Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 65
Текст из файла (страница 65)
ГЛЛВА 9 ГЕОМЕТРИт1ЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА Ф'з'НКЦИИ. НАХОЖДЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОГО И МИНИМАЛЬНОГО ЗНАт1ЕНИЙ ФЪ'НКЦИИ 8 1. Ъ частки монотонности функции. Отыскание точек экстремума 1. Отыскание участков монотонности функции. В 8 10 предыдущей славы мы уже установили ряд условий, обеспечивающих возрастассие (илп соответственно убьксание, ссвссозра; спсспсие и сссубьюаспсв) функписл «(х) на некотором интервале (аэ й). Для удобства сформулируем еще раз найденные условия: 1', Для того чтобы диффсревпируемая на интерва:се (а,й) 3 2 функпия «(т) ссе убьсвала (ссе возрау у=х -Зх -4 стпала) на этом интервале, необходи- 0 1 2 мо и достаточно.
чтобы производная этой функпии «'(х) была неотрипательна (неположительна) всюду на этом интервале. с 2', Для того чтобы дифференпиру-4 емая функппя «(х) воз1хсспсалса (убывала) на интервале (о,,й), достаточно, 'с чтооы производная «' (х) была ооложительна (отрппательпа) всюду на этом интервале. — 8 Таким образом, изучение вопроса об участках монотонности дифференпируемой фупкпии «(х) сводится к исследоРис.
8.1 ванаио знака иервссй нрсисзводной этой с«1усскцсси. В качестве примера рассмотрим вопрос об отыскании участков монотонности функции «(х) = х' — Зга — 4. 11оскольку 3 ЗО! О'!'ЫС'КАНИЕ ТОЧЕК сЭКСТРЕЫУМА )с(х) = Зхв — бх = Зх(х — 2), то, очевслднсц 7ч(сг) положительна прп — оо < х < О, отрицательна при 0 < з: < 2, положительна прсл 2 < х < +ос. Таким образом„рассматриваемая функция возрастает на каждой ссз полупрямых ( — ос, 0) и (2, +ос) и убывает на интервале (О, 2). График этой фупкпии изображен на рнс. 9.1. 2.
Отьсскание точек возможного экстремума. В и. 2 !) 7 предыдущей главы мы ввели понятие локального максимума (мстссссмсдма) функ!сии 1(;с) и установили сссобходссмосс суслов!!с! наличия у функции /(х) в данной точке локального максимума (клинимума). Для удобства сформулируем еще ра! определения и результаты, установленные в указанном пункте. Пусть функпия ) (т) определена всюду в нексп орой окрестности точки с. Говорят, что фупкпия ) (сс!) имеет в точке с локальиыб максимум (мссиссму и), если найдется такая окрестность точки с, в пределах которой значение с(сс) является наибольшим (наименьшим) среди всех др)тих зншсений этой функции. ,1окальный максимум н локальный минимум объедсснясотсся общим названием экстрелсум.
Следусощая теорема, устанавливает ссеобходимое условие эксгпремулса дссфферессс)ссрс!ем!!!1 фу!!к!с!с!с: еслсс фусскцсся ф(х) диффереицируела а гпо"ске с и имеет и э!пой спо исе,жстрслум, то 1"'(с!) = О. Таким образом. для отыскания у дифференпируемой функции 1(х) точек возможного экстремума следует найти все корни уравнения ~'(х) 0 (т. е. найти все нули производной 1ч(х)). Впредь мы будем называть корни уравнения с"с(:г) = 0 точками нозмосясссого экстремума функпип ! (х) ). Заметим. однако, что. поскольку равенство нулю пс.рвой производной является лишь ссеобхск)имыл ) условием экстремума„ нужно доно,шительно исследовать вопрос о наличии экстремума в каждой точке возможного экстремума. Для проведения такого дополнительного исследования следует установить достагпочиьсе условия нали сия .эксссссрсмума. к сему мы и переходим.
3. Первое достаточное условие экстремума. Теорема У.1. Пусть Осочка с явля!стоя точкой' оозлсоэклссн ео экстремума, фусскцшс )(х), и !!усть фупкцсся 1(х) дссфферсц- ) Иногда корни уссаинения 1 (х) = О назынагот сснсцшснсрнммхс, точил мхс,. ) Что это усноние не янляется достаточны я, видно хотя бы ич рассмотрения функции д = хс. Эта функция не имеет экстремума н точке х = О, н которой 1'(ссс) = О.
302 ГКОА1етРи'!ескОе исслеДОВАние ГРАФикА Функции Гл. 9 цируемо всюду и некоторой окрестности точки с. Тогда, если и пределах укаэанной окрестности пропэоодпал «(:г) полоэчсптельпо (отрицательна) слева от, точки с и оп1рси1отель11и (гголоэклгп1хльно) ег1риоо, от, наг 1по функция «(х) пмеегп о точк~ с локилькый максимум (минимум). Если эке проиэооднол «'(х) пмеаги одоп гх гиогл эюе знак слави и сгцх~оо опг гиочкп с, пго экстремума о точка с пот. Д о к а з а т е л ь с т в о.
