Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Наибольшее из этих значений и будет максимальным зеписением 1(х) па сегменте [а, 6]. Аналогично находится и минимальное значение 1(х) на сегменте [а., 6]. 1'ис. 9.18 Рвс. 9.17 Ег.си )кс;латс).льпо и)бс;жать исхпссь)овин))я то «)к возмо)«ного экстремума, го можно просто сравнить между собой значения Е(х) во всех точках возможного экстремума и в граничных точках а и 6. Нанбольпп)е (наименьшее) из этих значений и будет максимальным (минимальным) значением функции 1 (х) на сегмс)нтс'. ~[11, Ь] Отметикс да,«с), Ето ес:Еи 1(сг) насест на сегменте [а„Ь] лашь ос)ну точку локального экстремума ), явля«)шуюся точкой локального максимума (асинимуксе)), то без сравнения значения ) Именно такой случай часто кстречае) ск на практике.
11* 324 ГеОметРи'!ескОе исслеДОБАиие ГРАФикя Фмпкции Гл. а ! (х) в этой точке с 1(п) и 1 (() ) можно утверждать, что это знвч(эни(', яВля((тся мэксимв.!ьным (минимьс(ьным) знвчени('.ы 1(х) на сегменте !и, !)) (рис. 9.19). Аналогичными средствами решьэ ется вопрос Об отыскв,нии максимального (и минимального) значения функции 9 =- ('(:1)) на интервале., полуп!)яа(ой и бесконечной прямой (при УСЛОВИИ, *1ТО ЭТО:П!В'1()НИЕ СУП1ЕСТВУ- ет) О а а х Может (лучиться, что функция 1(х) вовсе н(( имеет на сегменте (О, ()) (или полупрямой а, < х < "о) точек Рис.
9.!9 ВОЗ)Н) 'КНОГС) ЭКСТР(ГВ1у)1В. В таком случае 1(х) является монотонной на этом сегменте (полупрямой) и ее максимальное и хпшимальпое значения достигв,ются на, концах этого сегмента (на конце этой полупрямой). Этот шн (едний случай мы проиллюстрируем физическим прим(й)ом. Пусть требуется определить.
какое сопротивление х ну)кно Вклн)чить В цепь ПО(л((доввт(льнО с дйнп(1м сопротивле— нием г, чтобы на г выделилась наибольп(ая мощность (при этом напряжение еа батареи считается постоянным, см. рис. 9.20). По :закону Ома ток 1 в цепи равен 1 = ()а/(1'+х).
Стало быть, по тому же закону падение напряжения 1)( на сопротивлении г равно пг = 1г = ва(1(г+ и). Таким ьа ! ооразом. мощность и)(х), выделясмвя нв сопротивлении г, равна и)(х) = 1п, = ()а()(1 +:1:) . ° .9. 9 Пос „„-„, смьн зу сопротивление х не может быть отрицательно, то:)адан сводится к отьн:канию наибольшего значения функпии ивх) на полупрямой х > О. Вычислив производнун) этой функпии убе;(имея в том, что ш'(х) < 0 вен)ду на полупрямой .т > 0 и точек возможного экстремуме нет. Таким образом, функция и((х) убывает всюду на полупрямой х > О и ее максимальное зньв(е)пн) на этой полУпРЯмой ДостигветсЯ пРи х = 0 и Равно 1)а11 (Рис. 2 9.21). Это совер)пенно ясно и из физических соображоний, В ка шстве второго примера рвссмотрим задв (у об отыскании максимального и минимального,(начений функции у = вшх нв , .2 сегменте — )((я <:1: < )('бя((2.
отыскании экстркмлльных знйчиний 325 17 Рс)с 9 22 Рве. 9.21 Поскольку у' =-- 2 сов гг2, укст)аннан функция имеет на рассматриваемом сегменте три точки возможного экстремума:г = 0 и си = ~~„Й/2. Сравнивая значения функции в ука:сапных точках и на концах сегмента 1'(О) = 0,,~ (~ т/7~2) = 1, / ( —,/к) = О, ьЛя . 5я )/2 убедимся в том, что максимальное значение рассматриваемой функции равно +1 и достигается в двух внутренних точках сегмента:с:с = —;/к/2 и снг = + „~к/2, а минима.,)ьное значение рассматриваемои функции равно — з/2/2 и достигается на правом конце сстмепта )/5зг/2.
