Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 55
Текст из файла (страница 55)
2) До с тат о ч и ость. Пусть функция ф(х) удовлетворяет в точке х — а условию Кои!и. Докажем„что функция ! (х) имеет предельпое значение в точке х = а. Пусть (х,,) — любая схо:шщаяся к а посзсдователы!ость значений аргумента, все элементы хп которой отличны от а. В силу старого определения прсдельпого шачепия функции достато шо доказать, что соответствующая по1шсдовательцость (1(х„)) зпачепий функции сходится к ~скогорому числу Ь, причем э со чис,ю Ь одно «, г!ю же для ш ох скодящикся к а, последовательностей (ха) таких, что х„ф а.
Докажем спича,!а еходимостг!ь г!в!бой поспедоватечьности (ф(х«)). Пусть задапо 1111«ил«опт!«е е > О. Возь>!ем то положите.тылов число д, которое соответствует этому е согласно ус !овию Коши, и, пользуясь сходимостью посшедоватсчьпоети (х„) к а, выберем для этого д номер й! такой, что 0< (хв — а,) <д при г!) й!.
При этом для любого натурального р (р = 1. 2,... ) и подавно О < (а:аэт — «~ < д при н > Х. Пос;1еднис два перавс1п:тва в силу у<шовия Коши приводят к псравеппгвч ('! (х„э р) — !(ха)! < е при и > У. т. е. доказывантг 252 ОснОВные теОВемы О не!н'е1'ыВных Фгункци!1х Гл. 8 фУНГ)с!я!в!!с!!с!гсвг!статс!в !ТО!Стог!сия!Си Исгтса () (Ггтгс)). В СИЛУ тг)!вторив Коши для пос.тсловатстьпости (т. с.
теоремы 3.19) последоватслыюстть (Е(гхи)) сходитса к некотоРомУ тис тУ Ь. Дока>ком тспсрь, по всх послсдоватслыцхти (т'(гг„)), соотвстствующис всевозможным г:ходящихюя к а постсдоватсльвостям (х„'), ил!в!оп! од!си, и твт, жгг предел Ь. Пусть (:Ги) и (х'„) — любьсв двс сходящиеся к сс посчсдоватсльцости:шачсш!й аргумспта, всс элсмсцты которых отличны от гь В силу докатапцого выше обо поглсдоватсльпости (Е(хгс)) и ()'(гх'„)) сходятся. Обозцачиы прсдсл первой из этих послсдоватсльцостсй через Ь, а второй через Ь'. Докажем.
что Ь = Ь'. Рагтмотрим скос!яп!у!Ося к а послсдоватс:тьпость ,,г . ..г ! Гт, Х!.,'Г2. ХЭ..... т . Хи.... В сиэ!у дока сап ! О в! Ввс гоотвс:тствуюпсая посслс:доватс'гтьцог:ть значсН функции ,г (х1), ! (Г1). г (12), т (тэ). ° .. г (Ги). э (г! и)' ' ' ' является сходящейся. ЕЕО тогда в силу п. 1 2 4 гл. 3 все подпослвдэватсльноспиг, этной гиклгдоваптвльностн, в том чпс"гс () (х )) и ) Е(гг'„с)), сходятся к одному гт, тому эке пределу, т.
с, Ь = Ь'. Тсорсма 8.2 доказана Ацалогично формулируется ус ювис Коши и устанавливается цсобходимос и достаточное условие существования прсдсльцого тначспия функции Е(х) при:Г, — э +сх: и при .à — э — оо. Ограничимся фо)эм)гц!РОВками дл5! с"1у'!ая х -Э +ос.
Ьудвм гово)и!гаси "ипо фугскцтся ф(гг) удввлг!Гав!!)!яств, врн и -7 -э +ос услвсиио К!то!!с. если для любого пвложигтвльного савла г найдется гтгтлгтэкгтгпюсьгсгтгт "шсло А и!аког. "ств для ллвбьсх двух значтсий агргулсвтста х' и, х". 7177гтгтгтстгтдяга!тсх А. па)хсвкс)ллг; вэ 'нерва!си!:ггсво ! г (гг; ) — э" (ггт ) ! ( г В полной апалогии с тсорсмой 8.2 доказывается слсдующсс утвсрждсписг дгся !ного чтобьс функция Е(гх) имела коне снгтг! с!ус!даль!с!!с! зьилчвнгав ира э: — 7 + х.
необходимо и дгтстгсатгточнгт, чгпгтбьс вна удгтгсл~.*тгтгтгтрягга гсртс х — + +~ угловато Кот!ив,, й 2. Локальная ограниченность функции, имеющей предельное значение В посццтм гоотвстствии с определением мпожсства вещественчис:с;с, Ог)тапи юп!юго г:всЕтху (с:пиз)) ), вводом ттоиятис функции. Ограниченной тса дасиитм лосххжсьттвв свсрху (сшиу). Определение 1. гуункцтгя 2"(гх) называется о г р в, и и ч в ни о й с в в р х у (г: н и з у) на лсногэкегттгтве (х). сваи найдется ') См. и.
5 Е 1 гл. 2. локйльнля ог1 Атн1чуйтноогь еь нкции 253 с>>>аког> ветествгн>ше числа М (числв тп), чта для всех значенийй аргулленггсп х пз мназ>сеспгвп (х) г>п1>пвг>г1>>гг>вг> тйхии.пгттвг> у'(гс) < >М (т" (гс) > и>) При этом пп ло М ("ппло ги) называется верхней (нижней) гранью функции ((гг>) па ъшожествс (х). Определение х.
