Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 57
Текст из файла (страница 57)
[а, 1)] всюду полОжительну1О (]))нкци1О 1 .7-7(. ) Тйк кйк знамена!ель М вЂ” 7" (х) н(. Обрйшаетсе| в нуль и непрерывен на сегменте [а, 6], то по теореме 4.2 функция Г(х) также непрерывна на сета|сите [а, 6]. В таком случае, сся)ласно теореме 8.7, функция Е(х) ограничена на сегменте [а, 6]., т. е. найдется |юложительное число В такое, что для всех:1: из сегмента [и, 6] 1 Е(х) — < В. По<|леднев неравенство (с учетом того, что М вЂ” ! (:г) ) 0) можно переписать в виде ф(х) < М вЂ” —.
и Паписанное соотношение, справедливое (|ля всех точек х из сегментй [<с,б], противор<гчит том1, по |игле М явля('гся ТО|НОЙ верхней |ранью (наимень<аей ив всех верхних граней) функции Г(:г) на сегменте [а, 6]. Полученное противоречие доказывает теорекгз 3 а м е ч а н и е 1. Для интервала и полусегь(ен)а утверждение, аналогичное теореме 8.8, не имеет места. В самом деле, в замечании к теореме 8.7 (см. З 5) мы привели пример <[)ункции, ншй)<)рывнОЙ нй инв ерванде (|юлус(1| м<|нт<!) и не яв,|яю|ц(ейп:я нй нем огрйпи.Ею|НОЙ (у тйкой| ц)уескцни точнйя верхняя (и„!и ниже1яя) Грие!ь н<г толькО н() дОстиГается, нО даж(1 Е1Е СУЩЕСТВУЕТ! ) .
3 а м е ч а н и е 2. По(сле того кйк доказано, что функция 1 (х), непрерывная на сегменте, дос) игает на этом се|мен| с своих точных верхней и нижней грйн<а|, мы можем нйзвйть точную всрхнкио грань максимальным хначением, й точную нижнюю грань лс(и<имад((м(ьсм значе|иссм функции с(х) на этой| с:егмепте и сформулировать теорему 8.8 в виде; )сепрерьсв)с<!я на сегмснтс 260 ОснОВные теОРемы О нГП1'ерыВных ФтнкЦН11х Гл. 8 функция имеспс иа этом с(гменпссс макяпсмальнаг. (л минимальное значенил ) 3 а, вс (. с а н и (с 3.
К пк"с) д)зугих спейс~~ ф) нкс(ии, н(лп)за)зывной на с(сгасент(., относится свойство., называ((мое р(л(с(с(смерной непрерывностью. Это свойство мы изучим в () 4 гл. 10. Здесь ъсы лишь отметим, что весь материал пп. 1 и 2 8 4 гл. 10 может быть прочитан непосредственно в(ьсед за материалом наст(нищего параграфа. й 7. Возрастание (убывание) функции в точке.
Локальный максимум (минимум) 1. Возрастание (убывание) функции в точке. Будем предполагать, что функция у(х) определена всюду в некоторой окрес:тности точки с. Определение. Товорятт что функция )" ((л) в о з р а с т, ае т (у б ы в а е пс) в т о с к е с, если найдется и(акая окреспсносгпь (почки, с, в пределах которой 1(х) > 1(с) при х > с и 1(х) < 1(с) при лс < с (1(х) < < 1(с) 'айпи .'1: ) с 7( 1(.'Г) ) Г(с) у слрс(л х < с) .
На рис. 8.7 изображена функция, во:срастающая в точке с и;бьлваловрся в ~~~~~ д. Установим даст(ипочное ус; .левис (созраспсания, (убьсв(лсс(ся) с и х функции 1(х) в точке с. Теорема о'.у. Есллс функ- ция у" (х) дифферснцируема в ссисчке. с и, ) (с) > 0 (~~(с) < 0), то зта функция, гтзрасспает (убывает) в точке с. Дик аз а 1 е.л ь с л во. Д()каж(зм т(со)и,м) для с (1'гав 1 (с) ) > 0 ((Глучай 1'((:) < 0 ра(х:матривается совершенно аналогично). Поскольку ~с( ) 1. 1(х) — 1(с) сг",с,с-с !1 1( Отметим, что и разрывные на некотором сегменте функции могут иметь на э гам сегменте максимальное и минимальное значения.
Так, например, уже известная нам из 1 1 гл. 4 фупкпия Дирихле 1. если х рационально, у =- О, если г иррациопалыис, разрывна в любой точке лсобого сегмента (о, 6), но имеет на этом сегменте максима.сьное значение, равное единице, и минимальное значение, равное нулю. 'г 7 261 то, по новелыл опрдгдггле",ниле предельнлггег зна ленин фг нкглии, для любого г > 0 найгдется положительное б такое, что «'(с) — е « ' ' «'(с) +г при О < !х — с~ < б. (8.5) Возьмем в качестве г положителыпх.
