Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 71
Текст из файла (страница 71)
немецкий математик (1826.1866). ') См. 6 4 гл. 1. интер!'Аг!ы1ые сум'!ы инт1'ГРИ1'уемсс>ь 329 ной >ранении, огц>еделяехгой графиком функции 1[х) на сегменте [аз 6]. В гг>. 11 мы докажем справедливость этоп> утверждения. Приведем пример ентягрпруел<ой функции,. Докажем, что функция 1'(х) = с = гхн>яФ интегрируема на лн>бом сегменте Ь [и, 6], причем ) сгЬя> = с(1> — а). В самом деле, так как ~ф) = с а при любых г„, то 1)хо го) = сьхх> + .~г в + ... + с>дх» = = с[Ьх> +,Ьэ>г +... + Ххи) = с(1> — и), и поэтому 1>ш 1 > с> б>) с(6 и) Гт — >О Вы>«:нны вен!рог> об интегрируемое> и н<.ограниченных на сегме1>те [и, 6] с]>' е1кций.
Докажем [ чедук>щее утверждение: пеогранпчетсия >ю сегмспи>с [а, 6] функцгтя, 1 (х) пс пнтггрпрусгии но эп>г>м стгмс>!те. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция 1(х) не ограничена на сегменте [а,Ь]. Тогда она не ограничена на некотором частичном сгтменте [э>ь 1, э;Ь] лк>бого данного разбггепия Т с1юмента [а,„Ь]. Поэтох|У ела>аемос ~((ь)Лхя инт1>ГРа:тьной сУммы т(хо с,), отвечающей этому разбиенин> Т, может быть сделано как у~од~о больппгм по аосолютной вели гине;>а с «;т выпори точки (В.
Отсюда вытекает, что интегральные суммы 1>гхы ~>), отвечающие лк>бому разбиеник> Т, не ограничены!) и поэтому пе существует конечного предела инте>ральных сумм. Сообразуясь с доказанным утверждением, будем рассматривать лишь ограниченные на сегменте [а, 6] функции. Возникает вопрос: всякая лп огра>и!чс>тсья па сегал>ттс [и., 6] фу>тцил является пнгг>г>гр>труелтг>11 >ю этом сггтис>пггг! Следующий пример показыв 11>т, что .>тг>, вообгпе гово!»1, не так.
Ъ'белимся, .>то чав!и домо огрнгшченная па сегменте [и,6] фупнц>ьк Дприхлг, значения которой в рациональных точках равны единице. а в иррациональнытя нулю, не интсгрируелла на сегхгентс [о„Ь]. Дсчлствигсльно, е<.:ш 1ля любого разбиения Т со сколь угоди!> аваль>л >.'у выбрать точки (, рациональными, то, очевидно, т'1х„~,) = 7~ и =- '),~Я)Тьх1 =- ~ 1дх! = Ь вЂ” а, если же для того же рг>збиония >=! >=1 Т точки (, выбрать иррациональными, то Цхн с,) = Р>. Поэто- >> г ) Чтобы убедиться в этом, достаточно фиксировать точки ьб на всех частичных сегментах рьибиения Т, за искдкшением сегмента [яг . >, хг). Тогда в гтнтегральной сумме Цх„б,) будет изменяться лишь слагаемое Пбе)г.'>ха, которое может быть как угодно бодыпим по аб>содюгной величине.
ГЛ. 1О ОнРедез!енныг'1 ин'1'е!'Рал му для ф1нкции Дирихс!11 нсе с1 !паств! сгт прс>1>сп!>1 интс>1 ра сьных сутсхс. т. 1>. эта фмнкс!ия нс. ин!1>гр~>ус,хс>г. В дальнейшем мы докажем иптстрпруемость всех непрерывных функций и широкон> класса разрывных функций. 'й 2. Верхние и нижние суммы 1. Понятие верхней и нижней сумм.
Пусть функция /'(сг) ограничона на сс>гменте [сл,1>) и Т разбивши; этого сегмента точками и =:со < хг « ... х„= 1>. Обозначим и;рез Мс и т, соответственно точную верхнн>н> и точнун> нижнюю грани этой функции на сегменте [:сн. >,ссс). 111лс,лссс Я = М>Лз>1 + МаЛза +... + >МпЬз>и — — > М!аз>> и, З = !П>С' Хг + >НЗЬЗа +... + !Ипат» — — ~~~ с.—.1 называются соатветспгвеспса в е р х и е й и и и сж: >с е й с у мм а, м и >1>р>си!С!с!с 1" (с>) для данного разоиютл Т сеглссппаа [и, 1>[.
