Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 61
Текст из файла (страница 61)
приблиаюенно во!числить с()ункс!))ю 7" (х). Ес:тепгвенно г!риближонно замп нить 7'(х) многоч))оном с))(х, а) и шсленно оцешсть следапную при агом ошибку. Наряду с этим встречаются задачи. и которых нас интересует не пн:ленная ве.шчина указанной ошибки, а,лишь порядок ее относи)тель)со малой неси«кисни (х — а). Для этой шли удобна другая форма завис:и ос:)атон))ого ч;)сна (так называет)ая форма Псано')), к устин!)гтсс;испо которой мп) и перс. ходим. Пусть функ!!пя !'(х) с)меен) производные до порядка, (и — 1) о нексппорой окрес)га)сос)н)с) тонки а и п7)ос)яеод)11рю поря!)ка и, е самой то'ске а.
Обозначим, как и выше, символом П, ес(х) разность функции 7'(х) и многочлена (8.35) и докажем, )то для По 1(х) справед.1иво сх)едующе'е. раве)н:тво П,еь)(х) = окх - сс)"). (8.48) Эсо посте,снсе равенство и называю) остаточным членом, предспспленным в у)орало Пешсо. '1ак как прн слет)анных нами предпо))он!си)сях многочлен (8.35) и его п1)оис)водные до порядкс) т) включите:)ьно с нападают ') Джузоппе Пеано — нтазьянекнй матоматик (1888 — 1932). 280 ОснОВные теОРет1ы О ЦГЦ1'евывных Фтенкци11х Гл.
Я в то пге х = а соответственно с функцией 1 (х) и ее г1роизводнымп, взятыми в той же то"1ке х = ах то справедливы равенства Ва Г1(а) = О, 1!а . (а) = О...., .Йа ! (О) = О, 11„,(а) = О, (8.49) и нам о!тается доказать, что из равенств (8.49) вытекает представ.нише (8.48). Для этого достаточно с помощью равенств (8.49) доказать, что 1пп '"' ( ) = О. (8.50) х-1а (х, — а)" Так как каждая нз функций 11а.гг(х) и (х — а)а дпфференцируема (и — 1) раз всюду в некоторой окрестности точки см справедливы равенства (8.49) и любая щ1оизводная функппи (х — о)а до порядка (и — 1) вклк1чительно обращается в нуль т о л ь к о в т о ч к 1 а, то для раскрытия неопределенности, стоящей в левой части (8.50). можно (н — 1) раз посшедоватгльно применять теорему !1опитяля 8.17, в результате чего мы полу шм — о 1пп '" " = 1шг "е ' =...= 11ш '+ ". (8.51) Х вЂ” 1а (Х вЂ” а)а .Х-~а Н.
(Х вЂ” а)" ' Х-1а а!(Х вЂ” а) Учитывая щ1едпо1шеднее равенство (8.49), мы можем переписать (8.51) в виде наа1(х:1 1 ' ~ -~-1 (х) ~ -1-! 00 1ш! " = — 1пп т — ~а (х — а)" и! х а х — а ТаК КаК ПрОИЗВОдлая Ла,, (а) 1ТШЕСтВуст И В СИЛУ ПОСЛЕДНЕГО (а) соотношения (8.49) равна нулк1, то предельное зня"!ение в правой! части последнего равенства существует и равно нулю, что н завершает доказательство равенства (8.50). Тем самым вывод представления (8.48) заверни н. Б зак11к1чен1к'. Зяпиш1'.ы НО:1ностью форм1лу ТейлОря с Ос1Я- точным 1!Пном в фОрме Пенно 1)( 1'(х) = Г'(а)-е ™ (х — а)-е...+ (х — а)а-1-о[(х — а)а). (8.52) 2. Другая запись формулы Тейлора.