1) Пусть сначала производная «'(х) в цределак рассматриваемой окрестности положительна (отрицательна) слева от с и отрицательна (положительна) справа от с. Требуется доказаты гто значение «(с) является наибольпцим (наименьшим) среди всех значений «(х) в рассматриваемой окрестности.
Обозначим через,го любое зна гение аргумента из рассмагриваемо11 окреи1цости, отличное от с. Достаточно доказать, что «(:) — «(х,) > и (< 9) Функп1ия «(х) дифференцпруема (а стало быть, и непрерывна) на сегменте [с,ха~. Применяя к «(х) по сегменту [с.ха] теорему 8.12 Лагранжа, будем иметь «(с) — «(:го) = «'®(с — хо): (9.1) где ~ некоторое значение аргумента между с и хо. Поскольку производная «'(~) положительна (отрицательна) при хо < с и отрицательна (положительна) при ха > с, правая часть (9.1) полг1жительна (отрицательна).
2) Пусть теперь производная «'(х) имеет один и тот же знак слева и справа от с. Обозначая, как и вьцце, через 1га любое значение аргумента, отличное от с, и повторяя проведенные вылив рассуждения, мы теперь докажем„что правая часть (9.1) имеет розные знаки при ха < с и при ха > с. Это доказывает отсутствие эксгремумг1 в то"1ке с. Вытекающее из теоремы 9.1 правило можно кратко сформулировать так: 1) велас при перез;оде через дапну1о пючку с ооэмоэю1юго экстремума иропзооднил «'(х) лииихт хаак с плнгсн но минус (с минуса но, плзос), то функция «(х) имеют о точке с локальны11 микс1гмум (лиц1имум): 2) если э1га при переходе чхреэ диппукг точку с оозмоэюпого экстремума иропэоодпал «'(х) цс менлеп1 эпики.
то экстреэиуми о точка с пот.. П р и м е р ы. 1) Предполагая, что консервная банка имеет форму круглого цилиндра радиуса г и высоты 6, определить, при каком соотношении между 1 и 6 консервная банка с постояннои площадью полной поверхности имеет наиболыпий ооьем. Обозначим площадь полной поверхности консервной банки через Я. Тогда 2ягз + 2кгЬ = Я = сопв1. (9.2) зоз О'1'Ы1'КА!1ИЕ ТО'1ЕК 1ЭКСТРЕЫУКЛА 'з 1 — 2) 5 ) Решенная нами задача показывает, что в интересах экономии жести целесообразно изготовлять консервные банки с высотой.
равной диаметру. Из это!-о равенства находим, что 6 = — — г. 5 2 т!. Таким образом, мы можем выразить объем гг консервной банки как функцию радиуса г: И = лт 1! = — г — ят' . Задача сведена к а 2 Я .з отысканию максимума функции Р (г) = — г — тсг' . Приравнивая 2 нулю нро!лзвОдну!о И (T) = — — 37!T и у"пггыеая, "!То !' ) О, Я 2 находим точку возможного экстремума — (9.3) Хотя по смыслу задачи ясно, лто единственная точка возможно!о экстремума является точкой ллаксимума функпии И(г), мы можем строго убедиться в этом, используя теорему 9.1 и заале- l о,,'21 чая, что производная И (г) =- зл !у — — г ) положительна при (,б г < /У/блг и отрипательна прп г > ~„IУ/блг. Установим теперь, прн каком соотношении между радиусом г и высотой 6 реализуется наиболыпнй объем И(г) консервной банки.
глт!я этого у=(х поделим ралзенство (9.2) на !а и в правой части полученного при этом равенства воспользуемся соотношением (9.3). 6 Прн этом получим — ' = 2, т. е, 6 = 2г. 7' О 2 х Таким образом, напболшпиш обвеял буде!а у той консерв>!ой банкгн у которой высота ран!си диаметру ). 2) Найт|л точки экстремума функпилл у(х) = (х — 2)'. Поскольку 1'(.х) = 5(х— — 2)', то единственнон точкой возможного экстремума является точка х = 2. Так как 1 (х) положительна, как слева,так и справа от этой точклл, то функпия 1'(х) = (х — 2)" вовсе не имеет точек экстремума (график функции 1 (х) = (х — 2)5 изображен на рллс.
9.2). 4. Второе достаточное условие экстремума. Инолда вызывает затруднение исследование знака первой производной 1~(х) слева лл справа от точки возможного экстремума. На этот случай мы укажем дру! ое достаточное условие нали шя экстремума в данной то лке с возможного экстремума, не требующее 304 ГеОх1етРи'!ескОе исследОвяиие ГРЛФикл ФУикции Гл. э и«;)сдовйния знакй «)(:!)) в Ок1юс:тиос:тн с:, но зйто п1)сдпо))огс))оси!с. С)упцес:твова)лис в и!очке с: о)пличнои о!и )хулл конечной в)порой производной «) )(з)). Теорема 9.2. Пусть функция «(и) излеет, в дщсной точке с возмоэссного экстремуме. конечнух) вторун) производнух).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
