Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 72
Текст из файла (страница 72)
1(х). Докажем, (то 1 < 1, Пусть 1 ) 1. Тогда, 1)взнос:ть 1 — 1 есть положительное число, кото- рое мы обозначим через с, так сто 1 — 1 = е > О. Пз опреде- ления то шь)х граней 1 и 1 вытекает. что существук)т чиста У и з", представляюшие собой соответственно верхнкио и пижнкпо суммы некоторых разбиений Т' и Та сегмен(а [а., Л]. такие, что е е и 1+ — ) о и 1 — — < з . Вычипш второе неравенство из первого 2 2 и учитывая. что 1 — 1 = е, получим за > о'. Но это пог седнее неравенство противоречит свойству 3" верхних и ния(них сумм. 5'. Пус)и( разбиенпе Т' сеглсе)(та [а, Ь] получено ссз разбие- )шя Т добавле)яелс к последне(му р 7(овьы; п«)чек, и ((усть и'с о' (с в, о' еовтвесиствен)ю нпвк)ние и в(срх)с((е сулсмы, разбив(иий Т' и Т.
Тогда для разностей Я вЂ” О' и в' — ч ') мозн)ет, быть 7(олу- че(са оцшска, зав(сслщая от максимальной длшсы (2 "састичпьсх сегл(е)шшв разбиения Т. числа р добвсвлшгньсх точек и точные в(рхн(й и 7((соил(с(( 71)а)с(72 М 71 гп, ([)у)7(к()с(1(с, Х(х) 7(о, ((гл(енпсе [а, 6], ХХм(!7(710, о — о( < (ЛХ вЂ” гп)рта, з' — з < (ЛХ вЂ” 7)1)рЬ.
Для того чтобы убедиться в справедливости этого свойства, до- стато 1но Доказать Щ)ив(эшепные е1(Й)авенства ДЛЯ ()л( чаЯ, когДВ к 1)азби(сник) Т добавляе((я одна точка:1 . Пуссь эта Точка, на- ходится на сегменте [х( 1, х;] разбиения Т. Тогда этот сегмент разделится на два сегмента [х, с,х'] и [:с',хс], длины которых мы обозначит( соответственно через с.')х, И,Ьх'. Пусть ЛХ,, ЛХ( и ЛХн соответственно точные верхние грани функции 1(сс) на СС(МЕНтаХ [Х,, (.Хс], [Хс 1, Х ] И [Х', Х,]. ТаК КаК С)Х, = СЛХ; + ЬХ, и верхние суммы о и о( разбиений Т и Т' различик)тся г)ишь (.,(аг)смыми М,Ьх) и ЛХ Лх + ЛХ слх.
то о з — ЛХ,[слх + ),)(7,(7'с)(с))')(М™()'2 ') Отметим, что в силу свонства 2' эти разности неотринательны. онркдклкнный ннткгрйл гл. эо Далее, Гп < ЛХ < ЛХ, < М и т < ЛХ,'( < ЛХ, < ЛХ !), поэтому М, — ЛХ,' ( ЛХ вЂ” (и и ЛХ, — ЛХ," < ЛХ вЂ” «!.
Сл(эдовятеээьно, В— — У < (ЛХ вЂ” гп)(Ьх', + (.'(х!') = )М вЂ” гг!)Ьхг Поскольку Ьх( < Ь, то  — Ь" ~ ()ЛХ вЂ” «э,)Ь. Это !«(ргэв(эпство совпаэ(ает с пе1эвым из неравенств, п)эиведенпых в формулировке свойства 5', при р = = 1. ДОк(эззтеэ(ьств(э дл5! нижних сума! ПрОВОдитс5! Йнаг(ОГН шо. 6'. ГХе,мма Дарбр. Верхний Х и н(пэ(сэи(й Х (лэгяэег1эилы Диуэ(э(1 оэи (Хэ()э(к(э((п Х)х) по с(гмсэ(ту )и.
