Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 64
Текст из файла (страница 64)
0 Ха 5!ас)т. и. !»йуэ. 18о7. Хт. 2. Я. 137 — 165. Нам понадобится специальная формула для дроби — ', опретлоляемой соотношением (8.95). Для установления 'этой формулы сравним две подхо- Р» Р» дяплие дроби — н . Разность этих дробей, очевидно, равна дл 0», '- Р» Р»-т Р»Я»- — »л- (8.98) (т'» — ~ (т'»- т(з» Числите»и правой части (8.98) в силу (8.97) лкпкет быть записан в виде 295 ДОПОЛНВ)П)В 4гу"' -)- бган — у' = О, (8.103) 4хую ' '+ (4п+ 2)ую л 0 — ую) = О. о эг) Обозначим отношение ', через и,„г. Тогда из последнего соогног/~"' 1 шения (8.103) получим тождество 4хв,„л ъ + 4п + 2 = —, из которого в„.).г вытекает л:оотношение 1)г2 'и .г. г 2п -Ь 1 Ч-2хивгг (8.104) уг' 11),Гх Так как иг = — =, то соотнопигнио (8.104) при и = 0 может быть у 2ъгх ' записано в следуюшей форме: СЬ ъ)х = 1 -)- 2лгиг В правой части 'этой формулы заменим иг его выражением, полученным с ггоъгощью (8.104) при и = 1.
В результате получим формулу 11) ьгх = 1+ 3 4-2т;из В последнеъл соотношении мы можеъл заменить иъ его выражением, полученным с помошью (8.104) прн 'и = 2. Такого рода операции ъгы ъюжем провести лк)бое конечное чиг.то раз. В резулг тате получим разложение функции 1Ь ъггх в цепную дробь. Заменяя в этом разложении „/х на .г, найдем нужное нам раэ,тоженис функции 1Ьх в конечную цепнуиг дробь. Это разложение имеет вид (8.105) ейхв 1 4- 3 -)- :с ,,г 2п -)- 1-)- 2;гггил ). 3. Вычисление значений функцллгл !Ьг. Оценк а п о г р е ш н о с т и в ы ч и с л е н и й. Вычисление значений функции сЬ х на электронно-вычислительной машине обычно производится с помошью формулы (8.105), в которой отбрасывается член 2х'и„в. При этом л берется равным б (и = 6), значения же х по абсолютной величине ограничиваются чис.лом яг)4. Из пос,леднего соотношения по.гучвем тождеслво, справедливое для всех х>0: 4л:у ' + 2у' — у = О.
(8.102) Последовательно дифференцируя толслество (8.102), будем иметь 296 основнык ткоркьйы о нкп1»крывных шун1сцияк ккк 8 (8.106) рт„ Так как для дробей — и О т =Я т =0 и Оп=От»=1, то с помо- щью формул (8.106) и соотношений (8.97) получаем с тедующие равенства: Ф = бдт Я = Я„.. 2„= 0„, О„ет = (2тт»-1-6 2хгп». )1д„-рт»Щ, т О,,+т — — (2п-~-1)(тт„-Ьх (тэ Ров, Р„.„, Представим теперь каждую из дробей ' н " в виде (8.101).
Из форедэ О мул (8,106) и (8.107) ясно, что зтн представления будут отличатт ся лишь последними слагаемыми. Поэтому разность "" — " будет равна раз- О, ности последних слагаемых представлений этих дробей по формуле (8.101). Так как ратттость рассматриваемых дробей равна бй х — 11тх, то, используя (8.106), получиьт следующую формулу: Л.бд,. О„О„», Эттт гоотяотпение с ппеппцыо формул (8.107) легко преобрвзпвывается к следующему виду: ,д бт»Я,ньт 12гл(гт„и вег .»- (2п -Ь 1Щ„+ тегЯ„т 1 ,1ля получения нужной нам оценки воспользуемся снедукпцими двумя неравенствами, которые будут дока»апы ниже. При х > 0 длл любого А > 1 сприведлишт нерпвенстивм (да > (2/е — 1)!! (8.109) При х > О велттнттна н„г ттоложнтттельни: (8.110) и„».г > О. Ь(т т проведем оценку погрешности д.
