Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 74
Текст из файла (страница 74)
1 ) Определение ограиичсниого мпожсства дано в и. 6 Ь 4 гл. 3. ) Ег ти мпо>кптво (х) состоит из одной точки. а система Б годер>кит .Нппь о;пю открьпос множество, то мы будам говорить. чго зто множество пс>кравис!!!7 указанную точку. з) Э. Гейне (1821 — 1881) — ис мецкий математик. Эмиль Боресп (1871- 1956) -. французский математик.
) Это доказательство ломик! Гейио — Бореля принадлежит фрапт1узскоъсу математику Анри Дебсяу (1876 .1941). Отъютиь!я что Лсбегом бы.т указан и обоспован бо.к с общий. чс м ватаги! мый в этой главе. подход к проб юме интегрирования. Соответствующее понятие ивтстрала носит наименовшпкт иптскрала Лсбога. Ф 'пкций 34! 3 а м е ч а н и е. Можно г пдующим образом обобщить лемму ГейнеБорсля.
Еслгл зо.мин>диас ) гжргп*ггмншгс множещпво (з:) покрьппо бвско- 7 нютной сглспммой и вптрьппьлх мнооюстив, то пз миоа спсгис,мьл можш> вълдсмвпь коггсчггую тигдснтпему Б множеств. когиорая также иокрмвасги мг*озюсхг>уло [>']. Дадим зсггерь др>гог> дою>тпсп ство > вороны 10.2. Доказгатл льство тсарсмы о равномерной нспрерыви о г т и. Продолжим 1(77) на елю прямук>. положив соравной 1(Ь) при х > Ь и равной 1(а) при х < а. Так как 1(з ) непрерывна в каждой точке сегме>ма [а. Ь], то для любой точки х этого ссгмспта н любого заданного в > О можно указгггь такое б' > О.:>авигящге, вообще н>варя, от .г, что для вщ'х точек х', улов, п>творяющих условию ]х' — х[ < ь .
Оьшо>шястся нсравсппгво ]1(гг )— — 1(х)] < е)2. '1'акггм образом. согмсвт [а. Ь] покрыт блткоигчной системой Б интервалов (х — б'12. к+б'772) ), нз ко горой >южно выделить. в силу:гсмъгы Гейне Бореля, конечную подсистему и ингерва.юв, также покрывающую сегмент [а.Ь]. Пугть Э минимальное:значение б'772 для этой конечной подсистсмьг Б шнорвалов. Пугть теперь з' и хо — .,побью точки сегмента [а, Ь], удовлетворяю>иве условию ]хл — хг[ < б, и з' .
центр того интервала (х — б'/2, х+б'772). Ь < б'/2, системы Б, который покрывает точку х'. Так как ]т' — т[ < б'/2 < б' и ]то — х[ < а'. то ]1(х') — 1(х)[ < е>72 и [1(хо) — 1(х)[ < е>72 и поэтап> [1(х ) — 1(з> )] < [1(х ) — 1(х)] ж [1(х ) — 1(х)[ < е12-Ь е>72 = е. Итак.
для любого заданного ' > О мы указали такое б > О, что для .пооых точек х и х сегмента [а, Ь], тдовлстворяющих условию ]х — х [ < б. выполпястгя неравенство [1(зз~) — 1(х~)[ < е. следовагельпо, л]>унял>ия !(х) равномерно непрерывна па сегменте [а. Ь]. Теорема доказана. 3. Интегрируемость непрерывных функций. Докажем сзгезсуюгг(ую ос>>гон>луиз теорему.
Теорема 10.Я Нсзгз)ИЬ>ьле>гсля на сеглге>гзас [а, Ь] с[>углтсцнл, 1" (х) тлнлегрнрг)сма ни зудом сегме>л>7>е. Д о к а з а т е .л ь с т в о. Пусть дано любое е > О. В силу равномерной непрерывности функции ) (х) на сегменте [о,. Ь] для положите.льного числа е>7(Ь вЂ” а) можно указать такое б > О. что при разбиении Т сегмента [и, 6] нз частичные сегменты [х; 1. х,] 7 д>пины ллхг которых меныпе б, колебание а>,; функции 1'[х) на к>нссдом такО~ >асти >ном сс>гмс;нтс; ббдут мснг.пн> е,л(Ь вЂ” 77) (см. следствие нз теоремы 10.2). Поэтому д„-пл таких разбиений Т и и я — з =- >> О> Ьсе < э> Ьх =- г — 7 г — г с17>едовзтельно. ддя нлэпрсгрывнОЙ нз сл>Гьп'.нтс', [а, Ь] функции 7" (х) Выпол>н>>гы достзто пгые услоВия иггтсзгрируеьгости.
