Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 67
Текст из файла (страница 67)
8 2. Направление выпуклости графика функции Предположим, что функция 1'(х) днфференцируема в любой точке интервала (а,)г). '1огда, как установлено в п. 4 8 1 гл. 5, сущеслпвует, касотелысая к грифпку функции. у = ! '!х). »»роходяСиая Чсрсэ Ли»буиг тОЧКу М(ХЛ Г(Х)) Сгнгвгег гргфиКа гса < Х < Ь), при'сем эта касательная не параллельна ) осн Оу. Определение. Будем говор»лть, »то гул»Я»ск функци»с у Г(х) имеет ни интервссле (а, Ь) оьс»гукэссгсть, »ссс»грсгвэсе»сную вниз (вверх), если график» эпюй функции в»»1»»»делах уко; за>того интервала леслсит не ниэне (»се вылив) любой своей косит»»ланой, 3 а а» е ч а»» и с. 1. '1е!»»Ин кг1»афин:кгжнт не писчее (»».л»» пе.
вы»ив) своей квеательнойа имеет смысл. ибо касательная но пг»1»ггз»г»с»з»ь»»сг осн Оу На рис. 9.7 и:гображен график функции, иа»екгший на интервале (а. Ь) выпуклость, вытравленную вниз, а на рис. 9.8 изо- ) Вместо интервала можно расссматривать полупрямукк бесско»сече»уссг прямусо и другое множество. ) Ибо угловой коэффициент ее. равный производной 1'(г), ко»сече»с,. 1 2 илпрлВ:1нние ВгйиУклОО'Ги Г1'лФикА ФУнкции 309 буажен ГРафпк фчнкднн, ггмгзк)гний вгиптк.гост!в напРав)ц)ннУю вверх. 1'ис. 9.8 1'ис.
9.7 Теорема У.~. Рели функция у = ф(х) имеет )и), интервале (а„б) конечную вцгорую производную и если зтл производная ггеоту)гг,итс)ганг) (згегголоснпгтелюга) всюду па ото,м ггптггргзалге, то график функиии у = !(х) имеет но, интервале (а.Ь) выпуклость, напривленнуи) вниз (ввг)рх). Д о к а з и т е л ь с т в о. Для определенно!'.Тп рассмотрим случай, когда вторая производная уг~~(х) ) 0 всюду на (и, Ь). Обозначим через с любую точку интервала (а„б) (рис. 9.9). Требуется доказать, что графглк функции у = 1" (х) лежит не ниже касательной,. проходящей через ТОчку ЛХ(с,у(с)).
311- пишем уравпоние указанной касательной. обозначая ее текущую ординату через 1 . Поскольку угловой коэффициент уюианной касатгазьной (' равен )т(с), ее уравнение имеетвид ) О а с х Ь х )' — 1(с) = 1 (с)(х — с), (9,5) Разложим функцию у(х) в 1'ис 99 ОК1хютностн то гкн с по форму.;и'. Чейлг)ра, беря в зтоЙ формул!1 и = 1. Пол) чим уев(О у = ('(з;) = ~(с) + —,(х — с) +, (х — с)з, (9.6) Где Остато "1)гый члРВ Влит В ч)ОРме Пгггйг)ггжг), ч '.)акл)ОЧРВО мР'кду с 11 х.
Поскольку по ус )овию ) (х) имеет вторую производную на нн гг реале (гг, Ь ), фора!ила (9.6) гя)рггв<ь111)вг) для «и)бозо х нз интервала (а, Ь) (гм. 8 13 гл. 8). ) Б выпуске 8 настояш)хо курса дгиог)ано, что уравнение прякп)й, проходящей через точку ЗХ(п, Ь) и имеющей угловой коэффипиеит Ьл имеет внп 1' — Ь = й(х — а). 310 ГеОК1етРи'тескОе исслеДОВЛ!1ие ГРАФикя Функции Гл.
о Сопоставляя (9.6) н (9.5), будем иметь у — У=> ()(х — с) . (9.7) 2 Поскольку вторая производная по условию > О вслоду на (т>, 5), то правая часть (9.7) нготрицапгельнтц т. е. для всех .т: из (а,б) у — У>Оилпу>У Пес.нзднтт!т нерва!!яство докаэываег, что ! рафик функ!щи у = 1(тт>) Всюду В ттредез!т!х ицтерва>1а (т>ч 6) л! >Кит не пи;ке каса" тельной (9.5). Аналоги !но дока>ыва!>тся теорема для слу !>!я 7' (:г) ~( О. ОО 3 а и е ч а н и т> 2.
Игпи вт!>т>ду на пттттрвале (о.. 6) 1'(2)(тг) = О, то, как легко убе..ппься, у = Г"(х) — линейная функция, т. е. график ее есть прямая линия. В ->том слъ тае направление выпуклости можно считать произвольным. Теорема У.й. Пусть впюроя производная функцьии у = 1(:т>) неттрерывна т! ттолоезсительна (отутцоттльна) в пп>нке с. 71>- гдтл сутцест»уст, такал окрест>!!>т:ть точки с.
