Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В приведенном вылив примере ыы для простоты взяли много слепы ! (2) и ср(г) с еесцгспъвенньсми коэффициентами. Та же метссдика сохраняет силу и для многочленов с комп.нсксными коэффициентами 3 а и е ч а н и е 2. Следует отметнтъч что до настоясцего времени практически отсутствуют устойчивые численные методы выси!.:!Ения корне;й произвольных много с,н;нов с задашной точностью. Однако, имея предварительную информацию о раснолоъкении искомого корня много'1сн'.Иа на нек010)эоы сотые',нтсс числовой оси, мы ыолсем вычислить этот корень с инторесусощей нас точностью с номслцью методов, изложенных в 5 1 гл. 12. я б. Разложение правильной рациональной дроби с комплексными коэффициентами на сумму простейших дробей Р(-) й ас(г) С2(ъ) (- — а)" (- — а)" с Р(ъ) (7.29) Рационалсьной д р о б ь и нсгсывается отношение двух алсебраических многочленов.
Рациональная дробь называется правильной, ее ш степень ъсногочлена, стоящего в числителе, ън".ньшс степени многочлена., стоящего в знаменателе. В нросивном скучав рациональная дробь называется непраеилысой. Как правило, ълы будем обозначать рациональную дробь символом Р(ъ) понимая нод Р(г) и !'„)(г) алгебраические много сиены. Лемма л.
Псдсспсь: - гсраессльнал рациональна.л дробь. Р( ) Фъ) зналсенстссль котойой имеет коРнем к1хстсссссти и ъомплгкь нос чисъло а, пс, е. Г)(г) = (г — а)оср(г), где ср(сс) ф О. (7.28) Тогда длл оспой дрссбсс ссс1хснедллснсь слес)ующее предстаьление: 216 инткчсспговлниквилкхткнтирссыхеънкииях гл.т в котором Л вЂ” кслмплсснстссая, постпаялииля, рлвтсая, к це- Р(а) '' р(а)' лое число 3 1, а ттл(г) нсткотпорьст1 лисогв тлен. тсричем послед- няя дробь в правой састи (7.29) явл,.яеспся тсравилсьтсслтл. Д о к а с а т е л ь с т в о. Обозначив через А постоянное Р(а) чис:со вида Л = л, рассмотрим разность эт(а) СС(с) (- — а)'* Приводя указсашую рьпность к общему знаменатстю, будем иметь Р(.) Л Р(я) — Лр(я) Ь( ) С„>(л) (л — а)" (л — а)"ся(я) (л — а)'* фл) где через Ф(г) обозначен многочлен вида Ф(г) = Р( ) — Лсст(г).
Поскольку Ф(а) = Р(а) — Аср(а) = О, комплексное число а явля; ется корнем мнигочлена Ф(г) некоторой кратности )сс) 1, т. е. Ф(г) =. (г — сл)ят)т(г), где Ясл) ф О. (7.31) Всттсвляя представлс нне (7.31) в формулу (7.30), будем иметь (7. 32) с2(л) ( — )'* ( — а)" 'я( )' Теьс самым формула (7.29) доказана. Остается только убедиться в том, что дробь, стоящая в правой части (7.32), яв.ляется пра- вильной. Это непосредственно вытекает из того, что разность двух правильньлх дробей является правилянсой дробьнлл). Лемма 2 доказана Из леммы 2 непосредственно вытекает следующая замеча- тельная теорема, устанавливающая факт разложнмостн пра- вильной рассиональной дроби на сумму нростешпих дробей. Теорема 7.3. Пусть — правияьнал, рвлсиональная, дрслбь, Р() знаменатель которой имеет вид ®я) = (г — а) (г — Ь ) ...