5] лвллнэггэ(эл спо«(ееп(сите«(еа ькэеделимив) есрхэтх и н(пээатх сумм при гл — э О. Доказательство. Докажем, например, что 1эп! о' = Т. .Ъ-эа Для случая М = гп, т. е. для случая Х(х) = с = сопв$, лемма очевидна, носк(эльку В =1 = 1 = а. Будем поэтому считать, что М ) «!. Гак кйк Х ГОчнйэ! нижняя Г)эйш мнОж(эс!'гэ! (3(!)эхних сумм, то для !побеге данно~о е ) 0 можно указать тако(! )эйзои((Ни(Э Т* С(ЭГМЕНтй ]иэ 6]э Чго В(()ЭХНяэ! СХММЙ В* ЭГОГО [ЭЙЗбИЕНИ5! будет отличаться от Х меныпе, чем на еэ(2: В* — Т < еэ(2. (10. 1) Обозначим через р число точек разбиения Т'"', лежащих строго внутри сегмента )и.б]. Пусть Т,побое разбиение сегмента )аэ Ь], максимальная длина ьэ (астичных сегментов которого ПОДЧИНЕНЙ УС;(ОВ(ПО Ь<о= )10.2) и В .
верхняя сумма этого разбиения. Дооавим к этому разоиению внутренние гочки разбиения Т~. В результате мы получим разбиение Т'э верхняя сумма В' которого в силу свойства 5' и условия (10,2) для сэ удовлетворяет неравенству 0 <  — о' < )ЛХ вЂ” гг!)1эга < е]2. )10.3) С друг(эй стороны, это рй:!биение Т' можно рассматривать как рйзоиение, полученноо в резулыйте д(эбавления к разбиешпо Та э ) Вылив. при доказательстве гвойс(ва 2', мы уя(е отмечали, что точная верхняя граш функции па час(и сегме(гга пе превосходит ее точной верхней грани па всем ге(ъ(епте. Отметим такэке, что точная пижпяя грань функции пв в(ем се!менте гп превогхотит ее точпои верхвей грани ва любой части етого с( гк(епта.
) Понятие предела верхних или нижних сумм определяетгя в полной впало! ии с понятием прэ дела иитггральных сумм. Именно, (и(ыо 1 па(эывается пределом верхних сумм л при (э — э О, (хжи для любого полоэкительлого числа е можпо указатэ, такое положительное число д, что при (э ( 6 пашол«5(ется э(о)эавовство )л 1) < е КРИТЕ1'Ий ИИТЕ1'Р!1РМКМОСТИ ФМИКЦИИ внутренних точек разбиения Т. Поэтому, в силу свойства 2'.
1<ба<о~. Отсюда следует, что 0 < О" — 1 < Я~ — 1, т. е., согласно неравен: ву (10.1)„ 0 < О' — 1 < ге)2. Складывая это неравенство с неравенством (10.3), И!мучим 0<3 — Х<е. (10.4) Таким образом, мы установили, что для любого данного г ) ) О ыОжнО Ука)ать те!к011 д ) 0 (мож1н), наприыеср., положить б = ]., что верхние суммы Я разбиении Т сегмента 2(ЛХ вЂ” Пс)Р! ' (а,()], для которых максиъсальная длина с1) части шых сегментов меныпе д (см.
(10.2)), удовлетворяют неравенству (10.4). Но это означает, что верхний инте! рал Х Дарбу являете:я пределом верхних сумы. Для нижпих сумм доказате',льствО аналогично. Лемма Дарбу доказа,на. й 3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости Установленные свойства верхних и нижних сумм позволя)от сформулировать в весьма простой форме необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.
Именно, имеет место с,!едуювдая оспе)ения. Теореьыа. Теорема 10.1. Для того чтобы огра!с!с"сев)сая на ссгме)спю !ас б] е])11нкция 1(х) бьсла ес)сспегре)1)уесме)11 на этом сегметпс., необходимо и достато ию, чтобы дл„я любого г ) 0 носилось такое рагбесс)сие Т сегмюшш (а, б], для которого Я вЂ” г (~ е. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция 1'(х) инте)гриругыа на се!менте [а, 1)]. Обозначим через 1 продел интегральных суъсм этой функции. По определению преде)!В, инте'.Рральных сумм для лк)бого с ) 0 МОЖНО указать такое б ) О, что для любого разбиения Т, удовлетворяю)пего уеиошпо сл < д, не:)ависимо от выбора точек ~! Иа частичных сегментах разбиения вьшолняется неравенство (10.5) ]1(хи 6) — 1] < г/4 Зафиксируе)ы одно такое разбиение Т.
