Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 73
Текст из файла (страница 73)
1. Свойство равномерной непрерывности функции. Определение. Фу!!к!сил 1(х) эсизывиется р и в и о м с р и и н с и, р е р и в н о й на мэсоэасеспгве (х) '), еслгл для любого гсолоээсигэ!ель!лого числа е мази!со укизиьть тиков полсоээсигпссьнае д, загилсясйес только опс е. ипо с)ля любых двух! эпа"эек х' и, ха мнаээсества, (х), удовлстворяюиуих условию ~ха — зэл~ < д, вьтолнлснсся эсе)эивеэссггсвеэ / ((хп) — 7(х')) < е. 3 а и е 1 а н и е. 1'лавное в этом определении то, что для любого е > О найдется 6 > О, гссраээгээсс)эунэи)се выполпюсис эсе)хлве«ство /7(хл) — 7(х')/ < е сразу для всех х' и ха из мноээсетпви (х) при едьясствеигном условии )ха — сс'! < б. Для разьяснения свойства равномерной непрерывности рассь!Отрим с,!еду!ОН)иел приме)ры: 1) Функция 7'(х) = улх раеисомеуэно непрсрывни на полупря- МОЙ х л )1.
В са."сом дег«;, по те.еэресые;.11)гранжэ) имеем д.!я лпобых :г') 1 и хи >1 !Х( а) —,Пссз)~ = ~у'(С)~ 1: "— зл~ = )ха — х'~ < -~хз' — хл~ 2У)Е 2 (ПОРЧЕ!ДНЕ!Ез НЕ)РВВЕ)НС1ВО ВЫТЕ.'КаЕТ НЗ Т010, '1ТО э' ЗВКЛПО*«!НО ЫЕ'.Ж- ду х' и сс", н поэтому С > 1). Следовательно, е пти по дашюму е ) О выбрать .побое д, удов.,!створ)пощсе усчовию О < б < 2е, то при /х — х / < Э выполняется неравенство /1(ха) — 1(х )/ ( ') Ири этом нрслнсссагасзси, гго множество (х) плотно в себе (см.
Конон з 3 гл. 2). ош кдклкнный ииткп ал ГЛ. 1О < е, т. <.. на множ<4стве х ~ )1 <р1ч<кц«я 1(:<:) = ~~~ 1завномсрно непрерывна,. 2) Функция Г [х) = хэ не явлленил узивнол<ерно непрерывной на множ<.стае х > 1. Достато <но доказат<н <то д.ля некото1юго е > 0 нельзя выбрать б > О, гарантнруюгцего выполнение неравенства [2(х") — 1(х')[ < е для всех хо > 1 и ха > 1 при елинственном ус,<овин [:с' — х'[ < д, Л!ы докажем„что на самом деле даже д.ля любого е > 0 нельзя вьюрать указанного вылив д. Фиксируем е > 0 и рассмотрим люоое положительное Б.
Выберем х > —, х = х + —,. Тогда [х — х [ = — «1. Исполь:1уя < а ! д в ! д 6' 2 ' 2 теорему Лагранжа, получим Так как ~ заключено между х' и х", то < > —., и поэтому из послодн<в о равенства вытекаег неравенство д [~(<х ) — 1(х')[ > е! хотя [х" — х'[ < д. Таким образом, функция 1'(х) = хв нс является равномерно непрерывной на множестве х > 1. 1 3) Функц<ля 1[х) = вш — не является, 1юеноме1!но непрерывной, на интервале (О! 1). Докажем, что для любого е, удовлетворяющего условиям 0 < с < 2, нельзя указать б > О, гарантирующего выполнение неравенства [г" (х") — г" (хз)[ < е < 2 для вс<х х' и хл из интервала (0,1) при единственном условии [х" — х'[ < 6, с1тобы убедиться в этом, достаточно положить х 2 и ! (41<+ З)к в 2 х = и для любого д > 0 выорать й столь большим, что (4к+ Ц.< [и" — х'[ < б.