в пределах кт>тт>- рой график функции у = Г(х) имеет вьтуклость, нштровленную вниз (вверх). Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 8.4 об устойчивости знака непрерывной функции найдется такая окрестность точки с, в пределах которой вторая производтгая 7 >2) (х) положительна (отрицат!>льна). По пр!>дыду.т!н>Й теор!,ме ! рафик функции тт = 1(з;) имеет в пределах атой окрестности вьшуклосттч направленную вниз (вверх). Такттм абра!>ом, направят>нтте выпуклостпт! граф!!ка трунк>1тттл полностью харакпп ризуется зтсаком второй ьроазоодттай этой функции. П р и и е р, Иссле.и>вать нагй>явление выпуклости графика функции у = Г'(х) = х' — Зх — 4. Эту функцию, мы уже рассматривали в пп. 1 и 4 предыдущего параграфа (см.
рис. 9.1). Из вида второй проттзводноп 2' )(х) = бз: — 6 = 6(х — 1) в!тт!'.Ка<!т, что эта прот!заплат>я !ГГ1пщатль!ьна прв х ( 1 н тпц!ожитт>льна при х ) 1. Таким образом. выттукло!ть графика функции у = — зг — дх — 4 нт>!трав.,п>на вверх на 1частктт ( — оо,1) и вниз на участке (1, оо). 9 3. Точки перегиба графика функции 1. Определение точки перегиба.
Необходимое условие перегиба. Пусть а, 6 и с -. некоторые три чи!гта, связанные неравенствами а ( с ( 6. Предположим, что функция у = 1 (х) днфференцируема на ннтерва.те (о., О), т. е. существует касательная к графику зтотт функции во всех то тто>х. абсциссы которых принадзи;жат интервалу (а,(>). Предположим, кроме того, что ТО'!КИ НЕРИ!'ИБЛ Г1'ЛФИКЛ ФУНКЦИН 311 график функции у = — «(х) имег:! Ощ)г)д!»1!)нн<и! нащ)ав>1ение Выпуклости на каждоз! Из интервалов (а, с) и (с, Ь). Определение.
Тг)чма М(с>«(с)) грггф!гктг г«>угтции у = «(х) назъгвае)пся т о ч к о й п е р е г и ба э>пого графика. если су!>геств1>ггп) п>акая окретпносп>ь точки, с оси абсцисс, в пределах которой график, функции у = и «(х) слева и спрггвг>, от, с имеепг 1нгзные нану>веления вы- м„м пуклости. На рис. 0.10 изображен гра- <1)ик функции> ихп)ющий п<зр<ь гиб в точке ЛХ(с, «(с)).
Иногда при определенны 0 с х точки перегиба графика функции у = «(х) дополнительно требуется> чтобы укгланный Рнс. 9.10 гутфик всн>ду в пределах достито'гно мал<>й окрестноспги точки с ти абсцисс слева и спрохяг огп с легяса, г по розные сто!ины от, касательной к э)ному графику о точке ЛХ(с< «(г:)). Ниже мы докажем, что зто свойство будет вытекать из данного нами определения в предположении, что производная «(э:) является непрерывной в точке с.
Докажем следующие две леммы. Лемма 1. Путоь функция у = «(х) имеет производнун) «'(х) всюду о б-окреспмг>сти точки с, причем эта произвг>днг>л непрерывна в точке с. Тогда, если, г1>афик функции у = «(х) имеет )иг инте!>вгглг> (с, с+ б) вьигуклосгпь, нгпц>овленную вниз (вверх), то всн>ду в ггредезгг>х интервала (с, г + б) этот график ,леэн))гт не низ>се (не въшле) касапгельной к графину, проведенной в тг)'гкг) ЛХ(с, «(с)). Д о к а з а т е л ь с г в о.
Рассмотрим последовательног<ть (х„) точек нятервала (с, с+д)) сходяшуюся к точке с. Через каждую '1о !ку ЛХ (х «(хв)) графика функции у = «(х) щ)авелем кагч)тхогы!ую к этому графику. т. <). 10»гмую ') у' =,«(хп) + «'(х)Пх —:)и) Так как по условию график функции у = «(х) имеет на интервале (с,г:+ д) выпуклость, паправлеиндпо вниз (вверх), то для любого номера и и любой ф и к с и р о в а н н о й точки х интервала (с> с+ д) имеем «(х) — У„= «(х) — «(хп) — «'(х,')(х — хн) > 0 (< О). (э) й1ы используем уравнение прямой, проходящей через даннуго точку Аг„(х„.
