг)г — г 2аг / 'Лса ! аг)г цг 2аг / 'Лгг Л цг)г' Для вычисления последнего интеграла применим формулу интел)!1 +а ) грирования по частям (6.9). полагая в ней лг, = 1г с!лл = !Кг -!- аг)" — ! Получим Йп = Ф, и = гЛ 1)глг+ца)г — г' Р Л ' 2 -'<Л вЂ” !Нлач- г)'-' 2.а1Л вЂ” П КЛ-! Из посгтл".дллелГО !)авснстга пату лллм! 1)еку)г))ллллтллбю фо1)мулб 2агЛЛ вЂ” 1)(ла -1- аг) ' аг (2Л вЂ” 2) Убедимся в том, что рскуррснтпая формула 16.12) пошлоляст вычислить интегра.! Кл для любого Л = 2,3,...
В самом деле. иглтеграл К! вычисляется элементарно г11 1 г)Ясг) 1 1 =- — агс1 я — + / Кг э агг а / (1Лга)а+! а а После того как вьгшслен интеграл Клг полагая в формуле 16.12) Л =- 2, мы без труда вычислим К' . В свою очередь, зная Кэ и полагая в формуле 16.12) Л = 3, мы без труда вычислим Кл. Продолжая действовать таким образом дальше, мы вы плслим интеграл Кл для любого натурального Л. Г.ййВА 7 КОМПЛЕКСНЫЕ т4ИСЛА. АЛГЕБРА МНОГОНЛЕНОВ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ Ф'УНКЦИЯХ В предыдущей главе было указано, что неопределенный интеграл от элементарной функции, вообще говоря, не является г.кь ментарной функпией. Тс м не менее существуют довольно широкис классы функпий, интегралы от которых представляют собой элементарные функции.
(Тагсгге классы функций мы будем на:зывать синтегрсгруемылт в элементарньгх функцггях.) Изучение указанных классов функций и составляет основную цель настоящей главы. Поскольку среди указанных классов функций одним из основных является клисс рациональных <Яункцггй, мы должны прежде всего уточнгпь наши представления о многочлснах и рапиональных функциях. Дггя этого в свою очередь требуется уточнить налит сведения о комплексных числах. й 1. Краткие сведения о комплексных числах Дпа оегцгствснных члюла х гг у мьг будем низывать упорядоченной парой, еслгг указано, какое из этиа: чис:ел, явллвтсл первым, какое вторьгм.
Угсоряточенную пару вещественных чисел х и у будем обозначать сягтолом (х, у). записывая на первом месте первый элемент пары х. Комплексным числом ггазывается упорядоченная пира (х, у) велцссппвенныт. чггссл, первое из которых х нигьгвиется действительнсгй частью, а второе у - мнсгмог1 частью этого комплексного числа,. В случае, когда мнимая часть у равна нулю, соответствующуго пару (х, 0) договариваются отождествлять с: вещественным числом х. Это позволяет рассматривать множество всех вещественных чисел как часть множества комплексных чисел.
Дви комплектгых числп, хг = (хг,уг) и гг = (хг, уя) низьюа- 204 интеГРНРОВАн1!е В и:1ементАРных Финки/17!х Гл. 7 |07пся 772777еымп., Г/сл|! х1 = хв, 1/! = 7/2. Говорят, *1то ь|еьмпле.*ьс7!ГЬГ'. число г = (х, у) раепо ну/ли!е!, есм! х = 0 и у =. О. Определим операции сложения и умвожепия комплексных и!сел. Поскольку веществеппые *плела являк!тся частьн! Зшожества комплекспых чисел, эти операции должць! бьгп определепы так, чтобы в применении к двум вещественным числам они приводили к уже известпым пам из 8 2 гл. 2 определениям суммы Ел произведения вещественных чисел.
Сумм!!|Г, дОУх комплеьсиь|х Е|!!|ел 2! =- (х|.,У!) и 22 — (х/ У2) 7|п„766||м ьзомплГ|ксиОГ! я||ело з епдп =(|1+х2 7/!+У2) ° (7.1) П7ГГ|пзееде!ЬЕ!Гем дейЕ/ес комвлекспь|х чисел. 21 = (х|. у!) и 22 = (х2, у2) |ЬОПОПе:м ь|ом7|ле|ь;с|!Г/6 ч|!сло е 6||да (||1х2 У1У2~ х1У2 + |12 Ч1) ° (7.2) Легко проверить, что сумма и произведение комплекспых чисел обладают теми же самыыи свойствами, |то и сумма и произведение вещественпых чисел.