Для указанных точек х' и х" при любом й разность [1'(хз ) — 1'(<г')[ =- вш — „— вш —, = 2 > е. Докажем стедуюшую ос!к!вийю теорему. Теорема 10.2 [п<еорема о равномерной непрерывности). Н«прерывная но сегменп<е [о,. Ь) функ<1<!ма 1(х) равномерно 'неуц)ер!ь<вио !<о аулом сеем<Р<пиь Д о к а з а т е л ь с т в о. Прелположим! что непрерывная на сегменте [о, <!) функция 1(х) не является равномерно непрерывной на этом сегменте.
Тогда для некоторого е > 0 не вьшо.шяются условия. сформулированные в определи<и<и равномерной непрерывности. с!То озна <ает, 1то для указанного е > 0 и л7обого положитс.<п ного п<сла д на с<ггментс [о,, 6) найдутся точки никоторыи кллссы иптигьчп жмых к акций 339 таки<), что [;с —;») ] < с, но [«(гп) — «[хх)] ~) г.
Пос)т<)- му для каждо)п) б = 1»»гс, и = 1, 2,..., найдутся точки х,', и х",, се!мента [а'6] таки<" сто ]хп хп] ( 1»»7) нО [«[»» ) «[яп)] ~) ) )г. В)к кпк 12 ) послед<)вательнОсть то ик сегмента [а, 6], то из нее, согласно теореме Больцано Вейерсптрасса, можно выделсссь схо.<)пцуюся к некоторой точке с этого сегмента по;шо< п)довательность )22~, ) [сл!.:)ам<п<анссе 2 п. 4 3 4 гл. 3). ОчевидСИ), СИ);<ПО<:П<)ДОВЯТЕЛЫСОСП ):С~» ) !СО<)л<)ДОВатЕЛЫСОСТИ ];»„') ТЯК- же сходится к с.
Так как функция «[х) непрерывна в точке с, то пределы последовате.сьностей 1«[хь~ )) и 1«[:с~, )) равны «(с), и поэтому последовательность ]«(х~~ ) — «[х~л, )) является бесконечно малой. Но этого не может бьгг»п поскольку все элементы «(2~~ ) — «(хь~ ) указасшой последовательности удое„сетворяют неравенству [«(хд ) — «(22~ )[ > г.
Такил< образом, предположешс<', О том, Г!'О )се!!с)ерссвссс)5! на перли)сс'ге [а, 6] фу'нкция си' явл)!- ется равноморно непрерывной, ведет к противоречию. Теорема доказана. Следствие. Пг»сг»сь <«)у)!к<»г»я «(х) гюпрсрыи)»а на ссгмсг)тс [О,Ь]. Тогди длл лн)бого 7)олоп»сг»»палы!ого гисли г моп»с»со указ<гав »никос й > О, "»то на ка»ждом 7)ргсгсид»сепя:аг»1ем сегменту [а,Ь] чисти"псом ссгмсгсгпс [с, д], длани <К вЂ” с которого мы!пиле 6., калебас<ос а) ') <«)у»гсклйии «(х) мснъгис г До к аз атил ь от в о.
В силу то)сько что )!оказанной теоремы непрерывссая на сегменте [а. 6] фуш<ция «[х) равномерно непрерывна на этом с<)гменте, Поэтому для лк)бого г > О можно у ~азат~ 6 ) О тако<), сто дл5! лсооых х' н хи и) с<)гьи)нта [а. Ь', удовлетворяющих условию ]х' —:с'с «), выполняется неравенство [«(хп) — «(*')[ < с. дока)к<)м, г»о на каждом яр!<с<с)5<»се)касс!ел! сегменту [а. 6] частичноу! сегменте [с,д]., длина д — с которого меныпе указанносо 6, ко:и)бание и) функции «(х) меньше е.
В свмом д<):и., поскольку <1)ункс<и)с «(2) непрерывна на <2)гмент<) [с, д], тО на этОл! с<'.Гменте можнО )»казать такие то'!ки х и 2: сто «(2 ) = гп, а «(хи) = ЛХ, гд<) гн и ЛХ то сньи; ни)княя и си)12хс<5<5! грани «[х) ня сегменте [с. д1 [см. теорему 8.8). Так как [:»: — х ] «) [ибо длина сегм<нтя [с,д] меньше с), то [«[»с )— — «(22) ] < г. Но «(хя) — «(:»у) = М вЂ” 7»! = ы. Поэтому и) < г. 3 а и е ч а п и е. )Инпжсствп 1) ) »очек числовой прямой паяыпаенж гпл)кггутыя<, если пно сптержит вес свои предельные точки 2). Справедли- ') Нано)шил». чтп к<желание)и функции Хся) па ссглсссст< [<,<») называется разность М вЂ” гп между точной верхней и точной нижней гранями <1)упкпии Пх) па зтпм с<»менте.