число, мегцыпе*е «(с). Тогда «'(с) — г > 0 и, слало быть, из (8.5) ПОЛУ П1М у «(') > 0 при 0 < ~х — с~ < б. (8.6) г: — с Из (8.6) е;пгдует, чло всюду в б-оклгесплности точки с «(х) > «(с) при:с > с и «(х) < «(с) при х < ел Возрастание' функции «(х) В тОчке! с докалано. 3 а м е ч а и и е. Подчеркнем, что плгллоэгсглтелг.ность (етлрицитнльнлгсть) производной «'(с) не является необходимым, условием возраствнлля, (убывинпл) фуикгуигл «(х) в ггю яке с. В ка'и'.стве'. приллера укажем на функцию «(х) = хз, кеггеглгая ВОз1)гге"гелегг в '1о Тке! 11 = 0 п тем Рис.
8.8 не млгнес имеет в этой точке производную «'(0) = 0 (график этой функции изооражен на рис. 8.8). 2. Локальный максимум н локальный минимум функции. Пусть снова функция «(х) определена всюду в некоторой Ок~)Е."171110СТИ 10 1КИ С. Определение. разорят,, что функция «'(х) имеепг в точке с локальный максимум (минимум), еслглнаглдетсл гавкая, окрестносгиг точки с, в пределах которой значение «(с) яевляется, нииболыиим (наглменьгллгллл) среди всех зничтплй этой фупк- у ции Касательная На рис. 8.0 изображена функглпя «(лх), лгмелощая локальный гаксиыум в точке с. Локальный максимум и локаль- О с х ный минимум объединяются общим названием локальньлй эк- Рис.
8.9 с т. р е лл у м. Установим необходиллое услов ие экстремуми дифференцнруе мой функцлпг. Теорема 8.10. Ясли функцгля, «(х) дифференцируеми в точ; ке л: и имсепл в этоил то лке локальный экстремум. то «'(с) = О. 262 ОснОВные теОРемы О нец1'Е1'ыВных Фун1(Циях Гл. 8 Д О к а з а т е л ь с т в о. Так как функция ф(х) имеет локальный экстремум в точке с, то ф(:г) нс может в этой то пи! ни возрастать, ни убывать. Стало быть, в силу теоремы 8.9 производная Х'(с!) не может быть ни положительна, ни отрипательпа, т. с.
Х'(с) = О. Теорема 8.10 имеет простой геометрический смьн и она утверждает, что если в точке кривой у = Х(сх), которой соответс!вует локальный экстремум функции 1(ссс), .существует касятсльная к нэяфикб функции у = Х(ег). то э!я кис янльная параллельна оси Ох (см. рис. 8.9). 9 8. Теорема о нуле производной Т еорема 8.11 (теорема Ролля')).
Пуспсь функции, Х(х) неп17срьсвна ни сегменте. [а, 6] и диффсреньссруема во всех внуспренних тасках этого сегмента. Пусть, крома пюго, Х(сс) = = ф((!). Тогдс! внутри сегменпса [о,. 6] найдется, точка ~ тсскиеб сто значение производной в эпюй точке Х'(С) равно нулсо. Краешке! можно сказать, что между двумя равными значениями диффереш!ируемой функции обязательно лежит нуль производной этой функции. ь1 о к а ! а т е л ь с т в о.
Так как функция Х(сх) непрерывна на сегменте [а, 6], то, соглеи:но теореме 8.8. эта функция достигаесп на этом сегьсенте своего максимального значения ЛХ и своего минимального значения т., сМогут представиться два елугяя: 1) ЛХ = псл 2) ЛХ ) сп. В ссучае 1) Х(х) = ЛХ = Еп = = сотый. Поэтому производная Х'(сх) равна нулю в любой и!очке сегменпси [о,.б]. В случае ЛХ ) т„поКасательная скольку Х(с!) = Х(6), можно утвсрждать, что хотя бьс одно из двух знячсний ЛХ и;1и 77! дос:тигае!те:я фу пкцис.й В некоторой тсутренней точке б сегмента [сс, 6]. Но тогда функция Х (:г) имеет в этол точке ~ локальный экстремум.
Но- скольку функция Х(х) диффс;ренцируема в то'1ке". ь, ГО ИО тес(7111!ыес 8.10 Х (ь) = = О. Теорема полностью докжиша. Теорема Голля имеет простой геометрический смьпьп если крайние ординаты кривой у = Х(сх) равны, то, согласно теореме 1'сслля. Иа кривой у = Х(х) найдется точка, в кото1!Ой касателсная к кривой пярал:и!льна осп Ох (рис. 8.10). Кяк мы увидим ниже, теорема Рс!лля лежит в основе многих форм~'.1 и тео1и!и мятематиче!с'кого е!Иас1иза.