Имеппо справедливы следук|щие свойства: 1'. 21 + 22 = 22 + з~ (переместптельпое свойство суммы). (-! + 22) + зз = 21 + (22 + хз) (сочетательпое свойство суммы). 3'. е+ (0,0) = е (особая роль плела (0,0)). 4'. Для каждого числа = (х, у) существует противоположное ему число з~ = ( — т,. — у) такое, что е + е~ = (О| 0). 5'. з! 22 = 22. 21 (переместительпое свойство произведения). б'. (21 22) хз = з! (ия зз) (сочетательпое свойство произведения). 7'. з .(1,0) =,. (особая роль числа (1.,0)).
8'. Для лк!бого коьшлекспого числа г = (х, у), пе равного пули|. существует обратное ему число — = ( ( |! 1 , ~ |ь 1 ь Е 1 такое, что и . — = (1, 0). (х! + и2) ' хз = 2! ' Сз + 2 ' 23 (расг|ре/Еелительпе!Р свойс1во произвсдепия отпосительпо сумыы) . Свойства 1' 9' позволяют утверждать, что для комплекспых чисел полпостью сохрапяк!тся все правила элемепта1пн!й алгебры, от|и!сящиеся к арифметическим действиям и к сочетапик/ равспст в. Кроме того. эти свойства полпостью решают ьопрос о еь!'Сппгинип комплексных ОГО|ел как о дейс!вии, обратпом сложению., и о де|Я!/н|1п, кеьм||лтсиь|х чисел как о действии, обратном умножепик|.
Р/137!е!Г/7!)ь777 дОЧх ком7|лекел|ы|с чие|ел 21 = (:с1~ у1) |!' и2 (12 |/2) иипыв|и7пся 77!!!ы|/е. 'ьом7!ле|ксиое число 3 кГ!7НО7!Г/Г'. 6 ! 1 1(1'Аткие сведеиия О кОХ!11лексных числАх 205 сумме с гг с)с)еп) г). С помощьк) свойств 1' 4' элемептарпо устанавливается сугцсствовапис и сдппствеппость разности двух любых коъпглекспых чисел '). Легко проверить, что разностью двух комплексных чисел г! = ((ъ!) у!) и гг = ()г) уг) является коъшлекспое чис,ю е вида г =- (:):! — хсп у! — уг).
(7.3) '!летным двух комс)лексных) "и)сел, г1 = (х), у)) и гг = (х, уг), вп)орое ив которых не !хи)но нули). наиыси)епссл то; кое комп,и)ясное число л, кс)торос прп, умноонтппи), на гг даст г1. С помощью свойств 5' -8' легко установить, что ед)п)ствеяпым час тпым двух указанных комплекспых чисел яв.зяется комплекспое число г вида (7.4) х +)/) х 1 у) В операциях с комплгксцымп числами особую роль играет число, представиыое парой (О, 1) и ооозначаемое буквой !. Умножая эту пару самое иа себя (т. е. возводя ее в квадрат).
получим в силу определения произведения комплексных чисел; (О, 1) . (О) 1) = ( — 1. 0) = -1, т. е. )г = -1. Заметив это, мы можем любое комплексное число г = (х, у) представить в виде г = (х, у) = (х, 0) + (О, у) = (х. 0) + (у, 0) (О, 1) = х + су В дальнейшем мы будем широко использовать для комплексного числа г = (:г, у) представление в = х + ъу. Это представление и рассмотрение ъ в качестве ъшожителя, квадрат которого равеп — 1, позволяет производить операции с комплекспыми числами так же, как опи г)роизводятся с алгебраическиыи мпогочлепаыи.
Комплексное число е = (х, — у) =,т — )у принято пазывать сопряженны,м, но опиипие)тк) к комгтекти)му ')пслу г = ((г) у) = =- сг+ ип О невидно, чтс! кс)мплс'кениг число равно нул)() )поядю, и спольъсс) тоедс). когди равно нулн) сопряженна)е ему "спело., ибо равенства х = О., у = 0 эквивалентны равенствам х = О. — у = О. Для геоъ)етрического пзображепия коъ)плексных чисел удобно пользоваться декартовой ссряыо1тольпой системой коордипат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