Я) Определение вреде.и<ной точкс< мгюжсства дано в и. 6 я 2 гл. 3. ОШ ЕДЕ711:1П1Ый ИНТЕП йд ГП. 1О во еле,!ующее утверждение. Нг>>1>ерывиая иа замкнутом ограииквиипл! миосюгстве (х) фуикцсзя 7(х) равиоллврип непрерывна иа,этиом множестве. Доказатслы'тво этого утвс'рждения апалоз ичпо дока:затсльгтву т!'оремы 10.2. 2.
Лемма Гейне Бореля. Другое доказательство теоремы о рави!>мернс>й непрерывности. Точка х мнспксгтва (х) пазывастгя виту!тире!!- Ней тиочкой этого множества. Ссгпт онз припад, !ежит некоторому интервалу. все гочки которого щ>ипа,шежат множеству (х). мпо>ксгтво (х) Вазьпзастся отиь7>встиьслт. Сели все точки это~о множества внутрсвпие. Ь1ы бздсм говорить. что дщшпг лтиожество (г) покрыто ситиемой Б 07икт>ы777ых м7ысжгс7ив ), сслт! кыктия тОчки и это!О множсства припали!' жит по крайвсй мере одному множеству сигтсмы Е.
Докажем съюдующукз лемму. Лемма Гейне — Вореял з). Если сегязеит [а.Ь] покриви бгскот!воюй систсятмой Х открытых мттозсс>гсттссз, тио из зтипй гл!спммы моисио виделитжь коиемиуто подглсииглпт Е ллипзтсгспяв. Кптиороя тиакже покрывает сегллгит [а, Ь]. Д О к а з В т сз л ! с т в о '). Пу~~~ (х) — я!!!аж!!с:тво ~~~~~ Го и:к сегмпнтв [а, Ь]. что осли х прива;можит этому мпожествь. То сегмент [а.х] покрывается некоторой кош' шой по,к'истомой Б мпожш'тв системы Х.
Докажем, что ыножссгво (х) совпадает с щтментом [а.Ь]. Так как точка а покрыла Некоторым множеством системы Е и зто множество открьпоо„то оно покрывает также пскоторьш сегмент [а, х], вс'с точки которого, согласно вьпшх казапноыу. прина,1лежат ыно»остах (х). С1по>ксзс7тво (х), очевидно. ограничено. Пусть з: = вор (х). Убедимся, что х принидтежит мпожс ству (х) и что х = Ь. В самом де>к, У покрыто некоторым мпожеспзом систеыы Е и, следовательно, этим жс ъптожсством покрыты вес точки пс'.которого интервала (т — г, х -~- г). Так как у = вор (х).
то имек>па точки множества (г). как угодно близкие к У, и поэтому найдется точка х' этого ъшожсгтва. принадлежащая интервалу (х — г, х -~- г). Из определения ъшожсетаа (Х) ВЫтСКаст, Чта ССГЪВ>НГ [а„.гс) ПОКРЫВастек ВСКОтОРОй КОНЕЧНОЙ по,кистеыой ъ,' зшожссге гисгомы Б. Присос,тивяя к з множество, покрывакппс о точку х, мы получим кон! шую пот!системз: Е множеств системы Е, которая покрыва!"т согмшп [а, у].
с.тедовательпо. т привад.!с»си! (х). если ,топУгтиттв что х < Ь, то поДсигтема Е покРьтвала бы вге точки некотоРого ссгмсзпа [а. хп]. гдо х < хп < х -Е г. и поэтомз: ишка то припал.кжала бы мВОжс ствз (х). ПО этОГО Ве ътожст О1!ттв так кВк 3' тОчная вор»пят! Граш ъпюжсства (лт), Таким образом, множсгтво (х) совпадает с гсгмшгтом [а. Ь]. Леъ!ыа доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