Очевидно. что любая спстег1>аль>сая сумма 1(сгг ~с) дали!ого разбссе>тя Т сегллеита [сг, 1>) закл>аие>са, ме жсду верхней и сссс:ж>- >сгиб с11ммалссс Я *и 3 эпягс> 1нлзбс>е>ссгя Понятия верхне>1 и ш> ж>!сей сумм становятс;я особенно ясными. если обратптыя к геометрическим представлениям. Дзся простоты рас смотрит! положительнусо п непрерывную функцию 1(:г) и криволинейную трапеции>, определяемую этой функцией (рис, 10.2 и 10.3). Есши Т некоторое разбиение сегмента [а, 6), >О >ИС >Гг МС П >Ис Прг>метан.сяк>т С:ОООй В С: Суна!: г!С>нрггрЫВ- ной функции 1(х) хсггкс>ихсвльное и минимальное зпа сепия этой функции на части'гном сстменте [хс 1, сс,) разбиения Т.
Поэтому верхняя сумма Я равна площа,.!и, з>гп!грпховггнной на рис. 10.2 ступенчатой фигуры, которая содержоип криволинейпун> трапецию, а, нижняя сумма з равна плошади. заштрихованной на рис. 10.3 стусн".нчатой фигуры, которая содерсж:ится в криволинейной трапеции (эта, трапеция на рисунках 10.2 и 10.3 обведена жирной линией) Как уже говорилось. из наглядных геометрических представлений вытекает. что интеграл численно равен площади криво!щи!>йной >раис>пии. С дрг гой с:тараны, очевидно, сто «:сьги разнос:ть между верхнихш и нижними сух!лгали может быть сделана как угодно >!азой. то эти суммы тюгут с:тать как угодно близкими к площади криволинейной трапеции. Поэтому можно ожии;>т>ь что для инты рпрусг>с!ости функции нс;обходим!> и дос:та- Вис ХНИК И Ннжпни СЬ ММЫ ь Ь хь хя хс х, с хс хп а хя хс хс с Ряг.
10.2 Ряс. 10.3 точно, чтобы разность между верхней и нижней суммами могла быть как угодно малой. Строгое док ясательсство э с ого будет дя; но В с' нсдл'сО111ехс на1эссг1эслфе. 2. Свойства верхних и нижних сумм. Докяжс хс справедливость следующих свойств верхних и нижних сумм: Г. Дзся .аюбсгсс сЗссскспровиссссоггос 1мзбитися Т и для любого е > О ссрсллссежсуспссчссьссс тссчкп сс па сегмсссстассс [е, с,х,] можсно вьсбрать так, что пзстеграясисая сулсма, Цхс,с";с) будеси удовлетворить неравепсшвалс О < Я вЂ” Цх„~с) < е.
Точки ~с,лсосжсссо выбрвсть таксжсе и тикссм образом, что псстсягризьпая сулсма будет, удовяетворяпгь перавезсствалс О ( Цхс, сс) — з < е. Пусть Т некоторое фиксированное рязоиение сегмента [а, Ь]. [окссжснс, например. возможнсх:сь выбора по данпомл е > О точек ~с так, что будет выполняться неравенство О ( о — Цх„(с) < < е. По опредезсенинс точной грани сг1с для данного е > О на сегменте [х, с,:ес] можно укжсать тякусо то ску Сс, что О < Мс — ~[~с) < е/[Ь вЂ” и), с = 1, 2,..., и.
Уьсноясая эти неравенства на сакс н затем складывая, получим О < Я вЂ” Цх,, гс) < е. Справедливость свойства 1' установлена. 2'. Есясс разбиение Т' сссгмесспси [и, Ь] получено путем добавяесгия ссссвъсх псочек сс псо'ским ~ксзбссесссся Т зпсого сегмесснси. псо верхняя сумлса о' разбсссссссся Т ссе бссссс сслс верзлсес1 сулсмы, Я ризбпсссссся Т, а нпсжссися еумлси, з рязбсссссссся Т ссе мс.*ссьсие сиссжсней суммы з 1хсзбпьчися Т, т. г.
