Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 63
Текст из файла (страница 63)
х-еО хз асп х ! 10 НРих1еры прилОжений ФОРмУлы 81А1(лО!'енА 289 Исходя из вида знаменателя., можно заключить., что опреде- ляюп!у«о роль должны играть чл(ны 4-го порядка относитель- но х (ибо вш т = х+ о(т)). Пользуясь формулами (8.79), можем записать 2,,4 совх = 1 — — + — '+ о(х')« 2! 4! (8.80) вптх = х + о(:с) « (8.81) е = 1+а+ — +о(х ).
2 Отало быть, при х = — х21«2 получим ,2 е 2 =- 1 — — + — '+о(г'). (8.82) В силу формул (8.80), (8.81) и (8.82) искомое предельное значение может быть переписано в виде х' хт 2 — 4- о(х4) — 1 -«в 8 2 24 1 — — -« 1= 1ни 2:-40 :т4 4 о(х'4) 1 11 8 х-«О 1 1 = 1пп (совх+ — ) т — «0«2 Обозначим через д величину ) у = «!сов т, + — 'л ) . Тог!!а 2 ) 2 = 1пп 4Л 21огарифмируя выражение лля Рб будем ил«еть х — «О' 1 4 хтх 1пу = 1п (сов:г+ — ! . х(а«п х — х) 2 Вычислим х !и сон х -«- —,) 2, 1пп !пу = 1пп х — «О ' и — «О х(г4п х — х) ) При малых т, вь«ражение ! соьх+ — ) заведомо оо.ложительио.
2 «' 10 В.А. Ильин, и.1! Полнив, «асть 1 Здесь символом (т(х) мы обозначили гдуюся бесконечно малой при х -«О.) 3'. 1 — -1- а(х) 4- а(т) 8 24 12 о(х ) величину , , являю- 4 290 ОснОБные '1еОРемы О нец1«е1«ыпных ФУВ1(ЦиЯх Гл. 8 х х 0 °, х,,4 — + — + о1хб), вш,г, = х — — ' + о1х )« 2 24 ' б , з 1п (1 -Ь вЂ” -Ь о1ха)) 24 = 1пп х-«О х — — -ь о1х») 6 + х) = х + 01х). Из этой Формулы Поскольку соях = 1— поз«учим 1«зп 1гз у т, -«О У пем теперь, гго 1п 11 1п (1 + —, + о1хб)) = — + о1х ). Таким образом, 1 о1х «) 24 хз =- 1пп — — -1- а1х) х — «О 1 „4 6 л — ч- о1х ) 1пп 1пу = 11п т — «О х — «О х — — -1- о1;га) б Отсюда Т = 1пп 11 = е т.
х — «О ДОПОЛНЕНИЕ ВЫх1ИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ зРУНКЦИЙ агсссб х = — — асс(8 х. агсаш х = агссб 2 атосов т =. агсссб з/à — ха ' ') Сведения о непрерывных дробях читатель может найти в учебнике А.П. Киселева «Алгебра» 1Учпе«тгиз, 1969, с. 188 — 201). В настоящем Дополнении мы изучим вопрос о вычигщении значений простейших элементарных функв:ий. Для вьзчисления значений всех указанных функций используются два вида алгоритмов, первый из которых основан на разложении вычисляемой функции по формуле Тейлора, а второй на рвало«кении ее в пенную или непрерывную дробь ').
Первый алгоритм «зозволяет составить единую программу вычислений значений логарифмической и обратных тригонометричгских фушсций. Второй алгоритм лежит в основе универсальной програымьг вычислений остальных простейших элементарных функпий. Помимо обоснования указанных алгоритмов, мы провелеч оценку чи(ща итераций, обеспе гивающих заданную точность вычиглений. 1. Вычисление логарифмической и обратных тригонометрических функций. Вычисление этих функций основано на применении формулы Тейлора. Рбы подробно рассмотрим вопрос о вычислении логарифма и арктангепса.
Вычисление значений асс(тб х, щсе(их и агссоа х легка сводится к вьгчислению арк гангенса с помощью следующих известных формул: 291 ДОПОХ11!81!ИВ 1. В ы ч и с л е и и е 1п о. Представим число о ) 0 в следующей форме: о = 2гЛХ, (8.83) где р целое чис >о, а ЛХ удовлетворяет условиям 1 2 — ( ЛХ < 1. (8.84) Отметим, что представление а в форме (8.83) единственно. Используя фор- мулу (8.83), получим для 1п а следующее выражение: (8.85) !па = р!п2+ !пЛХ. Полагая 1 1-1- х >1Х = —— ь>2 1 — х и подставляя зто выражение для ЛХ в (8.85), преобразуем формулу (8.85) для 1п а к следующему виду: 1> 1 -!- х 1па = (р — -Х! !п2-1- !в 27 1 — х (8.87) 1 + х Разложим функцию 1п по формуле Маклорена.
