Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Этот прием особенно эффективен в том случае, когда корни 12(х) в основном являются кратными пли когда вызывает затруднение нахождение корней 12(х). П р и и с р. методом Остроградского вьглисщить с з б — 7.с — х ' сс слл хл — 2хс + З.сс — 2х + 1 Имеем ц(х) = хл — 2х'л + Зхэ — 2х + 1, (~'(.г) = 4хэ — бхэ+ бх — 2. Ищем („)1(х) как наибольший общий делитель многочленов б)(х) н Я'(х). Заметим, что наибольший общий делитель именно эпплх двух много лленов ) же найден нами в примере, )ласеклот)ленном в конце З 4.
Он равен Сс)1(Х) = Хэ — Х+ 1. Поделив б,)(х) на б)1(х) «столбикомк найдем Я (х) = 72 — х+ 1. Р1(7:) и Рэ(х) задаем как многочлепы первой стл пени с неопределенными коэффициентами. Форклуэла Остроградского (?.61) принимает вид с с б — 7х — х 1 Ахэ-В + / Схэ-Р ( (762) :" — 2. ЭЗ.? — 2х-Ь1 "' ' —;+1 Для определения коэффициентов А, В, С, Р продифференцируем формулу (7.62). Получим б — 7х — х" А(х' — х + 1) — (4х + В )(2с — 1) С с + Р сл — 2хн + З.сс — 2х + 1 (х' — х+ 1Р + (хс —.с+ 1) Резулыат дифференцирования приводим к общему знаменателсо, вошле чего сопоставляем ~и<митесллл.
Посл1 чим 6 — 7х — х2 = А(т, — х+1) — (Ах+В)(2х — 1)+(Сх+Р)(х~ — х+1). Сравнивая коэффициенты при хо, х1, хэ и т,'1, получим систему уравнений С=О, — А + Р— С' = — 1. — 2 — Р+ С = — 7. А+В+Р =-6. 1 со интигс 111 овлиик игглционлльиых выглуккиий 231 Решая эту систему, найдем А = 2, В = 3, С = О, Р = 1.
Такимс образом, формула (7.62) принимает вид 6 — 7х —;ге сй:=,," ' + 2сг,жЗ / с)х хс — 2х'с -С- Зхв — 2.г, -С- 1 .ге — .с: -С- 1 ( .ссс — .г -С- 1 Вычислив интеграл в правой исти, окончательно найдем 6 — 7х †.г' 2х+ 3 2 2.г — 1 с)сг =,, + — агс16 + С :гс — 2ге+ Зхе — 2х -С- 1 х' —,г+ 1 згЗ 3 10. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений В предыдущих параграфах мы установили, что интеграл от любой рациональной дроби представляет собой элементарную функцию. В ссастоящем параграфе мы рассмотрим некопсоръсе другие классьс фусскцссГс, интегрссрдемьссд в элемегспсарссьсг функцилт,. Как правило.
мы будем посредством некоторой подстановки сводить интеграл от расс:матриваемой функции к интегралу от рациональной дроби. Относительно указаннои подстановки мы будем говорить, что она рационализирует синтеграл от рассматриваемой функции. 1. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений. Договоримся всюду в дальнейшем символоьс )т(х, у) обозначать любую рациональнусо функцию от двух аргумшстов х и у ). В этом пункте мы докажем инпггрируемость в элементарных фусскссиях любой функции вида Л(вш т,, соя л).
(7.63) Докажем, что интеграл от этой функции рационализируется .г подстановкой 1, =-1и -". Действительно, 2 .г е ' 2 си — ' 21 ! — сй — ' 1 св вша =, =, совх = 1+ Сйв — 1+ С 1 Ч- Сйе — 1+ С 2 2 в = 2 асс)и и д:г = 2гн 1+И' ) Рацнонацьная функция от двух аргументов определяется гледушшнм образом. Рнногочденом и-й сгеценн от двух аргументов х и д называется выраженне вида Р„(х. д) = ооо + осев+ ппсд+ птах + оссхд+ осмд + т... т оъ д". с де ош, о ш, п,н,..., по — некоторые постоянные *шсша.