) Слг. замечание в прсдылущем пункте. >) Мы берем интервалы (х — б'/2, х -7- б'/2) в>исто (х — а', х -7- 6') „тля удобства дальнсшннх рассу>кдспий. оппкдклкнный ннткгглл ГД. |О 4. Интегрируемость некоторых разрывных функций. Л)ы будем н>варить, что точка х покрыта интервалом, если эта тон~а принад,к>жит ука>апному интс>рвал>л Дока?к|>м с|еду|О- п|ую теорему.
Теорема 10.4. Если ЕХ>ее>еке!ил Х(х) опрвделепи и огра>еи есина. па сегменте [а,(>) и вс?е|е длч л>обс>го полоэеситслыи>го числа в ма|испо уха>ив|>в канев"о|ос число и>нпсрввлов, покръевию|целх все то"екее риэръеви этой ЕХ>у>еьтеии и имеющих общук> сумму длин мс>анис в. то Х(ес) иптегрирусми >еи стггмее>енес [и, Е>). Доказательство. Пустьда>солюбоег>О.Покроем точки разрыва функции Х(х) конечным числом интервь'юв, Е сумма дл|ш которых мс>пьшс> . Гдсг ЛХ и гп, "|очньн> 2( >ЕХ вЂ” >и) верхняя и нилсняя грани ! (и) на сегмсгнтс'.
[и,, (>) (со|уний ЛХ = уп можно исключить, гак как тогда Х(х ) = с = сопя!). Точки сегмента, не принадлежащие указанным интервалам, образуют множество„состоящее из конечного |псла непересекакнцихся сегментОв. На ка?кдом из них функция Х (.'с) непрерывн?е и |юэ'Гому равномерно непрерывна. Разобьем каждый такой се|а|опт так„ чтооы кодс>бани|. и» функции Х(х) на лк>бом |астичном сх>гм|>нте разбиения было меныне . Объединяя эти разбиения и 2(Ъ вЂ” а) интервалы, покрыва|ощис точки разрыва фу|пи|ни Х(х), мы получим разбиение Т всего сегмента [а, Л].
Для этого разбиения слагаемые суммы Л и>ЕЛх, (равной Š— г) разделяк>тся на две >,=1 группы ~ и>1>ле:> и 2 и>>е.|х„п)?и*>с>м в первую гру|шу входят все слагаемые, отвечакнцие |астям разбиения Т, образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва, а во втору|о ОетаЛЬНЫЕ СЛа|.аЕМЫЕ. ТаК Ках КОЛЕОаиия и>, = ЛХ> — та ддя СЛагаемых первой группы удовлетворяют неравенству ыс < ЛХ вЂ” та ТО а>,ХЛх> < (ЛХ вЂ” |и) ~> елхе < (ЛХ вЂ” пе) Для слагаемых второй группы иу < .
Поэтому 2(Е> — а) Таким образом, в > и Š— в = ~~ и>,е)Рх, = 2 и>,е.'>х>+ ~ ~и>,,е.'Рх, < в. Итак., для указанной в условии теореыы функции ((ее>) выполнены досгато*|ньн: >славия интс.г)?~>у|>ъ>ости. 'Гс;ерема доказана. никоторыи классы интиг1 ирримых ех~кций 343 Следстпвие. Огрсл!сс!чссинсля нс| ссглин!Н|с [а„Ь] функция ) (сс), имси>сцая лилии коне !Нос "гасло ни>чек разръюас ин!пегрир уел|а иа э!пол| ссг,л!ентс ).