') Мишель Рояль — фршепузскис! математик (1652 — 1219). еогмьля кони рных|и иглщвний 263 9. Формула конечных прира|цепий (формула Лагранжа) Большо» зна цип|е в анализе и его приложениях имеет (шедующая теорема, принадлежащая Лагранжу ). Теорема В.гхс' (теорема Лагранэсса). Ьсли функция 7(х) непрерывна |са сегме|тю [и, 6] и <сиффсрессцирувлса во всех внутренних точках этого сегмента, псо внутри сегмента [а, Ь] на(7(се(пся, точка чс такая,.
сп(п с(7(аве(Ь((с(эа формула 1 (!2) — 7(и) = ! (с)(!2 — а). (8.7) Формулу (8.7) называют формулой Лагранэюа или формулой к(22(вчс(ьс(г щсира(!1(22(21(с. Д о к а 3 а г е л ь с т в о. Рассмотрим на с(|гменто [изб] ( и:ду ю1цую вспомОгательну 1О фу нкцию: 7г(х) = 1" ((12) — 1'(а) — (.г — а). (8.8) Проверим, |то дл21 функции г'(х) выполнены все ус|овна теоремы Ролла.
В самом деле, г'((г) непрерывна на сегменте [а, 6] (как р юность функции 7'(х) и линейной функции) и во всех внутренних точках сегмента [а, (2] имеет производную, равну|о Р((т.) ф((х) 7(6) — 7((с) Из формулы (8.8) очевидно. что Г(а) = 7г(!2) = О. Согласно теореме Ролла внутри с(сгал<."Нта [и,, 6] на.йдется точка ~ такая, что 6"(О=Х'В-"') „"и) =(!. (8.9) Из равенства (8.9) вьггекает формула Лагранжа (8.7). Подчеркнем, что в формуле (8.7) вовсе не обя|ательно считать, что 6 > и,. 3 а м е ч а н и е.
1!ы получили теорему Лагранжа как (:|едствие теоремы Ролла. Заметим вместе с тем, что сама теорема Ролля является частным <лучаем теоремы Лшранжа (при У(а) — У(6)) Лз(я выяснения геометрическ<но (мьн|ла 1(оремы Лагранжа 7(12) — 7(о) заметим, чтО вели.1ина есть угловОй кОэффициент сс- 6 — и кущей, проходящей и;ре:1 точки А((с, 7(и)) и В(б,ф(6)) кривой у = 7'(х), а ~'(~) есть угловой коэффициент касатильной к кривой у = 7(х), п!эоходян|<ей *юр<з то |ку С(~, г(~)).
Фо!и|ума, Л|1- гранжа (8.7) означает, что на кривая д = 7(:г) ыежду точками А ) Жозеф Луи Лагранж великий французский математик и механик (173б — 1813). 264 основныв твоввмы о нвнгьи ывных ех нкциях гл. в и В нййдется тйкйя точкй С, кйсйтсльнйя в которой паров>л«с>ьнй секущей АП (рис. 8.11) Часто бывает удобно записывать формулу .,1аграпжа в виде, несколько отличном от (8.7). 11угть «Ог) удовлетворяет условиям теоремы 8.11. Зафиксируем любое хо из сегмента (а, Ь) и зададим ему приращение >ах пр»из- >р В вольное, ен> т,>кос, чтобы .>Нйчснпь (хо+ Ф", + >1х) также лежало нй сегменте [а, Ь). Тогда, записывая формулу Лагранжа для сегмента (хо, хо + >лх1, будем иметь «(хо + Ьх>) — «'(х;о) .= >>сц«'®, (8.10) о а э Ь х где ч н>>кото1>йн точка, леокйщю> между хо и хо + Ьх.
Можно > тверждать. '>то >шйдвп>ся и>аког (;>йвисяпии> от >'>х) число й из интервала, 0 < д < 1, что 8 = хо + 0Ьхс Таким образом, формуле (8.10) можно придать вид «(хо + з>х) «(:хо) = стхП:>:о + и>зх): (8 11) где й — некоторое чис»о из интервала 0 < й < 1. Формула Лагранжа в виде (8.11) даст точное выражение для прира>пения функции через вызвавшее его произвольное конечное приращение >ах аргумента. Этот вид формулы Лагранжа оправдывает термин «формула конечных приращений>е 'й 10.
Некоторые следствия из формулы Лагранжа 1. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную. Теорема 8.10. г"сл» функ»ия «(т) диффврвний>ру>вма на интервале. (а, Ь) и если всюду на этом интервале «'(х) = О, то функция «(т) является постоянной на инп>ервалв (а, Ь). До к аз а тельство. Пусть:го -" некоторая фиксированная точка интервала (а, Ь), й х любая то >ка это>о интервала. Сегмент (хо,>ь) целиком щ>инадлеж>п интервалу (а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
