Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Для этого будем исходить из остатсзчнсьго члена в форме Коши (8.68). Перепишем этот остаточный член в виде Ли 1(га) = (-1)" ( ) . (8.70) Принимая во внимание, что для рассматриваемых значений щ 1 — е < 1, и переходя в формуле (8.76) к модулям, будем иметь 1 -'; Ря е1 Ф'-и(щ)~ <," (8,71) '1ак как О < г < 1, то оценка (8.71) позволяет утверждать, что!1ш Ло„, — О. ' ) Еще раз отметим, что а формулах (8.67) и (8.68) значения д являются, вообще говоры, различными.
Лае1(г) = ( — 1)ищ"т, ) (в форме Коши). (8.68) (1-~- дя)" т' Для оценки функции 1п (1+ щ) для значений щ, принадлежащих сегменту О < ги ( 1, удобнее исходить из остаточного члена в форме Лагранжа (8.67). Переходя в формуле (8.67) к модулям, получим для всех га из сегмента О ( щ < 1 285 ! 16 П!'1ЛМЕРЫ ПРИЛОЖЕИИ11 ФОРМУЛЫ З!ЯКЛОРЕ!!А Д.
)'(х) = (1+ х), где о — вещественное число. Поскольку з'(п)(х) = а(о — 1)... (н — и, + 1)(1+ х)" "', ~!п)(О) = о(о — 1)... (и — и. + 1), формула Маклорена (8.54) имеет вид (1+ )а 1+ о + а(о — 1) 2+ 1! 2! а(о !)'''(о и+Ц а Л (х) (872) а! где остаточный член в форме 1аграпжа равен (, ) (и ) (~ ) (1 ! Ох)о — (е 1)тле! (О ~ () ~ (и е 1!) (8.73) В частном «лу !ее, когда а = в -- целое число, Л~Р1(х) = О, и мы получим известную из элементарного курса формулу бинома Ньютона Если нужно получить разложение не двучлена (1 +:г)"'„а двучлена (а+ 2:)", то можно вынести а" за скобку и во< поль:зоваться формулой (8.74). При этом получим (.+х)п = и" (1+-')" = ."~1+ — ",(-*)+и(",, "(-')'+...+(-') "~.
Таким образом. общий случай бинома Ньютона является частным случаем формулы 51аклорепа. Е. !'(х) = агс1'8х. Можно убедиться в том, что О п)>и четном и, ( — 1) 2 (и — 1)! при нечетном н. Таким образот!., формула Маклорена (8.54) с остато !ным членом в форме Пеано (8,5?) имеет вид агс!8 х = х — — + — — — '. +... + ( — 1) ! — + о(х"). 3 5 7 п (Здесь и -- нечетное чи!ло.) Е 16. Примеры приложений формулы Маклорена 1.
Алгоритм вычисления числа е. В и. 4 3 3 гл. 3 мы вве15п ли пило е как предел 1пп (1+ — ) и получи.ти для е грубую и-~ж ( и 286 ОснОвные '1еОРех1ы О н1'п1'ерывных Фун!(ЦЦЯх Гл. 8 оценку [(аь формулу [3.7) из гл. 3) 2 < е < 3. Теперь мы укажем, как вычислить чи(гю е с любой интересующей нас степенью точности. Воспользуемся формулой Маклорена [8.61) и оценкой остаточного члена [8.62), положив в этих формулах:г = г = 1. Получим е = 1 + — + — +... + — + Лн.ы [1). 1 1 1 1! 2! и! [8. 75) где [лт.!1[1)[ < [ ',), < [ ' 1),. [8. 76) Выбирая в формулах [8.75) и [8.76) достаточно болыпое и, мы можем оценить с помощью этих формул чпсыо е с лкзбой интересуюп1ей нас степенью точнос;ти.
2. Реализация алгоритма вычисления числа е на электронной машине. Указанный в предыдущем пункте алгоритм вычисления пцла е лагко реализуется на электронно- вычислительных машинах. Мы приведем результат вычгнгзения чшла е по формуле [8.75) при и = 400 на электронно-вычис:яительной машине БЭСМ-6 ). Вычисления велись с 600 знаками после запятой. г Для читателей, знакомых со стандартным алгоритмическим языком АЛГОЛ, приведем записанную на этом языке программу вычислений: Сггслиима Алгол — БОСЯ|6, вариант 10 — 19 — 69 Ьеиш !пгекег г, с. р, и, т: ш!екег агтау а, Ь. с [О: 601[; ш: 400: шаг [39, оО, 39.
10. О, 0); в[О[: 1;Ь[0[: 1: Гог г: — 1 всер 1 ппВ1 601 с!о а [г[ г — Ь [г[: — в [г[: — 0: Гог и: 1 вгер 1 пп11! га, с[о Ьек)п Гог г: —. 0 вгер 1 ппг1! 600 с1сг а[с[:. Ь[г[:с: . а[0[; гог г — 0 вгер 1 пгг11! 600 с!о Ьек1п Ъ [г[: .= с сг а: с, = [с — и) х Ь[г[ х 10 Ч- а(г Ч- Ц еггс! р: — О Гог г: 600 вгер —. 1 пп11! 0 с1о Ъек(п с: .—.