В час!|Нюс!пи„ кус:о !но непрерывная иа данном сегменте функция инп!егрируема па;ппо и с>сг.лссите. 3 а ы е ч а н и е. Очевидно, я|О ск|ли функция ! (:с) нпте|рируема на сегменте [а, Ь], а функция 3(х) отличается от функции 1(х) лип!ь в кон!, |ноы |ис!и! точек. ТО флнкция я(с) так ксл интегрнруема на сегменте [а, Ь]с причем [ 1(х) д:11 = ) сг(х) с1х. 11сссв101 ! 11111111[! !1 1 1!1!|В1Н 1 1!1!1! !1 ! ! ! 1111!В! И ! 1!1!1 В| Н 1 1!1!1В1Н 1 !111111!И 1 1!1!а!|н 1 1111!В!и 1 1111!В!и ! 1!1!1! !1 ! ! ! Н |в| 1!1!11 !1 ! ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,1,1! Х1 Н '1 1!1А4, 1 1!1!1В|" 1 1!1!11!1Н 1 ~11!1!11! ! 1!1!11 !1 ! ! 1 1!1!1 в| н ! 1!1!|в1н ! 1!1!1! !1 ! ! ! 1!1!1! !1 ! ! 1 М'"1Н| О||и 1 1!1!и !1 ! ! л л 11 413 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 хо 4 / 1 1 1 на полусегментах [ —,. ], и = 1.
2, (Ои 2и — 11' 1 1 1 Х(:с) = — 1 на полуссгментах ( . — ]. и = 1,2, (,2п, 4 2 251] в тс>чкс! х = О. Указ|1|плат! функция иьн|с!т разрывы 1-го ро;|а во ках хв = 1/и, и = 2,3,... Фиксируем любое е > О. Покроем точку:с = 0 (в любой окрестности чтой точки находится бесконе зное число точек разрыва функции) интервалом ( — е214, ес|4). В51е з гого !Нггервала находите|| с|и|ив коне |нос; !Нсло р -| точек разрыва функции, каж,чую из которых мы по- Е кроем интервалом длины ьп!ньше —. Сумыа длин интервалов., 2р покрывающих все точки разрыва рассматриваемой функции, л!1|н! Нн|:+1> — ' = е.
Следоьатсльнс>, функция 1"(х) интсзгрир1|зьо| 2 2р на сегменте [О, 1]. 1> ) Если р — ч|к"ю точек разрыва. то достаточно иокрь|ть каждую точку разрыва иитсрвазом длинь| ссс2р. ) Это число р зависит, коне шо. от с. Рассмотрим |ц>имер ннтсприруемой функции, имеклпей бесконс"нюе число то |ек разрыва. Пусть на сегменте [0.1] задана функция 2" (х) (рис. 10.4) ош кдклкниый внтк! реа(! гл. го 5. Интегрируемость монотонных ограниченных функций. Теорема 10.о.
Миног!(аннан на сегменте [а, 6] фунггц((я 1(х) ингг(егр((рдема на нтггм сегменте ). ,(( До к азат((л ьс ! во. Ра((и Ощ>ед((л((нностп дока!к((м т((ор(!— му для неубывающей на сегменте [а, Ь] функции ! (х). Зададимся щ)оизвольпым полОэкит(и(ьным '(!плох! е и )еазооы(х! О(.'Гъ(епт е [а, Ь] на равные части, длины которых меныпе (слу- Х(Ь) — Х((0 чай у (о) = ( (6) можно псклк>читгн так как тогда ! (х) = сопя)). Оценим для этого разбиения разность Я вЂ” и = 2 и((("гх(.
Имеем ( — -! и о ~ ' "'1(Ь)-И)~"' Но для неубывающей функции 2 ы, = ("(6) — )'(а), поэтому и-. ! Я вЂ” н < е. Теорема доказана. й 5. Основные свойства определенного интеграла Докажем справедливость следующих свойств определенного инт(уграла; 1'. Мы оудем считать, что Г а у" (х) дх = О. (10.6) Отметим, что формула (10.6) д(м(жна рассматриваться как соглщпенпе.
Ее нужно рассматривать как естественное распространение понятия определенного интеграла на сегмент нулевой длины. 2'. Мь! будем счптат(ч что прп о, < Ь г г ) (х) (!х = — ) (х) дх. (10.7) Ь е Эта формула также должна рассматриваться как соглашение. Она представляет собой естественное обобщение понятия интеграла на случай, когда сегмент [а, 6) прн а < Ь пробегается ') Отметим, что если функция монотонна на сегменте ]а, Ь], то ее значения эаклю"(ены межлу У(а) и Ь(Ь ). Поэтому определенная на сегменте [и, Ь] монотонная функция ограничена на этом сегменте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