Х(х„)) и имег<)пгвй ) гловой коэффиииепт. Равный Х (т„). '1е«у!гого ординату этой прямой обозначаем через 1;,. 312 ГеОметРи'!ескОе исследОБАние ГРаФика Функции Гл. 9 Из 1(с1ОВН)1 непрерывносте( «(х) (и т(511 Оолее «(х)) В точке с и из опре„поп)ния непрерывности нз п. 1 3 3 Е.ч. 4 вытекает, что суп((5(:твует' пролез! „1 -,(«(х) - Уп) = п1 («(х) - «(х.) - «'(хпнх - х.)) = = «(х) — «(с) — «(с)(:г, — с). Из существования по(шелнего предела в силу неравенства (*) и т(.Сремы 3.!3 из 3 1 1л.
3 поз)уче)м, ч)о «(х) — «(с) — «'(с)(х — с) > 0 (< 0). Если обозначить через У текущую ордпнату касательной (9.5), проходяшей через точку М(с,«(с)), то последнее неравенство можно переписать в виде: «(Гг) — У > 0 (( 0). Итак, переходя в неравенстве (ь) к пределу при и — Е оо и исполь)уя Ееорему 3.13 из пз. 3, мы получим. что «(:г) — У > 0 (< 0) для любой фиксированной точки х нз интервала (с., Г:+ й), причем У обо:)пачает текушу(о ордипату касательной, проведенной пгр((з точку М(сГ «(с)). Лю1ма док(1сп1на.
3 и и Р ч и н и Р. Ана)10гичнО фОрмулируетсе( и дока()ъ|Вается лемма 1 и для случая, когда график функции имеет опреде- лРне10Р напр(1втееп(е Выпуклости нР, на пе1тРОВале (с,г+ ()), а е1а интервале (с — (1, с) Лемма 2. Пусть функция Гу = «(х) ил(ест, производную «'(х) в некоторой окрестности точка с.
Г(ричсм эта, г)р()изводнпя е(ег)ре7)ГГ(вн() в )по екг Г. Тогд(1, если гр()фик функцпм у = «(х) имеет п()региб в точк(: М(с,«(с)), то в пределах достаточно малой Г)-окр()стн()(гт(Г, точки с зевот график слева и справа, о)п с лсеяс(57п, по разньге с)ПГ)роны Г)п), кп((ппхльноп, 117)Г)Г)Г)д(5)н(Г)Й ч((р(5(5 пп).ппд Я(с, «(с)). Для д о к а з и т Р л ь с '1' в а атой леммы следун( Выбрать й > 0 настолько малым, чтобы на каждом из интервалов (с — ().
(5) и (с, с+(7) график функпии у = «(х) имел опр( деленное наврав и-ние вьшук чо(тн (что направление бу о г различным на ннт(рва.,)ах (Г: — д, с) и (Г:. с+д)). Пони( и)ого дл)1 деканат(.)ьсгва леммы 2 остается применить лемму 1 к функции у = «(х) по каждому и) интервалов (с — б.с) и (сГс+ д), Лемма 2 позволяет пам установить необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой в данной точке функции. Теорема 9.6 (необходимое условие перегиба гра4ика дваз(еды дифференцируемой функции).
с(ли фуякцня у = «(:г) имеет в то Вкс с вторую проазводнун) и график этой функции имеет перегиб в точке М(с, «(с)), то «72)(с) = О. точки пи кгиьл гвлаикл эь икции З1З Д о к а з а т < л ь < т в о. Пусть. как и в),п)п).. У ордината касательной У = ~(с) + ('(с)(х — с), проходящей чер)н точку графика М(с, )'(с)). Рассмотрим функцию Г(х) = )'(х) — У = ~(х) — )" (с) — ('(с)(х — с), равную разности ) (г) и линейной функции ( (с) + ) '(с) (х — с) . Эта функция г (х), как н фупкпия ) (х), имеет в точке с втору)о производную (а потому имеет первую производную в некото1)ой ок))с<тиос)т) с. п1))) п)м э)а ~)е))вг)я ))1)оизволная не))))е)))явна в точке с). В силу леммы 2 в малой окрестности точки с Г~)г)фик функции у = Ях) .п)жит слева и сп$)))вг) от г по ~)Взныв стороны от касательной, проходящей через точку М(с,) (с)), а следователь)п).
~))ункция г" (х)) в малой окрестности точки с их)ее)слеваисправаотс разные знаки. Стало быть, функция Р(х) не может, иметь в пп)нке с локального экстремума. Предположим теперь, что ~~ 0 (с) ф= О. Тогда, поскольку тр(х) = )"(х) — )'(с)., Г~г)(х) = ~~а)(х), выполняются ус,ювия гч(с) = О, Е~г) (с) ф 0 и ф) нкция г'(х) в силу теоремы 9.2 имеет в точке с локальный экстремум. Полученное противоречие доказывает, что )й)елположение ~~а)(с) ф 0 явл)п)тся неве1)ным. т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
