Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Лемма Я. Преть — г!равилсьная рациг>пильпая дробь с Р(х) Г2(х) велцественнылги козффициентими, знглмгисатель которой имсепг, г>с!!с!ес>п>г>ен>сое число а корнел! критност,сс и. т. е. Г>(х) = (х — о,) гр(х). где |р(а) и= О. Тогда для, этой, дроби гл>рас>ссЬ>иве следуюи!ее предтпивление: Р(х) А 15(х) (7А1) О(х) (х — а)" (х — а)'* '"у(х) В эпсом с>рг>дг>тг>влепи!>, А веи>ее!поенное спело, рссвное А = . )с целое число ) 1, и ф(х) некоторый многочлен Р(а) л(а) с венцсстпвенными ъозффицисянп>имл>.
прссчем последнял дробь в правой части (7.41),явля!>п>ся г>4ясвияьной. Лемма 3 доказательства не требует, так как непосредственно вытекает из леммы 2. Слс>дуст ~~~~~~ учс;стан что, поскольку Р(х) и б!(х) чг!сны с вещественными коэффициентами, а а вс.и1ественный корень, многочлены р(сс>) и ф(х) также пъсеют вещественные ко- Р(а) эффициенты и, стало быть, постоянная А = является веФа) щественной. Лемма 4. Про>пь ' правильная, рг>цг>опоз!ьния. дробь с Р(х) с>(х) велцесотсннылги коэффициентами.
знаменатель которой бЗ(х) ил!ее!и комплсксньн! числа о, = и. + и> и о, = и — си корнями ъ1>атнгн>ти Л. т., е, !>(х) = (гси+рх+11)~~о(сс). где .р(а) ф О. ср(сс) ь О. р= — 2и. й=!л +и. (7. 42) Тогда для, эпи>й дроби спросвсдливо следрюи!ее прсдсепивлсьисел + г '('),, (7АЗ) 12(х) (х> + рх + и)> (с> + рх + у)ъ я>(я') В этом. предстс>елен>>и >1> и >ъг нг>ъяотпс>рые велцес>пвгснньсе постоянные, Й -- целое число > 1. и ф(х) -- некоторый мнг>гочлен с весцс>с»вс>енлчьъм!с козффслциенп>ими„причем последняя. дробь в 7!>я>вой чисгпу (7>40) полл!!>ъня 'приспсльной. Доказатсг>>ьетвс> лг.ммы 4.
Досг>вериг!си обо;!начать вещественную часть комплексной величины А символом Ке (А), мнимую часть комплексной величины А символом ! 7 РАНС!ОжКНИН Ш АН!4ЛЫ!Ой! ! Аццо!!ЛЛЬНо!! Д(! ОЫ! 221 1ш[А). Положим ) ЛХ = — 1ш[ — ~. 1 ГР(а) ~ 1;«4' ЛГ = Не[ — ~ — -'1ш[ — ~. Р(х) Мх -1- Х Е,х) (ач рх я). Приводя ука:(анную разность к общему знаменателю, будем иметь Р(х) Лрх + Ч Р(х) — (Лрх+.Ч)р(х) 4'( ) ®х) (х'+их+ (!)( (х' т рх 4- Н)" р(х) (хо + рх+ (!)(х(х) ' (7А5) Здесь через Ф(х) обозначен многочлен с вещественными кояффициентгми вида Ф(х) = Р(х) — (ЛХх+ ЛГ)(р(х). Равенство (7А4) ИО"!ВО!(я(т утВВГэждать, '!10 кОмнлекснОе чпш!О а..
а стим(0 бьг('ь, в силу теоремы 7А, и сопряженное ему число а являются корнями многочлена Ф(:г) некоторой кратности й > 1. В таком случае для мн010члена Ф(:г) спраВед:пп50 1гр(!дставч('н1Н! Ф(х) = (х + рх + д) ф(х), (7А6) где (р(х) некоторый многочлен с ве!Нественнымн ковффициентами, не имеющий в качестве корней числа а и а. Вставляя Вреде(аи;и:ние (7А6) в формулу (7..15), получим представление (7АЗ). Тот факт, что последняя дробь, стоящая в правой части (7АЗ), является правильной, вытекает из того, что вта дробь равна разности двух правильных дробей.