(г — с) '. (7.33) Тогда для зтотл дроби стсрслвссдлтслсло следуютцее тсрссс)сттлслсслссттсссе; — + ' +...+ ''* + Р(я) и, и, С2(л) (- — а) (л — а) -' (л — а) в, в, вя ( -ь)я ( -ь)я-' ( -ь) + + ') Число Л илсеот смысл, ибо (а) ~ 0 в силу (7.28). ') В атом легко убедиться. приводя разность правильпык .дробей к общему зиамепатетпо. '! е РА!1ложение А.'1ГеБРАи'1ескОГО х!нОГО'111енА 217 В этом. враг)стиг!лениг! Л1, Л, .....4„, В1, Ва...., Вв, ..., С1, Са, ..., С, — некгтгорые гггн:тг!я!гг!сыс ком!1лексные числгь часть пэ коп!г!рыча ллгзаюет бьтгь раени ГН!ьлнь Доказательство. Сначалапримевпмлемму2к РЯ дроби, имея в виду, что комплексное чиг.ло а является корнем б1(г) кратности сь Прн этом получим равенство (7.32).
)4 правой части этого равенства снова применим лемму 2, имея в виду, что либо комплексное число а, является корнем знаменателя указанной правой части кратности гг — ь (при и — к ) О), либо, в силу разложения (7.33), комплексное число б является корнем этого знаменателя кратно!пи !э' (при гг — й = О).
В резуль!а!е получим равенство, аналоги пюе (7.32), к правой части которого снова можно применить лемму 2. Продолжая аиало1ичные рассуждения далее (т. е. последовательно применяя лемму 2 по всем корням Г~(г)), получим для дроби пред- Р(4 ставление (7.34). Теорема дока:!ана. В а м и ч а н и е. Поскольку в лемме 2 число )с может быть болыпе единицы и мпогочлен РЯ может иметь корни, совпадающис с корнями Г,1(г), то часть коэффициентов А1, ..., А,, В1, ..., Вд, С1, ..., С в формуле (7.34) может быть равна нулю. й 6. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей Вылив мы изучали разложение на сумму простейших дробей рациональной дроби с комалекснымп коэффиш1ентами. Нашей оконч пг!льпой целью является разложение рациональной дроби с ееи!естееньиялгп коэффициентами на сумму простейших дробей с еещсю!песин ьит коэффициентами.
Для .пя тижепия этой цели мы дгюжны прежде всего найти разложение атгсбраического многоч.зепа с веществгашыми коэффишп игами на произведение неприводимых вещественных множителей. Этому и посвящен настоящий параграф. П! сть ~(в) и ! и — 1+ гг — аз ), (736) приведенный алгебраический многочлен с ее!цестееннылп!.
коэффициентами с1, с ...., с„. Прежде всего докажем след! ющую теорему. Теорема 7.4. Ьалн комплексное число а, является корнем алеебрап, июкого мнг!еочлггнг! с вгспйесп!еггннььм!! коэг)х)!пгг1пггнта- 218 интеГГИГОВАнне В и:1ементАрпых Функн«15!х Гд. 7 ми (7.35). то и сопряо1сг!гпгое ему ком1111ггкснгзе агигло ) и гпак.же являетг:я корнем мен!гочляна (7.35). Более п1гзегх если ком- плсксиыО к!!рень а имеет, кратносгпь Л, то и корень а имеет кроепноппь Л.
Д о к а з а т е .з ь с т в о. Прежде всего докажем следующее вспомогательное утверждение: если 1( ) многочлен с веьцсственными коэффициентами. то комплексная в!личина 7(в) яВляе!ся сов«зяжРнной !И) ОтношРВРНО к ВР.!ичин(', «(я). Достаточно докгк!всеь, что для любого номера а величина (я)" явля- ЕТСЯ СОПРЯжЕННОй ПО ОтПОШЕНИЮ К ВЕЛИЧИНЕ 5 в» Эта ПОСЗЕДНЕЕ непосредственно вытекает и:1 тригоноъгетрвческой формы комплексного числа. В само~ деле. пусть я = «5(совО+твгпО). Тогда я = р(сов( — О) +твш( — О)). В силу формулы Муавра (7.11) св = Ов(совОН+гвшОН), (я)" = 11"(сов( — Оп) +гиги( — Он)] =- р"(совдп — твшОп).
Из сопоставления двух последних формул вытекает, что (я)г' является величиной, сопряженной по отношению к г". Вспомогательное утверждение докгтзано. Пусть теперь комплексное !исзо гл является корнем много- члена 1(я), т. е. 1(гл) = О. В 8 1 этой главы мы установили, что кОмплекспОР число раВно ну:ПО тОгда и тО„!ькО тогда, кОгдв равно ну!по сопряясенное ему число. Стало быть, нз равенства «(а) = О и из доказанного выше вспомогательного утверждения вытекает.