тя . тюбого номера и. Обоптачим приближенное значение функции 16 от, полученное из (8.105) путем отбратывания члена 2хтн„г, через тЬ:тн т Ьптт выяснения точности вы'пилений мы дотжны, очевидно. опенить разность ЬЬ г — т1т:е. Заметим, по ЬЬх и Г!те представляют собой цепные дроби, которые мы обозначим Роет Р„ет сотлветственно — и— О„„, Выпишем значения частных числителей а,. о,, и частных знаменатвлей Ь„Ь, дтш этих дробей (черточкой сверху мы будем обозначать вели тины, Р„,, относятпиестт к дроби ' ).
Имеем бд.„ нт Йт х ттг ог х ° ... тт .т.т п».т х Ьо=бо=в, Ьт=бт=! ...., 6„=6„=2п — 1. 6» т = 2п+ 1-Ь 2тгги„ег, 6„» т = 2п+ 1. 297 ДОПО71Н8111!8 Перейдем теперь к оценке разнсюти с!эх — !Ьх при х > О. Так квк при х > 0 и„тв > 0 (см. (8.110)) и любое гзь > О (см. (8.109)), то выражение в квадратных скобках в правой части равенства (8.108) нг превосходит единицы. Далее, из (8.109) получаем еле.чующее норавенство: („)„Я, э, > [(2п — 1)0) (2п+ 1). Поэтому прн х > 0 лля любого номера и справедлива следующая оценка погрешности: е ьэ .г " "!"' < ((2.
— 1)))р(2 +1)' Остаэпэвилк:я на опенке погрешности при и = 6 для значений х, удовлетворяюгдих неравенствам 0 < х < г/4. При и — —. 6 число 2п — 1 равно 11, а число 2п + 1 равно 13. Так как (н/4) < 0,.8, то хэв < (0,8)ш < 5,6 10 Легко подсчитать, по 11!! = 10395. Поэтому, учитывая, что 2 6+ 1 = 13, из формулы (8.111) шэвучиьь шо ошибка в ирибэлиясенном гэычиавеяии ФЬ х для и = 6 не превышает 4 10 и Докажем теперь неравенства (8.109) и (8.110). Доказвтельгтво неравенства (8109). Докалсем сначала неотрицательность любого ф,. Из формул (8.106) вытекает яеотрипательность !эь и йь при х > 0 для любого й < и.
5!ы уже отмечали, 'шо сГ, = О., Сэзо = 1. Отсюда н из второй из формул (8.97) вытекает неотрицвтельность Ць для .тюбого а < и. Из второй формулы (8.97), а также из неотрицвтельности ль и ф, вытекает неравенство ~ -Пе 4 Ь; ' !1~ ~ (х) = — --. !э~ Урбедиыся теперь в том, что 1)ш !хл~ ~ 'ур'~ !(х)~ = 0 ото~ Для втого достнп очно убедиться в том., что величина (8.113) (8.114) (8.115) в1э эгх ограничена прн х э 0-1-0, Из соотношений 9 = сЬ чгтх и 9 = вытекает., 2,/х что 9(х) н !!'(х) ограничены при х э 0 -!- О. Но то~ да эп (8.102) вьггеквет, что и величина хд (х) ограничена при х — э 0 -!- О. Юь > !эь57г ы (8.112) Так квк ~о = 1, а Ьь = 2а — 1 и!)н 1 < )г < и, то последовательно из неравенства (8.112) полу )аем с), > 1, Цв > 3, ..., Щ.
3 (2Ь вЂ” 1))!. Сп!эаведливость неравепг тва (8.109) установлена. Доказательство неравенства (8110). Достато !тго доказать. ~то все производньге функции у = с1э. 'х при х > > О положительны. Очевидно, тем самым мы докажем неравеяство (8.110), <~эю ибо и„ээ = 9~ х Умноэкая последнее соотношение (8.103) на ", мы моэкем перепн- 4 гать зто сОотно!пенне В Виде 298 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕ51Ы О НГП1'ЕРЫВНЫХ ФуН1(НИНЕ ГГЕ 8 После этого из пос.нщнего соотношения (8.103) по индукции по. ~учается, что вели тина (8.115) ограничена при х — г О+ 0 для любого номера п. Тел~ самым соотношение (8.114) доказано.