Рацнональной функцней от двух аргументов называется отношение вида Р„(х, СС)/сг„,(х. д), где Р„(х, д) — цронзводьцый многочтен от двух аргументов стецецн и, а С2,(х, д) нронзводьный многочден от двух аргументов степени т, 232 интеГРировлние В илементлрных Функпллу!х Гл. 7 так что Пое!кольк) рационаллная фйнкция От !зал(повальной функции п)пллингвлвст собой также. !заииональнрго фУн!силл!о, то ив гезгРеил, стоящий в правой части поц11едне!о равенства. является интегралом От рациональной д)тоби.
Подстановка 1 = (и —, хотя и является универсальной подста- 2 вовкой, рационализиругощей интеграл от функщли (7.63), часто приводит к громоздким выкладкам. В связи с чтим мы укажем несколько частных случаев, в которых интеграл ог функции (7.(!3) может бьгп рационализирован с помо!цыо других более прост!1х подстаногок.
Прежде всего отметим два злементарных свойства рашюнешьной функции двух аргументов В(и, и): 1'. Ес-еи рациональная функция Й(и, и) не меняет своего значения при изменении знака одного из аргументов (например и). т. е. если Л( — и, и) = В(и„и), то эта рациональная функция может быть приведена к виду В(и, и) = В1(и, г), где В! — некоторая рациона,льная функция своих двух аргументов. (Эта функция содержит лшпь четные степени и.) 2'. Если же при изменении знака и функция В(а, и) также меняет знак.
т. е. Л( — и„г) =- — Л(и, и), то она пртеодится к виду В(и,и) = Вг(а, и)и. (Свойство 2' сразу вытекает из свойства 1', если применить его к функции й(и, и)ееи.) Рассмотрим теперь вопрог о рационализации интеграла от функции (7.63) для некоторых частных случаев. 1. Пусть В(и, и),меиле!и знак при изменении знака и. Тогда, согласно свойстви 2'„ В(вшза сов г) де = ( Вг(вш .х, сов х) вш.с елх = = — ~ Вг (1 — сов! х, сов х)е)(сов.е). Таким образом. интеграл от функции (7.63) рационализируется подстановкой ! = сов х. П. 1!устав далее., функция В(и, г) мгилгш,знак ири измгиеиеле .знака и. Тогда, согласно тому же свойству 2', В(в!их сове) де! = / Лз(вше сов х) сов х дх = = / Вл(вшз.
1 — вш х)д(вшз), т. е. интеграл от функции (7.63) рационализируется подстановкой 1 = веп:с. (1. Пуетть наконец. функция Л(и, е) ие хлгнлееп соагга зиачгиил при пдиаеремениахл изменении знакаа и, и а, т. е. Л( — и, — и) .= В(и, х). 234 интеГ!'иРОВлние В иу!ех!ентлрных Фмнкц!11!х Гл. 7 — ~! + '2 С вЂ”,=// а 2= й аС 1 ~ соа:г -!- ь/22 2ь'2 ~ соа х — з?2 в!и х сов х 3) Вычислить интеграл /а = / г!х.
,/ вш' х + сов' т Так каь подынтегральная функция сохраняет значение при одновременном изменении знаков ьзпх и сова, то, согласно 111, следуес сделать подстановку / = !их. В резульпвге получим Г Гс!/ 1 /' с/С! ) 1 з 1 Гз = = — /, = — ахс!Е(! ) ж С = — агс!и(!Е х) + С. / /з+! 2/ (/з)аз! 2 ' 2 2. Интегрирование дробно-линейн!ях иррациональностей. В атом пупк ге мы докажем интегрируемость в злеап,нтарных функциях любой функции вида Л х, ' ' .
