Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 69
Текст из файла (страница 69)
На о< новании теоремы 9.1 это означает, что функпия 1'(<с)) имеет лоюсльный ми<п<м) и в то ске с, Итак, для сл) сая 1(а~ )(<) > О вторая часть теоремы доказана. Так как <ыу сай )(с) ( 0 рж;сматрссва<ст<Я сов<'.рпп)нно аналоги!Но, то теорема пол<юстью доказана. П р и и с р. Исследовать на экстремум и пер<сгиб функцисо 1(<с)) = — (:г — с)п+ . Ппгхо видеть, что !'(<с) =- г< (с) .=- ... .= 1 (и) (с) =- О, 1'(ит'') (с) .= (и, + 1)) > О. Согласно теореме 9.9 при "свтном (и, + 1) функция имеет минимум в точке <с = с (рис. 9.12), а прп нсчгпсном (и+ 1) график функции имеет пер<сгиб в точке М(с, 0) (рис, 9.13).
ремой 9.2., то достаточно провести доказательство для н е ч е тного п>3. Пусть нечетное и удовлетворяет условию и > 3. Ра;.<и определенности, проведем рассуждения для случая ~("~~)(с) > О, ибо для случая Г(" ~1)(с) ( 0 они проводят<в< аналогично. Из )иловия ('(и")(с) > 0 и ис теор<)а<в) 8.9, примененной к функции 1<а)(и), вытекает., что эта функция 1<п)(т) возрастает в точк< с.
Поскольку. кроме того, 1(")(с) = О, то это озна сает, что на<1двгсссл доспсаточио молол окрест)<ость точки с, в прсделат, котороп 1(")(л) опсрицательна слева оп), с. и полонен)пальни ссср<с<и) от с. Заметив это, разложим функцию 7'(<г) в окрестности точки с по формуле Тейлора с остаточным членом в форме,.1агранжа. Мьс получим, сго для всех л из достаточно малой окрестности точки с между с и <г найдется точка р такая, что 318 ГЕОМЕ1'1'Иа!ЕСКОЕ ИССЛЕдтОВАНИЕ ГРАФИКА ФуИКИИИ ГЛ. 9 Рис.
9.12 Рис. 9.13 '9' 5. Асимптоты графика функции Определение 1. Говорят, что прямая х = а являепгся в е рт, и к а л и н о й а с и м и и о т о й графика функтрти у = «(т), если хотя, бы одно из ттредельнлях значений 11ш «(х) или 1шт «(т) х-таЕО х-та-О «(г) = йх+ 6+ и(х), (9.13) где 11ш и(х) = О. х — теса Рис. 9.14 равно +ос или — ж.
1 П р и м е р. 1 рафик функции у = — имеег вертикальную 1 1 асимптоту х = О, ибо 1пп — = +ос, 1ш1 — = — оо (рис. 9.14). х — тО-то х х — >Π— О х П1)едпологким далее, что фуикт1ия у =- «(х) огйгеделеиа для сколь угодно больших значений аргумента. Ради определенности будем рассматривать сколь угодно болыпие значения ттоло:иситпел ьного знака. Определение я. Говорят, что пряма.я У = )ах+ и (9.12) явллетпся наклонной асимтттотпой графика функции у = «(х) ттра х — т — т +со, если функция «(х) представимо в виде йСИМПТОтЫ Г1 йсрИКя Ез НКцнп Теорема 9.10. Для птга чтобы ерсгфгхк функгрвлз у = )'(х) имел при х — + +ос наклонную асимптвту (9.12)г необходимо и достаточно, чтобы суи1еставовалгг двв, предельных значения 11ш — = Л: и 1пп (1'(х) — йх) = Ь.