По свойству 1' (сы. п. 2 предыдупсего параграфа) для да~~о~о ра~б~е~~~ Т ыо)кно указать че)кис'. Две) интеграл! ньн) сУммы (иными!и словами, ыожно так о»»! кдклкнный иитк! ! Ил 336 гл. »о Выбрать точки С,' и б[' на каждом »астичном сегменте [х; !. х,)), и'О Я 1(хна < ° 1(х»;с ) *' <— Отметим, »то обе интегральньн, суммы 1(х„с~) и 1(хз, б~~) удовлетворяют неравенству (10.5). Иэ соотнонн;ния Я вЂ” = (Я вЂ” 1(х.;.1,')) + (1(, «,') — 1) + + (1 — 1(:х,, (.,")) + (1(х,, ~,") — ). неравенства (10.5) и неравенств Я вЂ” 1(х„С,',) <:, 1(х,, С,,") — в <: вытекает.
что о — в(в, Необходимость условий теоремы доказана. 2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Так как для любого разбиения Т справедливы неравенства в < 1 < 1 < Я и для лк»бого е ) О, согласно условию теоремы„можно указать такое разбиение, что Я вЂ” в < с, то 0 < 1 — 1 < с. В силу произвольности с полу »им, что 1= 1. Общее зна»ение чисел 1 и 1 обозначим терез 1 и докажем, что это число 1 является пределом интегральных сумм функции 1(х). Действительно, в силу л!»ммы Дарбу (см. и. 2 3 2) это число 1 есть общий предел при Х» — » 0 верхних и нижних сумм. Поэтому для любого в м!»жно указать такое Л, что при «а < б выл!»лняются неравенства 1 —;! < С12 и о — 1 < в«»2, т. е.
при «1» < д, Я вЂ” в < в, причем в < 1 < Я. 11к»бй»! интегральная сумма 1(х»,э») данн! 'О [эйзбиеии»! Т зйклю'п»ий между верхней и нижней суммами и (1(х,. Е») ( Я. Таким образом, при 11 < д вели !ины 1 н 1(хн с») эаклк»вены ьк!Жду "!Ислами о и в, разность между которыми хн»ньпн» с. Отсюдй вытекает, »то при !а < о [1(х,,С,) — 1[ < е. Следовательно, чи»жо 1 есть предел интегральных сумм. Теорема дОказана. В дальнейшем иам понадобится несколько иная форма зй; писи необходимого и достаточного условия интсгрнруомости.
Пусть ЛХ, и »пи . точные грани значений функции )(х) на [х»-»; х',), Висло ь»» = ЛХ! — и», называется колебанием»Х»»уикиии 1(х) на с»ьгмснте [х» », х»]. Отметим, что так как ЛХ; ) гн,„то колебание и»! является неотрицательным "»ис.!Ом. Зйпин»еьл теп»!рь разность о — в в следующ»»в форме: и п и 7» Π— в = »» ЛХ»«»хл — ~~» гп,ь»хэ = »» (ЛХ, — »и!)Хохл = ~~» и»,!1»х». »=! »=! »=! е з некОтОРые к:1лссы интеГРНРУемых ФУнкций 337 ПосколькУ иэг > О и л.")х,, > О, то кажДое слагаемое в после.
Дней сумме неотрицатсльно. Можно сформулировать необходимое и достаточное условие пнтегрируемости функции в следующей форме. Для того снюбы е)эуэск11ия 7'(сг) была илнпегрирусмой эси сегменте (а„Ь), нсобходслмеэ и дос<пигпонна, чтобы для любого е > О эсисэллоегь псикос рисэлэгле.эссэе Т е савнинаи (еэ., 1)), для, конг разо и)!ля*! (~ е. э,— 1 Й 4. Некоторые классы интегрируемых функций В этом параграфе мы докаэкем интегрируемость непрерывных па сегменте функций. некоторых разрывных функций и МОнотонных функций. Дзя доказатегльстВВ интен'рируезмОсти непрерывных функций нам попа;!обиэся важное свойство непрерывных на сстмснте функций, которое устанавливается в бли- ЖВЙ!пе',и пъ'нкте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