Част!1 зшпк:ывак1т формулу Тейлора (8.33) в несколько ином виде. Положим в (8.33) а = хв, (х — а) = !ах и возьмем остато шый член в форме 21агрянжа (8А6). При этом х = хе + Ьх, и мы получим Лх.+ х)-ах.)=":";") х+"',"( х)'+ уы~(ха) ( а ) . ум ' 1(ха + !!Гаям) („~, )аа ! (8 . 3) 711 (11, + П! оиинкл оотлточного члипл 5 15 (Здесь г! некоторое число нз интервала О < 0 < 1.) Формула Тс'йлора (8.53) является естественным обобщс пнем формулы Лагранжа (8.11) (см.
8 9). Формула Лагранжа (8.11) получается из формулы (8.53) в частном сс!учае и, = О. 3. Формула Маклорена. Принято называть формулой ЛХнклоренп ') формулу Тейлора (8.33) с пентром в точке а = О. Таким образом, формула Х!аклорена дает представлечше функции в окрестности точки х = О. Запишем формулу маклорена для произвольной функции Е(х) с остаточным членом в форме Лагр шжа, Коши и Пенно Я): )(х) = Е(О)+ Е (, )х+ Е,( )хе+... + Е,( )хв+ЕЕвс!(х). (8 54) 7 7.
где остато !ный член имеет вид: 1) е фо)»се Лаг)ншжа .»Ес Лосс(Х) = ",Е(о' ')(0Х) (О < 0 < 1); (855) 2) в фсзрме Коши!) ""1 — д" ( ) 7 ( ) 7 ( в + П ( 0 ) ( О < 0 < 1 ) ( 8 г б ) 3) в фора!!с Пенн!! Всс Гс(Х) = О(Хв). (8.57) (Мы использовали формулы (8.46), (8А7) и (8.48).) Перейдс.м к оценке остато шого члена в формуле Тейлора Маклсзрена. к отыскан!по разложения по формуле Макло)эена важней!них элементарных функций и к рассмотрению различных приложений .-этс7й формулы. 8 15. Оценка остаточного члена.
Разложение некоторых элементарных функций 1. Оценка остаточного члена для произвольной функции. Оцсспим для пронзносгьной Функции ф(х) Ос',таточный член в формуле Маклорена (8.54), взятый в форме Лагранжа (8.55). ') Колин 51аклореп английский математик (1698 1746). при атом предполагается, что П,с:) имеет в окрестносги точки к = О (и, -Ь 1)-со производную, а для остаточного члена в форме Пеано — в окресиюсти точки 7 = О (и — 1)-ю пронзво.Сную, а в самой точке:г = О и-ю производную. з) Еще раз подчеркнем, что значения Сс в формулах (8.55) и (8.56).
вообще говоря, разли"шм. 282 ОснОВные теОРе\1ы О нГП1'ЕРыВных ФУЦ1(Циях Гл. 8 Прг.дположим, что ргк;сма 11)ива()мая «амп фу нкцня Х(х) облалаг т г)ледующим свойством; стшесп)вуен) от)кое вещественное. число ЛХ. чапо длл всег номеров и и дгя всех г)наченг)й аргумента х иг) 1нхсмвл)риваемой г)крестгноглпи точки х = 0 сг)Х)г); ведливо неравеналпво ]Х(а)((1:)] < ЛХ. (8.58) Функцию, обладающую указанным свойством, будем пазы- вать г))унк)(ие)1, совокупность вгюх производных котораи огракиичена, в окрас)пносгп)г, п)очки х = О. Из неравенства (8.58) выт(каг-"), что ]Х('0(дх)] < ЛХ, (8.
59) и поэтому из формулы (8.55) следует, что ]Ла,(х)] = "',] Х(а")(Ох)] < ЛХ ]г)] Итак, мьг получаем следуюи) ую универсальную оценку ос)пата")- ного член)), для, гоункг)г)1), совокуггносьпгь всех производна)х коп)арой ограничена, числом ЛХ в г)крестнос)пи точки х = 0: е) ]Л„,,(хп < ЛХ ]'] ',. (8.60) Напомним, что при любом фиксировашюм х 1пп ]] =0 а — )х (и -1-1).' (см. пример 3 и.
