Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Тогда, функция «(л) имеет, в то"!йи) с злвксимум, если «с~)(с)) < О, и минимум, если «С~)(с)) ) О ,'Т о к а з а т е .л ь с т в о. Из ус ювня «са)(с)) < О () О) и ил теоремы 8.9 вытекает, что функция «'(:г) убывает (возрас)тает) в точке с. Поскольку но условию «'(с)) = О, то найдется такая окрестность точки с„в пределах которой «'(гг) положи)е.)ьна )ОТРИЦНТЕЗ!Ьнй) Ю!ЕВН ОТ С И ОТРНЦНТЕЗ1ЬНй (ПО)!ОЖИГЕЛЬНН) С!Ц)йва от с. Но тогда по предыдущей теореме «(з)) имеет в точке с максимум (хи!них!ух!) . 3 й м е ч а и и е. Теорема 9.2 имеет, вообще говоря, более узкую сферу действия, чем теорема 9.1.
Тйк, теорема 9.2 не решает вопроса об экстремуме для случая, когда вторая производная «с )(.!)) не существует в точке с, а также для сс!учая, когда «сг)(с)) — О. В последнем случае для решения вопроса о наличии экстремума нужно и:!у )ить поведение в точке с производных высшнх порядков., что будет сделано нами в ~ 4 этой главы. П р и и е р ы. 1. В чашку, нмеющун) форму полушара радиуса 1. опущен однородный стержень длины 1 (рис. 9.3).
Предполагая, что 21' < 1 < 41, найти положение равновесия стержня. и Положению равновесия стерж- ня соответствует минимйлыню зна чение его потеншлальной энергии т. и. нанни:ппее положение центра с)ГО тЯжести Г) 'снос)к0.1ькУ спейжс)нь яВляется Однородным, 1щнтр тяжести его сс)В1г)дйе) с его с)ерс)д)!ной). Обозначая через ОЛ перпендику- К Е ляр к плоскости, на которой стоит Рис. Э З чашка, мы сведем задачу к отысканию того полож))ния стержня АВ, при котором огре:)ок ОЛ имеет минимйльну)О длину. Прежде Всс)го Вы'!ис11им длину От1)сгзкй ОК как функпню ущш О наклона стержня к плоскости, па которой стоит чашка.
Пусть РТ параллельно ОЛ, а ОО перпен- дикУлЯРНО ОК )Р п)чкй, В котойой стс)Ржень Опиййс)1сЯ нй край чашки). Из прямоугольного треугольника ЕАР следует, что АР = ЕР сов сх = 2г сой и. По условию А О = 1«2. Таким образом, ОР = АР— АО = 2г сов о — 1«2. О'1'ЫСКАНИЕ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА 305 С другой стороны, ВС = ВЬ вЂ” ОК .— -- г — ОК. Поэтому и(з )зря)(пуго)!ьного тр()угольника 01?С иупз(1м ВС г — ОК ВШО =. — =- ОВ 2г сов а — 1,(2 Таким образом, длина отрезка ОХ, которую мы обозна п(м н;рез 1 1(()), равна 1'((х) =1 + —,' вшо — гвш2(к 2 Переходим к отыскашпо гого:значения угла (), которое доставляет минимум 1((1). (Понятно, что мы можеы ограничиться ( 1 значениями угла() из первой четверти.) Так как 1 (О) = — сов пв — 2гс(ж2() = — ' сов() + 2т — 4Г Гоаз(х, то точки возможного экс- 2 тремума находятся как ргяпения квад1нзтного уравн(зн)зя ,2 4г сов о — — сово — 2Г = О.
2 Поскольку сов() в первой четверти положителен. то нам пригоден только положите.ть ый корень этого уравнения з' тзг8 ' (9.4) 1б) Хотя по смыслу задачи и ясно, что единственная точка возмож- ного экстремума (тп является точкой минимума функпии 1(()), мы установим это строго при помощи теоремы 9.2. Достаточно убедиться в том, что 1(2)(()0) ) О. Поскольку 1'( 1(0) = — — а111(в+ 4гяш2() = 8гяш(з (совы — — ~, 1В,) ' то, в силу ('9.4), (< )1 ,1 = К, .;. , (Е„,г „ - ' = " " Л' + 128" > О.