з<з'. Я'<Я. Так как разбиение Т' может быть получено из разбиения Т путем последовательного добавления к ссосзссднему новых точек, то. очевидно, сформу;тиров,шпое свойство достаточно доклгсать для случая, когда к разбисснинс Т добавляется одна то ска. Пусть эта то скгс:сс 1сяспсслягяется ня с ес ьссгнтсс [х, слсл] 1111зоиссния Т схсг- онркдклкшеый интен е лл 332 ГЛ. ЕО мента [воб]. Обозначим через ЛХ,' и ЛХп точные верхние грани функЕЕии л (:х) е1я сегхп'.нтвх [х< .!, и ] и [х,з><]. че1><>з Ллх' и ллх длины этих сегментов и через 5 и о> верхние суммы разбиения Т и рн:>биения Т', полученного добавлением к разбиению Т точки х . Отметим, что л>з,< — ллх + ллз..
Кроме то<о. ылп М> - точнвЯ НСРхняя ГРинь зеп>, н>еп1Й фгнк!>ии л (х) пи ссгхпн1- те [х, Е,х,], то ЛХЕ ) ЛХ' и М; ) .~У, поскольку очевидно. что пшч>лаи веРх><ЯЯ гРи>сь <Х>УнкЦ<л<л ни чиспеи сегл<е>л>по, [то 1, х,] не превосходит, >ночную верхнн>н> гринь ЛХЕ зпи>и функции но, всем сеглле>лпае [х< Е,х,]. Поэтому, Ечитывпя, что с>ммы о' и о" рет>- личвготся лишь слагаемыми ЛХ<ллхл и л>Х<лез +ЛХ"ллзл, получим Я вЂ” Я' = ЛХ<Л'.ЕХ< — (ЛХ, ЬХ, + М,"<3Х' ) = = (ЛХ, — ЛХ;)лхх> + (М; — ЛХ, )л."<х< ) О, т. <ь о ~( о. 'Еоке>зе>тельство для нижних сумм проводе<тон ве>алогично. 3". Пусть Т и Т' л>юбьи. *два разбиенмя сегл<тлта [а, Ь].
Тогда Еииж>няя сумма од>юго пз зтнт разб<леелп<3 не превосход<лт ве>р<хелюю сумму другого. Име>11<о, если з', о" и з". Оп соот; веплств<пзи> тли!шиле Ел веХ><<пл<ле суммы ризбтле!<енл Т> и Т", то Выше мы установили, что нижняя сумма данного разбиения не Ец>евосходит верхнюк> сумму этого разбиения. Пусть Т вЂ” разбиение сегмента [<л., б], полученное объединением разбиееп<й ') Т' и Т", а я и о — верхняя и нижняя суммы разбиения Т. Так как разбиение Т может бьнь получено из рет>биения Т' добавлсни<>м к нему точек разбиения Т".
то по свойству 2' и отмеченному СНОЙству нии<ней и ве1>хной суммы <>д<п>го и !ого же 1>ет!бие>е!Ня итп>ех! з'<я<о <У. Но разбиение '1 может быть также получено из рвзбиепиег Тп добавлением к нему точек реп<биения Т'. Поэтому зп ( з ( ь" ( оп. Сравнивая установленные выше неравенства с только что полученными, убедимся. что з' ( Ьп, зп ( о'. Справ<1,<лие>ость свойс ! Ип 3" уст!>е<овлснн. 4'. Мио<яс<ютво (о) в<ерх>илх сумм да!<ной <Х>у>лкц<л<!л, Х(:с) для всевозмож<лых ризбнтшб сегмс>пии [оюб] огрозличепо с>лизу, Мпож>ество [,зХ нижних суллм огра>личе>и> сверху.
') При атом обшие точки ра>биений Т' и Тв учитываю<си один раз. ВН1 ХНИК Н Ннжпнн СЬ ММЫ ,+~О своЙство непосс)едственно ()л()дуст и:1 свойства 3'. Д()Й- стВительно, лк)оая В(Й)хняя сумма, не м('нып('. некоторОЙ фик- сированной нижншл суммы, ( )едовательно, множество (о') верхних сумм ограничено спи:)у. „1юбая нижняя сумма не пре- восходит какую-либо верхнк)ю сумму, и поэтому множество (з) нижних сух1х1 Ог))ани н)ИО сВе1)х(ч ОбО:н1ачим ч('.~)(11 1 точнук) нижнюю грань ьшожества (5') верхних сумм, а чере:1 1 точ- ну!О Ре|)хн10к) 1$)ань хп10)кестВВ нижних сумм: 1 = )пХ(о')с 1 = впр(в). Чи(с(а 1 и 1 называк)тс я соответственно верхним и, 71(сзклгилс пн- и«гралами Дарбу от, (Х)у)ск(17171.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