(9.14) П ') х — г--, 'ос х хт-Гоо Доказательство. 1) Необходимость. Пусть график функции у = ) (х) имеет при х = +ос асимптоту (9.12), т. е. для 1(х) справедливо представление (9.13). Тогда Пх) Г й. Ь 1 ) 1,п (В + ь + )х)] х — г-';ж х х — Г-~-м х 1шг (1(х) — Йх1= 1зш (6+сг(х)) = Ь. 2) Достаточность. =2 -1+— Пу,„,уп„,,ву,о, п!и,дельные зиа ~ у у=2*-1 х+1 пния (9.14). Второе нз этих прс, х= — 1~ дельных значений дает право утверждать, что разность 1(х) — )сх — 6 является бесконечно малой при х — г — + + оо. Обозначив эту бесконечно малую через а(:с), получим для 1(х) , 'о представление (9.13).
Теорема дока- х чана. Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 9.10 и д;гя селу "шгг:с — + — с:с. П р и и с р. График функции 2х' ч- х 1 У = ' = 2х — 1+ имеет х+1 х-Г! наклонн)чо асиапгготу У = 2т — 1 и при х — 1 +ос, и при х — ~ — оо и, кро- г г-ч, ме того, имеет вертикальнукз асимптоту х, = — 1 (рнс. 9.15). В самом деле Рис. 9.1б 1пп — '= Ггш ' " =2, Г(х) . 2т -~- х х — г — 'оо х х — гтсо:г(х -~- 1) !пп (Г(х) — 2т:] = 1пп [ — 1+ — 1 = — 1.
1 т — гз.ос х-г 1-м т+1 1гш 1 (х) = +ос, 1шг 1 (х) = — ос. — ЬЬО ' ",— -1 — О Наряду с линейной асимптотой (9.12) рассматривают также и асимптоты более сложного вида. Говорят, что парабола и-го порядка, определяемая многочленом 1 = о„х З- а„ вЂ” гх и .., + агх + оо, (9.12*) 320 Геоме'1'1'и'!еское иссй!едонлпие ГРАФикл Фсункции Гл. 9 является осижптотой графика функции у = 11х1 при, т — ) +ос, если функция 11х1 представима в виде 11х1= оох" +о.„.)х" -)- .+а)х+оо+о1х1) где 1пп о(х1 = О.:1егко доказать следуя)с)сее утверждение. — ) -!-. Длл п)ого ")тобы график функции у = !1х~! имел при х — ) -)-оо аси.итпоту (9.12 1. необходилсо и достато тт чгообы сущсствоваг)и следующие т) Ф 1 предельных значений) У(х1 .
11х1 — а„х" !пв = а„, 1пп, = а„ т" х" у(х1 — (а,)х" -Ь о„. )х" -1-... Ф а, х ! 1)т а), х !пп )с) с)х'1 — 1а„х" э а„) х" +... + о) х11 = ао. й 6. Схема исследования графика функции В этом параграфе мы изложим схему, по которой целесообразно щ)оводить исс;!едогание Графика 11)ункции) и приве)теа! г!рил!ер, ил,пострирующий эту схему. глт)Я Ка !С!СТВЕННОГО ИСШН)ДОВ!1НИЯ ГРафиКВ 11)УНКЦИИ Р = 1 !Х! целесообразно прежде всего провести сыедующие исследования: 1'.
Уточнить область задания функции. 2'. Выяснить вопрос о существовании асимптот Свс)ртика )ьных и наклонных~, 3'. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума. 4'. Найти облш)ти сохранения направления выпуклости и точки перегиба. 5'. Найти точки пересечения графика функции < осью Ох. По полученным данным леГКО СП)онтсэс эскиз)рафика 11)ункции. В качестве примера построим график функц!ш у = 2хс) — бсг -!- 14х — б !9.15! 4х' Будем цтедовать изложенной выше схеме. 1'. Поскольку функция 19.15) представляет собой рапш)нальную дробь, то она определена и непрерывна всюду на бесконечной прямой, кроме точки х = О, в которой обращается в нуль знаменатель.