Легко убедиться, что 1 — х зто разложение с остаточным членом в форме Лагранжа имеет гледующий вид: 1 -1- х 2хз йха !п = 2х -!- — -!. — -!-... -1- )7>„цьт(х), (8.88) 1 — х 3 э 2п!-1 гдо 1 1 ХС „~.>(х) — , , — , (8 89) 2п + 2 ~(! + рх)т +т (1 - Вх) .е ): а чисю д заключено строго между нулем и единицей. Для приближенного вычисления !по используется следующая формула: 15 / хз уа ,2 ч> 1по (р — — ~!п2-Ь2(х-Ь— 2,) ~, 3 5 2п-~-1! (8.90) ЛХ»>2 — 1 ЛХь>2 -1- 1 (8.91) 10* 1 -Ь х которая получается из (8.87) п>утем замены 1п — частью формулы Ма- 1 — х клорена, (8.88) для атой функции без остаточного члена ХС>„тт(х). Заметим. что число х в прибли>кепной формуле (8.90) для !па определяется из формулы (8.86) с учетом ограничений (8.84)>, наложенных на ЛХ. Перейдем к сцен>се погрешности формулы (8.90).
Так как приближенное значение 1п а, вычисляемое по формуле (8.90), отличается от точного значения, вычисляемого по формуле (8.8 > ), на величину остаточного члена Йи,т>(х), то для выяснения погрешности достаточно оценип зтог остаточный член. Во-первых, выясним границ>я изменения т. Из формулы (8.86) получаем 292 основныв тногвй1ы о нгпгвгывных ст3 ннцинх гн. 8 Из 18.91) сзезгует. что для значений ЛХ, удое.~отворяющих неравенсгваы 18.84), абсотпотпал величина х удовлетворяет условию ') (х) < 0,172. 18.92) Заметим теперь,что структура остаточного члена Хст„гэ1х) такова, по опенка для отрицательных и положительных значений х может быть прогедена одинаковым способом 1из формулы 18.89) видно.
что замена х на — х не изменяет структуры Гтг„т„(х)). Поэтому досгаточно получить оценку Яш,,тт1х) для х > О. Учитывая это и неравенство 18.92), полу шъб заменяя я 1 правой части 18.89) величину х чвслом 0,172, величину — единицей. 1+дх 1 1 а величину — чисюм „, следугощукг опенку: 1 — дх 1 — 0.172 ' 10,172) ""' г 1 2п+ 2 С (1 — 0,172)т"тг1 В последней формуле внесем 10,172) " в квадратные сгсобки. Так как 0.172 1 — 0.172 < 0,208. получи а следуюшукг опенку для Лт„, г1х): Я„т1х)~< (0,172)т"те З- (0,208) 'т 2п-Е2 18.93) При вычислении 1и а на электронно-вычислительной мапгине т) формулу 18.90) берут обычно при и = 6. Точность вычисгений для этого случая (0,172)'" + (0,208)' опенивается, как ви;шо из 18.93), числом ' ', которое не 14 превышая г 1.625 10 2.
В ы ч и с л е н и е агсе8 о. Очевидно, можно ограничиться ггтучаем положительных значений аргумента, ибо, полагая )и! = х. найдем агсг8 и = эйп о агс18 х. Укажем теперь стан,тартные преобразования, с помощью которых вычисление агс18 т для значений аргуменга х, пе меш шик 1/8, приводится к вычис тенпю арктангенса для значений аргумента, меньших 118. Пусть сначала х > 1.
Положим у = агсййх, т. е. х = 18 9, и хч = 1819— ейр — 1 х — 1 — аггея 1). 11з последней формулы получаем х~ = = — ( 1. Так гяр+ 1 х+ 1 г как агс18 г = агс181 -~- атеей х1 = — + агс18 т|„то вычис гение агсейх для 4 знэчеяий х > 1 привозится к вычггслеггякг гит Г8 х1 при 0 <:г1 < 1 Обратимся теперь к слгчшо, когда аргумент удовлетворяет перавен- 1 стаям — ( х < 1. 8 Пусть Ач = 1. )гт = 1/2, ка = 1/4., йл = 11'8. Очевидно, для некоторого г = 1.
2. 3, 4 выполняются неравенства к, <х<2к,. 18.94) ) Так как х является функцией от 8Х, то вопрос сводится к разысканию максима. и ного значения модуля функции 18.91) на сегменте )1/2, Ц, е) Именно так вычисляется 1па на эчекгронно-вычггснигегп ной машине ВЭСУ1-6. 293 ДОПОЛЛНВВИВ Положим у = агс18х.