что «(а) = О, т. Р. число а является корнем 7(я). Пусть дано, что кратность корня а равна Л. Тогда в силу теоремы 7.2 7(г!) = 7'(гя) = ) (а) =... =.1 (а) = 0; 1 (а) т- О. (7.36) Так как комплексное число равно нулю тогда и только тот;1а, когда равно нулю сопрялсенное Рму число, то из доюшанного вьшн: вспомогательного утвергкдепия и иэ соотнопп»шй (7.36) В1.1тска10т сл1»тъ ю! цие СООтнОшения 1'(а) = 1'(11) = !'1Я)(11) = ...
= !"«~ 11(а) = О, !'1й)(а) ч~ 6. (7.37) 15 ) Всюду в да.п пейшем мы будем обозначать комплексное чис.ю, сопряжешюе даппоыу, тем же символом, по и данное число, по е черточкой наверху. е) нргг этом ыы учить!васы. что производная лшогочггг5гга е вепвттвг5нггыми коэффипиептами представляет собой мпогочлеп также е вепщствеппыыи коэффипиептаыи.
'э' в РАзз!Оукение АзнеБРАи'гескОГО л!ИОГО'!Ленл 219 В силу теоремы 7.2 соотношения (7.37) означают, что число о, являешься корнем 7"(я) кратности Л. Теорема 7.4 докгюана,. Пользуясь ггго1эемой 7.4, най гем разэгожение мгпи о !. Н.на г' вещественными коэффициентами ) 1(х) на произведение пеггриводимых вещественных множителей. Пусть многочлен 1(х) имеет вещественные корни Ь! . Ьз...., Ьн, крагноств гл!. ()а,..., Д„соответственно и комплексно сопряженные пары корней а! и ал, ао и ать ..., ав и а„крат!!ости Лг, Лз..... Л„каждая пара соответственно.
Тогда, согласно 1кезул!.татам ~ 3, многочлен у'(х) можг.т быть представлен в виде 1(х) = (х — 6!)' '(х — 62)' '-'... (х — Ьв,)! (х — о!) '(х — о!) ' х х (х — оа)л'(х — ав)лв... (х — от,)л" (х — ов)л" (7 38 Обозначим вещественную и мнимую части корня аь (й — 1.2,....и) соответственно через !!ь и иьм т. е. пусть аь = и!„.+ть. Тогда аг,. = иь — Ьоы Преобразуем для любого Ь = = 1.
2,.... п, выражение аь)лв(х — „, )лв ((х а, )(х ой))лл = ((х — иь — ть)(х — иь + тй)~ " = ((х — иь) + иь) ' = = (гг~ + Рви+ йь)~':. (7.39) где Рь = — 2!!в, уг = иь + иь. я Вставляя (7.39) в (7.38), окончательно получим гшедук>щее разложение многочлена ! (х) на произведение вещественных неприводимых множителейг: г (х) = (г — 6!) ~(х Ьз) э, .. (х Ьнг) (х +р!х+ гй) 1 х х (х +рйх+йз) '...
(х~+рах+гйг)л". (7.10) Мы приходим к выводу, что многоч:и!н !(гг) с вещественными коэффициентами распадается на произведение (7.40) нсприводимых веществеяных множителей, причем множители„соответствующие вещественным корням, имеют вид двучленов в степенях, равных кратности корней. а множители. соответствующие комплексным парам корней, имеют вид квадратных трехчленов в степенях, равных кратности этих пар корней. ' ) В Лальнсйшсм нам придется иметь поло с многочлснами от пврсмснпой, припимашщой лшвь всщсгшввннмв энвнвнвя, Поэтому лля св обоэпачсшля удобное по.п эоваться буквой т., а пс 220 интеГ!'иВОВАИ1!е В элех!ентирных Фмнен!1>!х Гл. 7 й 7. Разложение правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на сумму простейших дробей с вещественными коэффициентами Име!от место следу!оп!ие два утверждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