!Г)/ 2 Т(.м самым встановл()но, что поло~е~ию раппов()сия стержня 01- В(зчаеГ уГОл наклОна (ГО к плоскости. на которОй сГОит чап1ка, определяемый фор)(улой (9.4). 2. Найти экстремальпьн. значения функпии !((Г) =;г'з — Зхз— — 4. Эту фмнкник) мы мже ис( ледовали в п. 1 настоя1него пара- графа (см. рис. 9.1). Так как ("(х) = Зхз — бх = Зх(:г — 2), то функпия 1(х) имеет две точки возможного экстремума; хз = 0 н хз = 2. Поскольку знак 1'(х) с;н)ва и справа от этих точек легко выясняется, у!ожно 1Ге!пить вопрос ОО экст1нгмуме при поу10щи теоремы 9.1 (первого достаточного условия).
Но мы предпочи- таем привлечь теореыу 9.2 (второе достаточное условие). 11меем 1'(~)(х) = бг. — 6, Г"(~)(0) = — 6 ( О, !"(~)(2) = 6 ) О. 306 ГеОметеи'!ескОе исс:1едОвяиие ГРАФикя Функции Гл. 9 Таким образом, функция 1'[сх) имеет максимум в то)ке О и минимум в точке 2. Экстремальные значения этой функции равны Лш~х = У[О) = — 4, ~ол)с '— ,)'[2) =' — 8.
5. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке. Общая схема отыскания экстремумов. До сих пор мы решали вопрос о наличии у функции 1[:г) экстремума в такой. точке с, в которой функция 1[со) дифференцируемсг. В этом ггункте мы изу шы вопрос о наличии в точке с экстремух1а у такОй ф) пкнии, которая п();1ис))ференц1ц)уемз в тОчке с:, но дпфференцируема всюду в некоторой окрестности справа и ( )иова 01. с. Оказывается, теорема 9.1 может быть обобщена на случай такой функции. И)1(пило, им(1(лт ы()сто слс(дуюннк) утверждение. Теорема У.Я. Уусгпь функция 1[си) дифференцируемо, вен)- ду в некоторой окрсетнсн)ти то"Еки с, за, исключенислл. быт) мос))с:епг, игмсгй )почки с.
и пепрерывпп, в точке сз Тогда„есмг в пределс) с указанной окресгиности производная 1'[з)) полооюительна [отрицательна) слева от, пн)'еки с и от.- рицогтельна [полоелгительпа) сп1гава от, точки, с. то функция )'[х) ил(ест в точке с локальный ллаксимум [минимум). Если зюе прог(ввод)юя 1~[а)) имеепг один и тот зюе зиогк слева и справа от о)очки с, то зксгпремумсе в точке с нет,. Д 0 к а 3 а т Р.
л ь с т в 0 в тОчности совпадаРт с доказательством теоремы 9.1. '1олько на этот раз применимость к функции г'[сх) по сРГх1Рнт')' [с,:се) тРОРРыы ПНГранжа у('танавливаРтся сле— дующим образом: по условию функция 1[х) дглффслренцируема [)1 стало быть, и непрерывна) всюду на полусегъ(енте [с,(хе)) и, кроме того, непрерывна в точке сх Тем самым 1[сх) непрс".рывна всюдУ на сеГЫ('.нтР. [с, хо) и диффРРенциРУ(лыг) ВО всех внртР()нних точках этого сегмента. Примеры. 1.Найтиточки экстремума функции 1(х) = [;х[.