Докажем теперь., шо для любого номера и производная (8.116) р (т:) положительна при я > О. О'и'видно, что р~ (.с) = р(к) = сЬ х/х положи- ~01 те.тэна при т > О. Предполовсим. что для некоторого номера и ве.,птчина (8,11б) по.,южигельяа при я > О. урбсдимся то1да, что н 1Г'"тО(т) положительна при я > О. Из (8.113) заключаем, что произнодная в левой части (8.113) положительна при х > О, т. е. функция я"з НэрщтО(я) возрастает при л > О.
Но тогда из (8.114) следует. что эта функпия положительна при я > О. Итак, 11Ш~' (л) > 0 при л > О, и неравенство (8.110) доказано. 4. Вычисление гиперболического синуса, гиперболического косинуса и показательн о й ф у н к ц и и. В дальнейшем символом 5„(1) мы будем обо:значать следующую цепную дробь: (8.117) 2н4-1 Обычно для электронно-вычислительной машины составлшот программу вычисления этой цепной дроби. Используя эзу программу, можно без 1атруднений составить программу вычистений гиперболического тангенса, ибо, как бгяло выяснено в предыдущем пункте, приближенное значение 1Ь х может быть вычиштено по форму.п (8.118) 1Ьк- 5'-( э)' причем в предыдущих пунктах было также выяснено.
что с увеличением н точность вы сиглений возрастает и погрешность стремится к нулю. Вычисление функций вЬ 2х, сЬ 2х, е'" может быть редуцировано к вычислению гиперболического тангепса с помощью формул 21Ь х 1 -1- 1Ьт л э„. 1 4- 1Ь х 1 — ЦП х' 1 — Ц~-':с' 1 — 18 к Из зтнх формул и из соотношения (8.118) полгчаются следбтощие формулы для приближенных значений перечи<шеннгих функций: 25,(к') л 5,',(х') + з-' т, 5„(яэ) 4-л Ясно. ~то с помощью этих формул и программы вычислений для 5'„(1) легко составляются программы для вычисления вЬ 2х, сЬ 2л и сэ'"'.
5. Вычисление тригонометрических функц и й. По аналогии с раз:южением в цепную дробь функции ейт строится разложение гсля функции 18 я, 299 ДОПОУ1НВНИВ Расс>пирам функпик> у = сов <х для значении х ) О. О'гевидны с.<едук>- щне соотношения, полу'гаемые пос'>едовательными диффереш<ированиями этой функции и щюстыми преобразованиями: и у у 2тгхд = — Я1п>!»О 2>/хр' -1- — ' >ух 2>ух ИЗ последнЕго соотношения получаем тождество 4,д + 2!' +;д = О. Последовательно дифференцируя это >ождсство, будем имоп, 4хуи' -К буи 4- у' = О. 4»д<" '+ 14>> 4- 2)дш >О + ущ> = О.
Обозначим о<ношение через и„«.. Тогда из последнего равенства у" 1 полу <им равенство 4»и„< > 4-4п 4-2 = — —, .из которого вытекает соотно- И„,<>' шение — 1г2 и 2п+1+ 2хи;; > Отсюда, в полнои ана.логии с рассуждениями для гиперболического тангенса, получаем еле,ту>ощее разлшкенно функции 18х в цепную дробь: х Гкх— 1+ 3 -~- б+ 2п+ 1 + 2х» и„>» Прибш<женпое значение 18 <г получас> ся из этой формулы путем о гбрасывания члена 2х>в т».
С учетом выра>кения (811<) это приближенное значени<' может бь<ть найдено по формуле 18х (8.119) Как н в пиучве гиперболичегкого танп нса, можно убеднтьгя, что с увеличением и то шость вычи<шепий по формуле (8.119) возрастает и погрешность стремится к нулю. С помощью известных нз курса элемонтарной математики формул 2гйх, 1 — 18 х яш2».
= . н сов 2х =, н соотношения 18.119) по,ту гаем сле- 1+18»х ' ' ' 1+18»х дующие формулы для вычисления приближепгпях значений яш 2» и сов 2;г: 25а( — »») . х Ь",, г — х>) -е»>» эп>2»: — у( с>) >, <.оэ2х — о»< >) В заключение заметим, что точность вы гисленнй всех функций., указа>шых в последних двух пунктах, для шести итерапий (и = 6) будет не моньше 10 '' при условии, по аргумент х по абсолютной величане нс пр<'- вышает к,<4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