Функц>гя г'(.с) ттальггг>егпся огрпнпчепнагл с обеих шпор>ан тгла >грег:тпа о г 1> и н ц и е н тт а а на, мнг>ааль сптг>е (х)> г.слтт о>гп аграгш гвт>а, нп атас>м м>тг>сюгегаг>г> ц г>г>враль т>, сн>юу. т,. е. егли найду>тия такие веьцесптвенньсе ч»ела, и> и М. "тита для всех знпченсгй аргумента а: е>з мггтг>а>еег>гпвг> (х) ст>уаг едливы нера>>еттства т, < г>(гх) < М Так»кт об1>агзоьт, ограпичстгиогтт фзпткции т'(гт) па мпо>кссп>с (х) фактически означает ограцичсштость множества всех:шачсиий этой функции.
1 П р и и е р ы. 1) Фупкция т (х) = вес х = — па полуссгмсисоа х те (О. к>г>2) сверху цс ограничена, а снизу ограничена (в качестве нижней грани может быть взято любое чицгю гп < 1). 2) Функция Дирихлс ') ограничена с обеих сторон на любом сстмептс [г>„Ь] (в качестве тттзжнетй грани можно взять лк>бое число кп < О, а в качестве верхней грани лгобое чиггто М > 1). 7еореми Ь'.о. Ег»т функция, г'(х) имхвтп коне гное предельное внпчгнпе в т>и»ке;г = а.
гвг> сутцг>г>тг>вуг>ггт, нг>кг>>>таях>я б-г>крг>стт>нг>стаь пи>чка ц ~), пгпкгпя„чп>х> для. всех .значен>и>, аргумента п;> укавтн>г>й б-акресптг>спи>т функция г'(гт>) агрпшл">епа,а), Д о к а > а т с л ь с т в о. Пугть Ь = 1>тп ((х). Сост>асио новому опреде,лецию предельного значения функции, для некоторого положите.льпого числа е найдется положительное э>тело б такое, что !) (гг>) — Ь ! < е, как только О < !х — г>~ < б. или Ь вЂ” е< )'(х) <Ь+е.
как только а — б<х < и+б и:с~а. (8.3) Если значение х = а не входит, в область аттределен»я функции, то теорема доказана (пбо неравенства (8.3) означают, тто для всех значений аргумента х из б-окрестности точки а значения функции у(гг>) заключены между Ь вЂ” е и Ь+ е). Гизи же функция у(гс) определена, и прп х = а и принимает в точке а пекоторос зпачглтис у'(г>). то. обозначив через кп ) Напомним гш функциеа Днрг>хлс называется функция, равная еципипс для гсех рациональных значений атнуисгпа и нулю в,чя всех иррапиональных значений аргумента. Напомним, ч>о 6-окрсшпшн тыо >печка о называется ингерваа (о— — 6, а -1- 6). где 6 > О. ' ) 31ы не исключаем > лучах, когда функция у = Пх) задана на неко> ором множестве (х), не загтолняюшем сплошь никакой 6-окрестностн точки о. 234 ОснОВные теОРемы О не~1'е1'ыВных Функнне(х Гл.
8 наименьшее из двух пн:ел (6 — е) и «(а). а ЕЧ наибольпн(е из двух чисел (6+ е) я «(о), можно извле !ь иэ неравенств (8.3) ("нзду10щие и(!1заВ(знстВа: т < «'(х) < ЛХ, как только и, — с! < х < о, + (1. Нос„к(депп( не1111вепстпй о:!нй'!йюг, что функция «(х) ограничена всюлу в б-секрес!тиос!те! гочки а,. Теорема доказана. Иллюстрацией к теореме 8.3 может (щужить 1зис.
8.3. Замечание. Свойство Рис. 8.3 фу нкции у( тае1аВ.1иВй( мое теоремой 8.3, называют локальной ограничение!стью функции., ихикнцей предельное значение. Следстпаие из тпеорелсьа 8.3. Если функцпя «(;с) непрерьп!на в точке х = ач то зта функцс(я ограничена для, всех значений иргусиенпш из некоторой б-окрестносепи п!о (ен( а. (Непрерывная в точке х = о, функция име((т в этой точке конечное предельное значение). 8 3. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции Теорема 8.4. Если функция, «(х) непрерывна в точке х = а а, если «(а) ~- .О, зпо су(цестпвуеп( такая б-окрестность точки сл, '(п(о для всех з!(ачен(нс аргул(ентпа из указанной б-сскрестности функция, «(х) не обраи1ается в нуль и имеет, знак, совпадаюи1ий со хнакол( «(а).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция непрерывна в точке а, то существует 11ш «(т:) = 6, причем 6 = «(а) ф О. хза ' Согласно новому определению преде.:Еыюго значения функции, д.(я л(вбого е ) О нййд((тся Б ) О тйкое, что 6 — < «(х) < 6+, как только!) а — 6 < х < а+ Б. (8.1) Возьм((м В к;Е.н:ство с положителс.но(1 чи(=н1, удовлетво1зяю(це(1 требованию е < )6!. При таком выборе все три чин!а 6 — е, 6+ е и 6 будут одного знака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