!7.64) где а. Ь, с и с/ некс!торые постоянные. н — люоое г!сжк! положительное число. Функцию такого вида мы будем пазыватг с)1/обно-лл//нег!но!1 иррациональное!нью. Докажем, гто иптстрал от функции !7.64) при ас/ — Ьс у'= 0 а/.:, +Ь рационализируется подстановкой 1 = !'./ . В самом де:и, ~/схд-/ с/Ь а — с р' ' !а — с/")а а ат -гЬ сх -Ь г/ так что и ~ и~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ах -!- Ь ) / / г /'с/!' — Ь „') сас/ — Ьс)п! ' 'Ч-.«( "-./ ~.-«."? /а — с/.) Поскольку рациональггая функция от рациональной функции представляет собой такжс рациональную функцию. то интеграл. стоящий в правой части посте?!не!о равенства, является интегралом от рациональной дроби, Тем самым доказано., что интеграл от дробно-линейной иррациональности (?.64) рационали:!ил ахЕЬ руотся подстановкой 1 = ~ )/сажам /' //+ Их П р и м е р. Вычис' !ить игпеграл 1 = ~ — —.
Сделав / Так как псьдьппегральная функция меняез знак при изменении знака сйцх, то, согласно 1. следуег слела|ыгодстановссу / = соах. В резулгпате полгчикс !!!!'!'Вгр!!!7оВА!!!!В !!!'рАП!!77!!йг!ып7!а в!7п7лтай!!!!7! 235 подстановку 1 = ~~7 1- = —,:; =,, !,. = 1~ + ! !-Е 17 — ! 41 71! ~/ 1 —; "' 1 —.:' !а+ 1' (1'+ 1) полу !им 1 = 2 ! „' = 2 1 Ж вЂ” 2 1,, ' = 2! — 2аг77!к!+ С = / !а+1 / / !э+1 Г+ Г~:, = 2 ~( — — 2 агс71 у; ~( — ' + С. 1 —:с 1 — х 3. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Винамиальным д71ффср77777!71алом называют выражение вида 7: (а -7- 57:")' 71х, 1, (а Е бх") 7)х (а 1 Ь.)т.,'11 "' =-!' „г ! 1' 71, (7.65) Подынтегральная функция в правой части (7.65) представляет собой дробно-линейную иррациональность ви 7а 77 (х. ъ7аач- б").
где х . знаменатель рационального числа р. Таким образом, во втором случае биномик 1ьный днфференцна.1 рационализируезтя подстановкой ! = Оса+ Ьх = /а + бх". 1'п7 + 1 3'. '1'ретий случай соответствует цс,лал7у числу ( -1- р). Подын- 77 тегральная функция в правой части (7.65) представляет собой дробно- .,) +ЬхЗ! линейную иррациональность вида 777 ". 7( , зак что ннтеграл от биномиального дифференниала рационализируется подстановкой вида ,1а+ Ьх ~)7 а ГДЕ а И Ь вЂ” ЛЮбЫЕ ПОСТОЯННЫЕ, а ПОКазатЕДИ Стсисисй П7з П И Р вЂ” НЕКОТОРЫЕ рациональные числа.
11зучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях биномиалызых дифференциалов. Прежде всего отметим 7при случал, когда интеграл от биномиального „1ифференциала доиускает раиионализирующуго иодстаиовку. 1'. Первый случай соответствует целому р, Виномиальнь7й дифференциал представляет собой дробно-линейную иррациональность вида й (г, 67х) 7(х, где г — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел п7 н и. Стало быть, интеграл от бнномнального дифференциала в этом случае рационализируется подстановкой 1 = ~/:7з 7и+1 2'.
Второй случай соответствует целому числу . С.телав по,1ста- 71 тл-1 новку = = х" и положив для кратности — 1 = у, будем иметь 71 236 ннтнг11н овлннн в элнмннтлрных функциях гл. 1 —,+Ь, х= а ,уа хо иà — Ь ,7асе17 зу(17 — Ь )а будем иметь ж С. 2) Вычислить интеграл 1 = ~ х" (1 — х' 1 7п-1.1 и = 2, р = ††,так что = 3 (второй 2' п ) 17а 71х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
