Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 68
Текст из файла (страница 68)
((г)(с) = О. Теорема доказана. Тот факт, что обращение в нуль второй ))роизводной является л и ш ь н е о б х о д и м ы м условием перегноа графика дважды дифференпируемой функции, вытекшт, например, из рассмотрения графика функции у = х' . Для этой функции вторая производная р~~) = )2хд обращается в нуль в точке х = О, но ее ) 1)афин не имеет пе1)егнба в )очке М(0, 0). В силу теоремы 9.6 для отыскания всех точек перегиба графика дважды дифференцируемой функции у = ~(х) нужно рассмотреть все корни уравнения г) ) (х) = О.
Поскольку равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба, то нужно дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой то )ке. для которой (х) = — О. Для проведения такого исследования следует уста(в) повить достаточные ус)овия перегиба. к чему мы и переходим. 2. Первое достаточное условие перегиба. Теорема 9.7. Пусть функция у = Г(х) имеет вторую про)ыводную в некоторой окрестности тонка с и ))г)(с) = О.
Тогда, если в пределах укаэанной ))к))естности вгао)я)я про)ыв))дно)я (~ )(х) имеет ро„пгые знаки слева и справа от, с, то график, этлй функции имеет, ))ерегиб в точке М(с, ) (с)). 314 ГеОК1етви'!ескОе исс;(еДОБлиие ГГАФикл Функции Гл. э Д о к я з а 1. (г л ь ( т в о. 3ам((тим, во-п(рных, что гра(11ик функции у = Х (:Г) име(т кВсятельнук1 В '1 О!ке М(с., ф(с)), ибо из у( (овий т((оремы вьг(екает с;шествование ко(н; шой производ1н)й Х'(с).
Далее, из того, (то Х( )(т) с;1РВВ и справа От с иъш((т разные знаки, и из теоремы 9.4 заключаем, что направление вьшукшнти слева и справа от с является различным. Теорема доказ(1ИВ. П р н и е р. Найти точки п(региба графика функции у = х(— — Зх — 4, Эту функция! мы неоднократно рассматривали выше г (график ее изображен па рис. 9.1).
Поско.п ку Х(г((.г) = бх — 6 = = 6(х — 1), то единственное значение аргумента, для которого возможен перегиб, ес(ь т. = 1. Этому значению аргумента соответствует точка графика ЛХ(1, — 6). Так как Х(а) (г) имеет разные знаки при т ) 1 и при т, ( 1.
то точка Л~Х(1, — 6) является точкой пер(тиба графика расс мятриваемой функции. 3. Второе достаточное условие перегиба. На (лучяй, когда н((желательно ис(ледован(п; знака второй производной в окрестности точки с, мы сформу:шруем второе достаточное условие перегиба, предполагающее существование у функции у = Х(х) в то(КР с ко(н; (ной третьРЙ про(с!водно(1. Теорема 9.8. Если функция у = Х(х) ил(еен1 в точке. с конечную п(Х(ен(ью нро(иво(Хнун( и удовлетворяен( в этой точке, условиям Х(г((с) = О., Х(г)(с) ф О, то г4афик этой' функции имеет, (ьерегиб в точке М(с. Х(с)). Д о к а з а т е л ь с т в о. И:з условия Х(з)(с) ф О и из теоремы 8.9 вытекает, что функция Х(г) (х) либо возрастает, либо убывает в точке с. Так как Х(а((с) = О, то и в том, и в другом ( 1т 1В(. ИВЙд('.тся тВкая ОкрРстнО('ть т0.1ки с, в предРлях котороЙ Х(~)(:г) имеет разные знаки сяеоа и справа от с.
Но тогда но предыдущей теореме график функций у = Х(х) имеет перегиб в точке ЛХ (с, Х (с) ) . 3 а и е ч а н и с. Конечно, теорема 9.8 имеет бо.(ее узкую сферу действия, чем теорема 9.7. Так, теорема 9.8 и( решает вопроса о наличии перегиба для (лу шя, когда у функции у = = Х(х) не (1ш(.(тв1РТ конРНИОЙ третьРЙ нро((!водной, В также для случая, когда Х ' (с) = О. В последнем (лучае для решения !з) вопроса о наличии перегиба нужно изучить поведение в точке с производных высших порядков, что будет еде.,(ано нами в я 4 этой главы. Во:звратимся к примеру, рассьютрснному в предыдущем пункте, и покажет(, что воп1(ос о «1(личин и('.р('.Гибя у графика функции у = т: — Йт, — 4 может быть репки и при помощи В ° 2 теоремы 9.8.
В самом деле, Х"((!)(х) = 6 ф О. стало быть., точка ЛХ(1, — 6) является точкой перегиба, согласно теореме 9.8. у 1 тгктьк достйточнок усу)овик экстгкмумй и нкгкгиьй 010 4. Некоторые обобщении первого достаточного условия перегиба. Прежде всего, замети л. что в ус:юанях теоремы 9.7 можно отказаться от требования двукратной дифференцируемости функции у = 1'(х) а самой та гкс с. сохраняя это требование лишь для точек, лежащих в некоторой окрестности слева и справа от с. При этом следует дополнительно предположить существование конечной производной 7 (с). .11оказательство теоремы 9.7 с сказанными изменениями дословно совпадаез с доказательством, приведенным вьппе.
Палее, можно договориться при определении точки перегиба не исключать случая, когда касательная к графику в рассматриваемой точке 11араллсльна оси Оу '). Прп такой договоренности в теореме 9.7 можно отказаться даже от требования однократной дифференцируемости функции 1'(х) в саьюй точке с и сформулировать эту теорему зшедующим образом. Пусть функция у = 1"(х) илгсст хаглсчн1уга старую производную всюду а некагпораб акрссгггнасгпи тачки с, за исключениелб бътп лгашсет, сажай тати с. Пусть, далее, функция у = 1(х) непрерывна а гпачкс г и график шпаб функъии имеет хаса1псльнцю г) а пгачкс )гт(с.