3 з 3 гл. 3). Отек)да вытекает, что, выбирая достаточно большой номер ггв мы можем сделать правую часть (8.60) как угодно малой. Это дает нам возможность прим(нять фг)рмул! Маклорена для приблн)кч"пно)х) выпи):л()ння функций, обладающих указсошым свойстьом, с любой нашред 'Заданнгн) точность10. Приведем примеры функций, сг)вокупность всех производных которых ограничена в окрестности точки х = 0: 1) Х'(х) = е", )'(п)(х) = г с совокупность вс(.х производя),)х э) ой ф) нкцпн ограш)чг на на л)обои сегменте ( — г, г] (г " О) лом ЛХ = е'.
2) 1(;г) = сг)н:г нли ! (гг)) = в)па. Совокупност) всг'.х прги)звг)дных каждой пз этих функций ограничена всюду на бг сконечной прямой чиго)ом )гХ = 1. 2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. А. Х(х) .= е". Поскольку 1'(а)(х) =. е'"', ХО) (0) .—.— 1 для любого и, формула Маклорг'на (8.54) нмг от вид Ех = 1+ — „", + 2, +...
+ — ", + Лвт1(Х). (8.61) 283 оцкнкл оотлточног о члннл гдв остаточный члСн в форме Лагранжа 1)авен , » -(-1 Ки. (х) = ™~, еа* (О < 0 < 1). На любом сегменте (--и. +и) (и > О), в силу того, что ~еаг~ < е", псщучим следующую опенку для остаточного члена: (8.62) Б. )'(х) = ейпх. Поскольку )' " (х) = вш (х + и — и')~, (), 2 ( ) . и 0 при четном и. У (О) = юпи — = ( — 1) в при нечетном и,. формула Маклорена (8.54) имеет вид ,з, в 1 †х" вш х .= х — — ' + —; — —" +... + ( — 1) -' — ' + Ви ~ 2( а). (863) 3! 5! 7! и! где и нечетное шало, а остаточный член в форме Лагранжа равен Ли-, 2(х) = в(н ( их + и,— + я) (и+ 2)! (, 2 (0<0<1).
Очевидно, что на любом сегменте ( — и. +и] (г > О) для остаточ- ного члена справедлива следующая оценка: )Ли-~-2(Х) ~ ~~ (8.64) В. )" (х) = сов х. Поскольку )(и)(х) = сов (х+ и — "1, 2/' (и) и 0 при нечетном тм )' " (0) =:„, „ ( — 1) -' при четном и,, формула Маклорена (8 о4) ~~~в~ енд гг,,в,а сов х = 1 — —, + —, — —, +... + ( — 1) в —, + 14ив.2(х).
(8.6о) где и, — четное число, а остаточный член в форме Лагранжа равен «-в Ли.е2(х) = 'Г:;(Ох+и + -) (0<О< Ц. (и-ь2)! ~ 2 На любом сегменте ( — и„+г~ (г > О) получаем для остаточного ч;и'на оценку (8.64). 284 ОснОВныи '1ВОРемы О ниц1терывных Фзун1(ци11х гл. 8 Г. 1'(щ) = 1п(1+ я:), Поскольку при н > 1 У[")(::) = (-1)'-' '" "', У(О) = О. УОО(О) = ( — 1)"-'(, — 1)), (1З т)а~ формула Маклорена (8.огй) имеет вид з 1п (1+:г) = щ — —, + — '; — — *+...
+ ( — 1)о' ' — + Лаы 1(щ) (8 66) 2 3 4 и Остаточный член на этот раз запишем и оценим и о форме Ла- араззжо,, и в форме Коиззз: т1 Лотз(з:) = „, (в форме Лагранжа), (8.67) ( +1)(1+рт)"з' Ф тз(щ)~ <, „,. (8. 69) Г)з оценки (8.69) очевидно, что для всех щ из сап мента О < щ < 1 Лот~(щ) э О при п — а оо. Оцепим теперь функцию 1п(1+ т) для отрицательных значений щ из сегмента — г < га < О, где О < и < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