с[с[ -~- Ь[г) -г- р: р: — О Ьрс < 10 ЪЪеп с [г[: . с е1ве Ьеи!п в [г[: — с — 10; р: = 1 епс! епс1 . О Гог и: 1 вгер 1 оп!1! 6 с1о Ьеяш оп!рог ['10,', 'яс1.'. в[0[): !ог г: 1 вгер 1 пггг1! 690 с!о оп!рог ['кс!', в[а епс1 епс! 1 и прими ы прило>иииий Формулы млклоринл 287 Ъ штывая поэме>нные олпибки окру>:ленин, хлы о>броси.ти поп ледние 10 знаков и приводим результат вы шсзения с 590 знакахпл ш>сле запятой: 2,718281 828459 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 076630 353547 594571 3821 78 525166 427427 466391 932003 059921 817413 596629 043572 900334 29>260 595630 738132 328627 943490 763233 829880 753195 251019 011573 834187 930702 154089 1:19934 884167 509244 761!60 668082 264800 168477 411853 742345 442437 107539 077714 992069 551702 761838 606261 331384 583000 752044 933826 560297 606737 1Р3200 709328 709127 443747 047230 696977 209310 1-11692 836819 025515 108657 163772 111252 389781 425056 953696 ?70785 449969 967946 864454 905987 931636 889230 098793 127736 178215 424999 229576 351482 208269 895193 668033 182528 869398 496-165 105820 939239 829488 793320 36 ...
Отметим, что па проведение всех вычислений ушло око.ло одной минуты машинного времени. 3. Использование формулы Маклорена для асимптотических ) оценок элементарных функций и вычисления пределов. Формула Маклорена является мощным средством для получения асимптотических оценок элементарных фунллл(ий и вычиг:ленин пределов. В гл. 4 мы установили следующие аснмпготические формулы для элементарных функций: ейпх = х + о(х), Я + х = 1 + — ' э о(х).
и 1п(1+ х) = х+ о(з). (8.77) е' = 1 + х + о(х), сов х = 1 — — + о(х ). х Формулы (8.77),(азот представление элементарных функций при малых значениях (х(. Первые четыре из формул (8.77) оценивают соответствузон(ие .элементарные функцлли с точностью до членов 1-го порядка относительно малой величины;г, а последняя из форилул (8.7?) с точностью до членов 2-го тле>рядки о'лепи;ительно х. Оценок (8.77) оказывается достаточно для вычисления простейших пределов.
Однако для вычисления более сложных пределов, в которых определяющую роль игршот члены более высокого порядка относительно малой величины х, формул (8.77) ) Формулу или опенку. характеризуюлцую поведение 7(х) при х — > а (з,леса при х — > О). называют аеимплаотинеекой. 288 ооновныв твогвхсы о нгпгкгывных ез нкциях гл. о оказывается уже недостаточно. Так, например, при помощи формул (8.77) невозможно вычислить предельное значение 1пп (8.78) ибо по виду знаменателя можно заключить, что здесь опрсдс- лззющую роль игрьнот члены 3-гсз псзряс)ка относительно х, Таким образом, для вычисления тонких пределов необходимо получить более точныс асимптосическис оценки для функций, стоящих в левых частях форму.с (8.77).
Такие оценки немедленно вытекают из формулы Х!аклорена (8,54), ес,зи в этой формузсе взять остаточный член в форме Пеа- но (8.57). Записывая формулы Маклорепа (8.63), (8.?2), (8.66), (8.61) и (8.65) и беря в каждой из этих формул остаточный член в форме Пеано, получим следующие асимптотические оценки: » — 1 х э)пх — х — — + — — + ( — 1) 2 — + о(х ), 3! 3! а! (1+х) — 1+ — х+, )х +...
п(п — 1)...(п — а -Е Ц ... +, х~ + сз(хз~), !п (1+ х:) = х — — + '— —... + ( — 1)" ' — ' + о(х"), 2 3 сз ,2 ез = 1 + — + — +... + — + О(.'и ), 1! 2! а! ,д з сов х = 1 — —, + —, —... + ( — 1) з —, + о(х"'з '). (Здесь в зсервой из форлсул (8.79) и — — любое нечетное число, а в последней из формул (8.79) а щобое чепзное число.) Формулы (8.79) оценивают соответствующие элементарные функции с сочти:тыо до чзизнов любого сзсзряс)ксз.
и, относительно малой величины х,. Эти формулы являюпзс эффектслвныго средством для вычисления ряда топких предельных значений. Приведем примеры использования асихсптотических формул (8.79). 1'. В качестве первого примера рассмотрим уже записанное выше предельное значение (8.78). Привлекая первую из формул (8.79) (взятую при и = 3), будем иметь , з :х х — —,+и(х ) — х Г 1ззп ' ', = 1пп, = !пп ~ — — + о(х) -ео хз; -эо х' з †~ 3! З 31 2о с " С вЂ” соах з ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