г. е. х = 68 у и,г, = 68(у — агс68Л,). Из этой формулы получаем Р„ — = Ьо + Ь,ч- (8 96) Ьи+ Ьз Ч- Величины им и,..., и обычно назыззаются чистньзми чишгителхми, а Ье, Ьы..., Ь„чиглииыми за имглзизиеллми. Цепные дроби Ре Ьо Рз и1 Ри и1 —.= —., — =Ье+ —, — =-Ье+ и,,.... (8.96) бд. 1' Оз Ь,' бди Ьэ ) Именно так поступают, например, при вычизшениях на электронной машине БЭСМ-6. 48 у — Л, х — Ь, 1+у,сйу 1+ух Так как х > О, то 1 -З- Л,х > 1, кроме того. согласно правому из неравенств (8.94). х — )ч < 2Ь, — Л, = Л,.
Поэтому ив после;щего выражения для х„ получаем неравенство х, < Лз. Поскольку агсгбх = агс18 Ль -~- агссбх„то вычнсленне агссй х для значений х„удовлетворяющих неравенствам (8.94), приводится к вычислению агслй х, при О < т, < Ь,. Повторяя описанные преобразования аргумента х самое большее чегыро раза, мы приведем вычисление агсс х для значений х из полуинтервала 11'8 < х < 1 к вычислению арктангенса для значений аргумента, меньших 1/8. Для вычисления агс68 х при х < 1/8 используется формула Маклорена х' х' , хэ"+ агс18х = х — —, -г — —...
+ ( — 1) ' -~. Йи,тэ(х). 3 5 2п,т1 При вычислениях обычно последнюю формулу берут при п, = 6 и отбра- сывают остаточный член ). Программа вычислений дтя логарифма и арь- тангенса общая. При пользовании этой программой для арктапгенса надо и, 3 лишь позаботиться о перемене знаков у соседних членов рлз ч- 1 2. Вычисление тригонометрических функций, показательной функции н гиперболических функций. Вычислегзие этих функций основано на применении ц е п н ы х (или.
как их еще наэывазот, н с- и р е р ы в н ы х) д р о б е й. Необходимые нам свойства этих дробей приво„тятся ниже в и. 1. Вычисление всех перечисленных функций связано г определенной цеп- ной дробью, которая получается при разложении функции Сйх. Поэтому мы подробно рассмотрим вычишзение значенвй функции Ьйх, а затем ука- жем, каким образом вычисляются остальные функции. 1. Некоторые сведения о цепных дробях. Конечной Р„ цепной дробью — называется выражение вида (д„ 294 ОСНОВНЫЕ '1ЕО1»ЕМЫ О НЕП1'Е1'ЫВНЫХ ФуН1(цИяХ Гуй 8 Р„ назыеакпся пттдттттдлатттжтт дробями для дроби — ". 0„ Если положить Р.т = 1, (2 т = О, то из выраткений (8.96) дти подхоРл, дящих дробей — (Ь = 1, 2,, и) можно получить следующие формулы, (2» свялтыватотт»ит' Р» с Р» т и Р»-т и ()» с (эз»-т и Ю;- т: Р» = Ь»Р» т ч-тт»Р» т, ()» = !тлел-т "-тт»Ял-т. (8.97) Р»Д» т — ьстт»Р» ~ = (Ьт.!"л.
т + е»Рл. т)Ц» т — (!т»(тз» т + ттЯ»»)Р». = — а»(Р» -тЯ» — т — (кт»-тР» — т). (899) Последовательно используя соотновление (8.99) ддя значений !Х (!т — ! ), ()л— — 2), ..., 1 и учитывая, по Р т = 1, („1 т = О, Щт = 1, мы придадим дроби (8.98) следующий вид: — — = ( — 1) ал,а» т...ат Р» Р», »э., 1 (8.100) (е» (т'»-т (ээ» — т (2» Так как ло с помощькт (8.100) лты и получим необходимую нам сттепиалытую фор- Р„ мулу для дроби —.": (.т» ' (Ы, а,а (2.,а 2. Разложение функции сйх в пепнукт дробь. Используемый в этом пункте способ разложения функции Сйх в цепную дробь был предло»тлен Ц!лемильхом т лля разложения в пенную лробь функции 18:с.
тт !'ассмотрнм функпню р = ей ьтх для значений х ) О. Очевидны т и.— Луютпие тождества, получаемые последовательными дифференцированиями датитой функции и простыми преобразованиями: 2ьГт, Лз'.= з)тьтт, 2ътхутн -1- Р— 9 .=-О. тттх 2»ттх ') Б с 1» ! о пл т ! < Ь О. Ге!тет т!еп Ке!Ьетт!ттттсй !Ет !8х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