График рассматриваемой функции изображен на 1ьчс. 0.22. 2. Краевой экстремум. Пусть функция у = 2(и) определена па нс)котороаг гегапснтс: [а, 6]. Будс)хс говорит)в что эта функция имеет в грани гной точке Ь этого сегмента краевой ма)гсимулс [краево)1 ми)гимум). если найдется левая полиокрестность точи)с Ь, в пределах которой знн)ение Г(6) )св.;)))ется) наибозыпиас (нанти)ныпим) среди вс:ех других значений этой функции. Аналогично определяются краевои максиыум и кр)н)вой минимум в грани !Ной то'с)(с) о. сегмента [и, 6].
Крас.вои к|аксиыум и крас)Вой минимум объединяются обьним названием к1хссвой экстремум. Иьсеет место следун)шее дос)патпочное условие краевого экстремума: для шаго сшобьс сбу)скцсся у = /(и) имела в п)о"с,— не 6 сеглсе)ста [о„6] краевой маьюимулс [краевой ли)пил)ум) достаточно, чсо)обьс эта фу)скция имела в точке 6 г)олсхзялап)слсь— иую [отрицав)елысун)) левую проилводиу)о ). [Догсазсттельствг) аналогично доказательству теоремы 8.0.) 11:з указанного дсхтаточного усэсовия краевого экстремума непосредственно вытекает ) Для граничной точки а достато шым ус)ловием краевого максимума 1краевого минимума) является отрипательность 1положигельность) правой производной в точке а.
326 ГЕОМЕ'1'1'И|!ЕСКОЕ ИССЗ!ЕДОВЛПИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Гсй 9 |Рледукш10е |геобх|н)аллое условие красного зкстр|ллума ()зуззкцтл, иллсзюгцей в точке (з,леву|о производнунх для того чтобы 1)зуззкция у = 1" (х)| облидаюьцая в точке 6 левой прогззвсздззой. имела в |оп!о!1 точке к)|пеной лзаыс|злз1|м (крвевгзй минимум), необходимо„ чтобы указа!!азия производная была ||еотр|лцателыюй (пеиоло|зю|ительной). В заключение докажем следук|шее замечательное утверждение. Теорема 9.11 (теорема Дарбу ')). Пусгиь дзуззнция 1(х) имеет конечную производную опаду |ш сеемситс )а,Ь) ), и пусть у (а + 0) =- Л. у" (6 — О) = В.
Тогда, наново бы ни было |игла С, эакл|ачюп|ее лсеэа|ду л1 и В, на этом, сеяменте найдется тачка Г |накал. оиа ~~® = С||). Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем следующее угверждение: если Г(х) имеет конечную производнук| на )а„Ь) и если Г|(а ур 0) и Г|(6— — 0) числа ржзных знаков, то на сегменте )а,Ь) найдется |очка б такая, что 1г'® = 0 Пусть для определенности Г'(а + 0) < О. Г'(6 — 0) > О.
Тогда функция Г(х) имеет краевой максимуы на обоих концах сегмента )а, 6). Но это означает. что хзиниъзальное значение Г(х) на сегменте )а, 6) достигается в некоторой внутренней точке Г этого сегмента (функция Г(х) дифференцируема, а стало быть, и непрерывна па сегменте )а. 6) и поэтому достигает на агом сегменте своего минимального значения). В указанной точке Г функция 1'(х) имеет локальный минимум, и поэтому Г'Я = О.
Для доказательства теореыы 9.11 остается положить Г(х) .= !"(х) — Сх и применить к Г(.г) только что доказанное утверждение. 3 а м е ч а н и е. Из теоремы 9.11 мы еще раз заключаем, что производная не может иметь точек разрыва первого рода (скачков). ' ) Гастон Дарбу — французский математик (1842 — 1917). ) Под этим понимается, что 1 (х) имеет производнук| в любой внутронней точке сегмента [а, Ь) и. кроме того, имеет левую производную в точке 6 и правую производную в точке а.
' ) Подчеркнем, что непрерывность производной 1'(х) при этом не предполагается. Г;сАВА ло ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В гл. ! мы рассмотрели фнзическук) задач(» о вычислении пути, пройденного материальной точкой, двигакппейся вдоль Оси Оу, по известной скорости этой то лки и геок!()три юскук) задачу о вьгпкщении плошади крссв«льисейссой трапеции [т) е. фигуры, лежащей между графиком функции у = л 1лэ) и сегментом [а,6] оси Ох). Рассмотрение указанных двух задач естественно привело нас в гл. 1 к необходимости введения нового математического понятия --.