2'. Выясним вопрос о с ушествовании асимптот. Очевидно, что 2ха — бх' + 14х — б г х — ) О+.0 г поэтому график функции имеет оерспикалгоы1!)о асскмпрюшр х = СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ Г!'АФ14КА ФУНКЦИИ 321 = О. Дсслс'.е, из с5 си!!отпевания прссдсслов 5 14 2,з -, я+14 6 2 — — -!- —, 11п111п1311п1 х — сХж х х — с='-оо ч х — ст~ 4 6 2' т1 . 2тз — 5хз Ч- 14т, — 6 — 2хз 1ш1 ~(х) — — ', ~ = 1пп и т кос 2:т, к! оо ~ 1-) — -~ = 4хз 14 — 5+ 11111 х — со-ж 4 т — 7х Ф 6 (т, — 1)(х — 2)(:т -1- 3) 11/ 2 2 Имея в виду, креме того, что сама функция п первая производ- ная не сушествуют при х = О, мы получим следуюшпе области сохранения знака !!'.
Из приведение!3 тао.шцы очегидно, 1то функция насест ск111- дусошие то ски экстремума: 1) максимум при х = — 3, причем !'( — 3) = — 49,712, 2) максимум при х = 1, причем 7" (1) = 5,14, 3) минимум при т, = 2. причем 7'(2) = 9 18. 4'. Для нахождения областей сохранения направления выпукло! ти вычислим вторую прои!водную о') 7 х —— 121 7х — 9 1, 7! !/ Имея в виду, что сама функция и ес производные цс существ1.- ют в точке х = О, мы получим следусощие области с:охранения знака 91 ): 11 В.А. Ильин, Э.!1 Позняк, часть 1 вытссюгет, что и прп х -+ +ос, и при х -1 — оо грас11ик фснкцпи т, о имеет накхсонн111о пса иятотр 1 2 4 3'.
Для пахождесшя областей возрастания и убывания вычислим первую производную функции (9.15) 322 Геомети4неское исследОНАние ГРАФННА Финкции Гл. 9 г1з приведенной таб;пщы очевидно, что график функции имеет перегиб в точке (9/7, /(9/7)).
Легко подсчитать, что /(9/7) = = 913/756, 5'. Остается найти точки пересечения графика с осью Ох. Эти точки соответствуют вещественным корням уравнения 2х~ — 5х~ + 14х — 6 = О. Легко видеть. что 2х' — ох +14х — 6 = 2(х — -/(х — 2х+6). По- 3 и 2 °, Г 11 2 скольку квадратный трех тлен (х~ — 2х + 6) имеет комплексные корни, то рассматриваемое уравнение имеет только один вещественный корень х = 1/2, так что график функции пересекает ось Ох в точке (1/2,0). По полу таиным данным строим зскиз графика рассматриваемой функции (рис. 9.16).
Рис. 9.16 отыскании экстрнмальных знйчнний 'й 7. Отыскание максимального и минимального значений функции. Краевой экстремум 1. Отыскание максимального и минимального значений функции. Рассмотрим функцию у = 1(х), определеннук) и непрерывнусо на сегменте [о„Ь]. До сих пор мы интерес:овались )1ип1ь От1.«:ка)пп;и локальных максимумов и ми!пгк!умов этой функции, а теперь поставим задачу об отъсскании .лсакоамальноао и гиинилсалоного значений Е(х) на сегментс [сс,Ь]. Подчеркнем, что в гилу теорексы Вбери)трас)са (см. 8 б гл.
8) функппя 1 (х) обязательно достигает в некоторой точке сегмента [а, 6] своего максимального (минимального) значения. Ради опредсленноссти остановимся на отыскании максимального значения 1(х) на гегменте [а,Ь]. Максимальное значение с])ункции 1(х) может достигаться либо во внутренней точке хо сегмента [а, 6] (тогда оно совпадает с Одеп1м из локасп е1ых ъ«1ксимумов с[)ункции ) (х). см. рис. 9.1 с), либо на одном из концов сегмента [а, Ь] (рис. 9.18). Отсюда ясно., что для нахождения максимального значения функции 1(х) на сюгк«)нтс) [О,Ь] ну)кно с:равнпть мс)жду собой зн)1 «)ния 1(х) во всех точках локального максимума и в граничных точках сегмента а и 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