Лемма 4 доказана. По(ледовательное применение лемм 3 и 4 к дроби Р(х)Я(х) ПО Всем корням '!наменателя НГэнВОдит нас к следуюп((;му заме- чатеиьнОЬ!у гл1В(!1э!кдсникх ') И силу (7.42) р(а) ф О, так что отногионио Р(а)/х(а) рассматривать можно. Нетрудно проверить, что указанные ЛХ и г(( являются решением следующего уравнения; Х'(а) — (ЛХа + Ж)(р(а) = О. (7.44) В самом деле, поделив зто уравнение на (р(а), н приравняв нулю действительные и мнимые части. Мы получим два равенства ЛХи + Лт = Пе [ — ~, М(! = 1ш[ — ~.
ГР((61 (р()~ из которых определяются написанные выше ЛХ и ЛГ. Рассмотрим теперь р!юность 222 ингиг11н оилнии в элиминтлгных функциях гл. г Теорема 7.б. Пусть ' иравилсьная рицссониььная р(х) дрсгбь с сзещссговс*.нлсыма кохгзсг(гициенсвссмлх. онолсснотель кото- рой имеет вис) ь)(й(, ьа)о, ( б )в( г+, а+, )л, ... (сс +р„х+ йп) ". Тогда дло эсссосй дроои стсроведлссво следующее рскзлооюснсгс 'нп сумму ирскстейиисх дробей О(х) (х-Ь,) + (, -св)о "+ (х-Ь,): в'"' в""' в! "о л, (х — Ь ) (х — Ь„,)о (г — Ь,)г ,си (хо+рсх З-Ос) (хо З-оса+си)' (х'+рсх З-са)с зтс" 1, С О (гз Э.гих+си) (го+и х:+сг„)о ' ' ' (хо З-р„х-1-О„)" (7.47) В эстсом ро,злоаюснии В1, Вг, ..., Вв, ЛХз, Х1, ..., ЛХх (Ц (Ц (т) РЦ (Ц (и) нег„оторыс вглцгстссенньсс постоянныг, чос.ть оо кото- (и) ръсх.
лсооюснс быть равна нулю. 3 а м е ч а и и е. Для конкретного определения только что указанных постоянных следует привести равенство (7А7) к общему знаменателю и после этого сравнить коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях. Примеры и разьяснения. 1'. Разложить на сумму простейших правильную дробь 2х' -1-4х'+ х Э- 2 (х - 1Р(" э х г-1) Ьббодившись в том, что квадратный трехчлен х + х + 1 имеет комплексные корни, ищем., согласно теореме 7.5, разложение в виде ах'+ 4:г'+ х+ 2 Вс В ЛХх+ Х (х — 1)г(хо + х -~- Ц х — 1 (х — Цо хо+ х+ 1 Приводя равенство (7г48) к общему знаменателю, иолучиьс 2х'+ 4х' -~- х З-2 В1(х' — Ц+ Во(х'+ г+ 1) + (Мх З-йс)(хо — 2х+ Ц (, -1)'(х' э х+ Ц (г — Цг(хо + х З- Ц Сравнивая в числителях коэффициенты при хо, х1, хг и хз„при- глзложкпик пглнильпой глциоплльной дгоьи 223 дем к системе уравнений 1) В! + ЛХ = 2.
Вя+ Х вЂ” 2ЛХ = 4, В. + ЛХ вЂ” 2% = 1, — В! + В2+)у = 2. Решая эту систему, найдем В~ — — 2,. Вэ = 3, М = О, Х = 1. Окончательно получим 2хв + Зх + х + 9 2 3 1 (7 )й) (х — 1)в(х'+х -1-1) х — 1 (х — 1)в хв З-х З-! Только что ззроиплюстргзров!знззьзй метод отыскания разло- жения правильной рацион вньной дроби называется мои!одом неот!Ределенизумх иоэфсХзь йивнтов.