ф(с)). Тогда, сели а пределах указанной окрестности вторая производная 1"00(х) имсезп разные знаки слева и справа ат та ти с, та график фу1тции д = 7(х) ил1сст перегиб а тачке И(с. 7(с)). Доказательство сформулированного утвержде- у ния полпастьЮ аналогично докаэатсльству теоремы 9.7 1/3 П р и и е р. Пайти точки перегиба графика функции д = т: д . Эта функция имеет вто- 1/3 рую производную вс1олу на бесконечной прямой, 0 за исключением точки т = О.
В точке з = 0 расгматриваемая функция непрерывна, но уже первая производная обращается в бесконечность. Однако график функции у = х ~з имеет в точке (О. 0) касательную. параллельную оси Оу л) ()эис. 9.1Ц. Так как вторая производная г 2 1 Рис. 9.11 д 11) 9 хщг имеет слева и справа от точки х = 0 разные знаки. то график функции у = хоз имеет перегиб в точке (0,0). 9 4.
Третье достаточное условие экстремума и перегиба Теорема й.й. Пусть и ) ) целое число и пусть функция, у = ) (и) имеегп производнхпо порядка п в нехопюзрой окресго; носпси точки с и производную порядка и + ) в самой точке с. Пусть, далее, сг1раведл1лвы следующие соглпногценигяс У(2)(11) = У(в)(с) = = Х(")(с) = 0 Х(пчз)(11) ~ 0 (0З) ') Этот случай соответствует бесконечному значению Т(с). а) Хотя бы параллельную оси Од. ) Это вытекаег, например, из того, что график обратной функции х = дз имеет в этой точке касательную т, =.
О. 316 ГеОх1етРи'!ескОе иссэ!еДОБАиие ГРАФикл Функции Гл. 9 Тогс)с!. есми и являяпгся ч е т. н ьс м числом.. граф!!к фугскции у = 7'(х) имеет, 7!грег!!б в точке се)'(с, )'(с)). гс.)сс эюе и являегпся н е ч е т, и, ы, м 'и!слом гл, кроме того, )~(с) = О, с)гугскс!сся, у = ! (х) имеет локальньсй экстремум в точке с, точнее, имеет, в и!очке с локальньис минимум при 1)7>з !)(с) > О и локальный максилсум 7)ри (О)е )(с) < О.
Д О к В 3 В т е >1 ь с т в О. 1) Пусть с!нича:!а 7>, ягз!ясггся ч е т н ы и числом. При 7>, = 2 доказываемая теорема с'овпадает с уже доказанной теоремой 9.8, так что нужно провести доказательство только для ч е т н о г о п, > 4. Пусть четное и удовлетворяет условию п, > 4. Из условия !сп~')(с) ~ О н из теоремы 8.9, примененной к функции !сп)(х), вытекает, что зта функция !(п)(х) либо возрастает, либо убывает в точке с. Поскольку, кроме того, !с")(с) = О, го и в том. и в другом случае найдется достаточно малая окрестность точклс с, в пределах которой 7)7>)(х) справа и слева от, с ил!ест разньге знаки. Заметив что, разложим функгппо !)~)(х) в окрестности точки с по с))ормуле Тейло1>а с Остато зны ! гленом в форме Лагран>ка.
Мы ПОлу 1им, что для Всех 2: из дОстато 1нО ма.10й Окрестности точки с между с и х найдется точка б такая, что 1~ )(т) = 1( )(с) + ~, )(х — с) +... >С г!(с)(,)д — 3 УС )(С) (., ) — 2 (и — 3)! (и — 2)! Соотношения (9.8) позвони)т придать пос;игднему равенству с гедуюший вид: )(2)(, ) !1 (С) ( .)п — 2 (9 9) (7) — 2)! Так как в пределах достаточно ма!)ойс окрестности точки с функция )(7)!(:г) имеет разные знаки прн х < с и при х > с и так как ( всегда лежит между с и х, то мы получим, что и ~!7')(б) (а, в силу четности п, и вся правая часть (9.9)) имеет ра:зпые знаки 19>и:г < с и при х > с. НО 11>сда и левая па~~в (9.9), т. е. 7)2)(х) в пределах достаточно малой окрестности с имеет разные знаки при:г < с и при х > с. В силу теоремы 9.7 зто означает, что график функции у = !'(х) имеет перегиб в точке М(с,7'(с)), и для случая изтного 7! теорема доказана.
2) Пусть теперь п > 1 является нечетным числом и дополнительно предполагается, что 7'(сг) = О. Так как прп и, = 1 доказываемая нами теорема совпадает с уже доказанной вылив тео- 1 1 тве'1"ье ДОстятО'!иОе УслОВие нкст1'емУмл н пе1'егивя 317 у<ч)(<,) !'(т) = !'(с) +, (т — с) +...
(<)(СС вЂ” С)" 2+ с (ч) (т — С)п 1. (9.10) (и — 2)! (п — 1)! Соотношения (9.8) и дополнительное условие 7"'(с) = 0 позволяют переписать равенство (9.10) в виде с<*'(<) (, (и — Ц! (9.11) Так как б всегда лежит между с и:г... го для всех х из достаточно малой окрестности точки с производная 7(")® отрипательна при <а ( с и положительна при:с: > с. При нечетном и, шсло и — 1 является четным, а поэтому вся правая (и. стало быть, и левая) час!в (9.11) для всех т из дос таточно ма„!ой окре< тиос!и с отрицательна слева от с и положительна справа от с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