понятия «предел(лисов«(лэстеграла. Крох!с Ршх:моту((нных Дврх зада( и понитик) ОНРелзеленного инте!Ра;эа приводит и ряд других важных физических и геометри нэских :задач. Настоящая глава посвящена изложению теории определенного интеграла, а, в сэседук~Ней главе дается применение этой теории к некоторым геометрическим и физическим задачам. 'й' !. Интегральные суммы. Интегрируемость Пусть функция ![х) задана на сегмент(э [а»6]» и < 6.
Обозначим (имволом Т разбиение сегмента [а,6] при помощи некоторых не совпадающих друг с другом то сек а = ха < х( < ... < хп = 6 на и частичных сегментов [хо,хэ], [хл»хл]» ..., [Хп 1» Х„]. ТОЧКИ ХО, Х„..., Х„будЕМ НяЗЫВатЬ тОЧКаМИ раэби(эния Т. Пусть Сэ произво.(ьная точка, частичного сегмента [хэ 1, э'э'л], а л-!;1»» Разность .'сэ — т» !.
кОТО!)Ую мы В далык)Й!Пем ОУД(',М НаЗЫВа'П ДЛННОИ '1а()1'ИЧНОГО (и)ГМЕНта [Хс 1, т(]. Определение 1. Чэлсло л"1хс,ел), где этх»,' (1) — л (с()л!х! + 1 [сг)л-(»гв+ . + э (с»с)лээх»с — ~~,с (сэ)ээхл' (=1 пазывиется и и. т, е г р (л л ь и «й с у м м «сл у)уэск(лгэээл ! [:1»)» со(этвтпствуэощей дшо(о)му рагбиенсио Т сегмента [«,,6] и дип)яму выбору приме«в:ут«чпых точек (» па частлгчпьсе сег- опркдклккнлый игхткх)йл ГЛ.
10 ллелнхлххих (хх х, хх], В дальнейшем через х)х мы будем обо:)начать длину максимального частичного сегмента разбиения Т, т. е. ха = шах лаз:х. Выясним геоххетри легкий ххкхьххы интх:грйлыхой счххмы. Для этого раесмотрим криволпмей)хуго траххецюо, т. е, фигуру, ограниченнук) графиком функции 1"(х) (длхх простоты будем с.хитать эту функщпо но- У У )(х) ло:кнтххльной и нх".щ)ерывной), .Хвумя ординатами, щ)овх денныхш в точках а, и У оси абсцисс, и осью аосцисс Ю )(гл)'.Ю у(~ (рис.
10.1). Очевидно, д инте)ральная сумма х„х 11ххххх (х) 10)х,дх;тавляет х;обой площадь ступенчатой фигуры, захптрихованной на рис. 10.1. Определение 2. 11':))ело 1 гххлзьхваххтея и р е д е л о м и ит е г р а л ь хх ьх х с у м лл 11х,, ~х) пргх, х)х — ) О, если для,лю)бого ттожхлтельхлого числа лтжно указать тикое. пг)ложххтельмое число б '), что для лгабого ризбиения У сегметпи [хх„()], максиллальхлая длигиа хд частхичггых сегменптов которого менгиие х), ххезавхлсхллло от выбора точек ~х на. сегллтопих (хх Х,х,] выпол,— няетея гхеравсхютва Лх)0.6) -1] < е Для обозначения предела интхтральяых сумм употребляется еих1НОлика — 11111 1хх чх).
Ь вЂ” )О Определение 3. Хл"уххкцххя 1"(хг) ххазываехпся хх хх т е г р ир у е м о й (по Рххмххглу )) на еегмеглхпе ]и, Ь], еслгхх, сушествует кх)глххчхльхГл предел, 1 ххххгпеграллххгхьххх: сумм ххпхх)11 фуглкгхгххх, прн Х1 — + О. Указа)))хо)11 ))редел 1 ххазьхваепхея оххрех)елеглгсым, хихтег)ххлг)м х)т, фугхкцгхгх ('(ххх) по сегмхнопу (11, д] и обогихачагтсл слег)угахцилл образом: 1 =- 1(х) е(:хх Наглядные геометрические представления показывают ), что определенный интеграл чисхленно равен площади криволипей- ') Так как чисто 6 зависит от е, то иногда пихнут о = 6(е). х) Бернгард Раман .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