Этот метод приводит к цели всегда: дока:зывать разрешимость полученной в резулвиате при- менения этого метода системы уравнений не нужно ра:зрезззи- мость вытекает из теоремы 7.5. 2'. Проиллюстрируем метод неопредезнзннык коэффициентов еще одним примером. Требуется найти раз:зожение правильной дроби Зх" + Зхв + Зх' — 1 (х — 9)(хэ †,'- 1)в Так как квадратный трехчлен х + 1 имеет комплексные корни, ищем, согласно теореме 7.5, разложение в виде Зхз З- 2хв З- Зхв — 1 ХЗ М1х -: '— Х~ ЛХ х З- Мв (х — ЗИхэ -В 1)в х — 2 .сэ З- 1 (хэ + 1)в Последнее равенство приводим к общему знаменателю и после этого сошютавляем числитсли.
Получим Зх + 2х' + Зхи — 1 = В(х' + 2хэ + 1) + + (М! х + 1Х! ) (хз — 2хх + х — 2) + (ЛХ. х + Хя) (х — 2) . Сравнивая коэффициенты при т., т.з, хз, хз и х4, придем к си- стеме уравнений В+М! = 3, Хз — 2ЛХ! — — 2, 2В + ЛХ! — 2Лз! + ЛХ: = 3, Ж! — 2ЛХ! + Л!э — 2ЛХи .= О,  — 2Л!! — 2№ = — 1.
) При этом мги используем утвсХркклсвво. сформулироваююо в сноске э) ва с. 209. 224 интеГГНГОВАн!!е В э:1ементягных Функн11т!х Гл. 7 Решая эту с:истему, найдем гт = 3, ЛХ! = О, сУ! = 2, ЛГ2 = 1, Гстз = — Г). ОКОН ШтЕЛЬНО ПОЛУЧИМ Зхз -> 2,с' Е Зг' — 1 3 2,с (: — 2Н -'+1)т х — 2 '+ ! (х'+1)" 3'. Метод неон!!одел!.нных коэффициентов, как видно из Гзассмотренных примеров, является довольно громоздким. Естественно ссоеаому в тех случаях, кот;!а это возможно, найти другой, более простой метод отыскания коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших.
Пусть знаъсенатель Г„)(х) правильной рациональной дроби Р(х)С0(;г) имеет вещественное число а, корнем кратности ст. Тогда среди простейших дробей, на сумму которых раскладывается дробь Р(;г)Я(х), будет фигурировать дробь (7 г1) (л — а)" Укажем совсем простой метод вычислсзния коэффициента А при этой ссростейшсй дроби. Привлс'.кая лемму 3 и формулу (7А1), мы убедимся в том.
что коэффшсиент А равен А = Р(а)асср(а), где ут(х) = Г~(х)тс(х — а)". УГы приходим к следующему правилу: для вычисления коэффиНиешпа А нртс, простеитаой дроби (7.51). соотссоетссспсвуюи!есй ве; тественному корню а многонлена сьс(:г) крап!ности си следуепс вы соркнутпь о знаменит!селе дроби " скобку (х — а)" и в осписор(х) саемся оьсраоюетсии тшлооюиттсь х = а. Указанный прием нахож и;ния коэффшсиента А обычно назьпзают месс!одом вычеркивания.
Отметим, что этот прием применим лишь для вычис пения коэффициентов при отвори!их свет!снях ироспсейших дробелл, соояоетствтиощи;г вещеспгоенньсм корт!ям Я(х). Мс!Тод Вычеркиваниз1 осооишо эффстк1ивен в сч)'сас'., когда знаменатель с„)(х) имеетп лиигь однокраппсьсе оещеспсоентсьсе корни, т. е. когда ты(сг) = (х — а!)(а; — а.)... (сг. — ап), Тогда, как мы знаем, спрасзедливо разложение Р(х) А! + Ат + + Ас „+ А„ СЗ(х) .г — а! х — ат .г, — ос..г — а„, ' все коэффициенты которого ъсогуг быть вьгсислень! по методу вьгзеркпвания. Для вычис -!ения коэффициента Ая следует вычеркнуть в знаменателе дроби Р(х)С~(х) скобку (х — аь) и в оставшемся выражении положить х = ая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