Эте) (1)ункция (иффе1жещ)ц)тема Всн)ду на Ое)скон(лчной прях)ОЙ. кро'ме' точки з: = О, и нРНИ('рывня в точке х = О. причем производная ))[х) = 1 при:г ) О и равна †1 п :г ( О. о Теорема 9.1 к этой функции не)приы(п(ихп), а соГласно те)0!хек)е) 9.3 Она име(.г минимум при х =-- О Р)ЛС. 9.4 [р.гсь 9.4). а н) 2. Найти точки экстремума функции у =- ха'1. Эта функция непрерывна на всей бесконе гной пряъюй и дифференцируема всюду на этой прямой, за исключением то гки х = О. Производ- 307 отысклник тоник экстрнмумл ная при х ф О равна ) 2 1 З,з,)л В предыдущем примере прои:)водная имела в точке х = О разрыв 1-го рода ): на этот раз производная имеет в точке х = О )1 разрыв 2-го рода («бесконечный скачок)).
Нз выражения для производной следует, что эта еероеезводная отрицательна слева от то екн х = О и положительна справа от этой точки. Стало быть, георема 9.3 позволяет утверждать, по рассматриваемая функция имеет минимум в точке х = = О (график рассматривас)хюй фуеекции изображен на рис. 9.5). 3.
Н)1Йтп точки зкстрекеузс)1 фуеекции прн хфО, у = 1(х) = ,О при и=О. Легко видеть, что эта функция непрерывна па всей бесконечной пря- рнс. 9д мой. В самом деде, единственной ссомнительной) точкой является точка х = О, но и в этой точке функция непрерывна, ибо 1пп у= !пп у=О. ,-за+о' , — о — о Далее, очевидно, что рассматриваемая функция дифференцируема на всей оесконечной прямой, кроме точки х = О.
Всюду, кроме этой точки, производная определяется формулой 1не да-е~' 1 у (' "") )'(л) — 1(0) 1 Легко видеть, что предел 1пп ' ' = 1егп, не суще- х--)О )):с — )О 1 -). сп" ствует, так что функция у = 1(х) недифферепцируема в точке х = О. Поскольку производная у' псыожительна и слева, и справа от точки х = О, расс:матриваемая функция, согласно теореме 9.3, не имеет эесс)трс)к)ух)а в то еке х = О, а стало быть, и вообще не имеет экстремумов. (График рассматриваемой функции изображен иа рис. 9.6.) 1\ ) В том смысле. что зта производная хоть и не сущсствовала в точке х =- = О, но имела в этой точке конечные правое и левое предельные значения, не совпадающие между собой.
308 ГЕОМЕТРИ'!ЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКй ФУНКЦИИ ГЛ. 9 По!и»холим к»гошссй схс'.мс» отыскания точек лона„»ьного эксгцгсисуа»гг. П1»сдположим, что функция !(х)»се»сречрьсони ни интервале ) (а, Ь) и ее»»1»сггсс»водная Гс(х) существует п непрерьсвнп, »ис этом интервале. вснгду, кроме конечного ч»с»э»и ого"сек. Кроме того, предположим., что ссропзсюдссая ~'(х) обре»щи»стоя в нуль но, интервале (сс, Ь) лиань в конечном числе точек. У Иными словами, мы предУ=1 1/л полагаем *его на г»нте1)вггле !сс,гг) имеется лишь копечное число точек.
в ко- Ъ х 'го1»ых п1»Оис»ВОд»»ггя э (х) пс: ь- существует нли обращается 9 в пу.,»ь. Обозначим эти точки с имволамн хг, ха,..., х„ (а < х» < сга «... хп < Ь). Рис. Р.й В силу сделанных предположений производная ) (зс) сохрсс»сяет, постоя»спьгй знак, на каждом иэ интервалов (а,сс»). (эсг,хй)...., (хп, Ь). Стало быть. во»»рос' о наличии экстремума, в ксюссдосс из томск х»,сссг,...,х,„ мослсет быть рпиен (в упгвердптельпом плп отрицательном смысле) при помои!и, теоремьс 9.3. Здесь мы не оудем приводить примера. иллюстрирующего общую ссхему отыскания точек локального экстремума. '1акой пример будет приведен нами в 8 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
