Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Доказкем сначала, что если А(х) и В(х) — две неотрицательные и ивзегрируеыые на сегменте 1о, Ь) функции, удовлетворяющие неравенствам ь ь (10.37) то Абг)В(х) дх < 1. (10.38) В самом деле, в любой точке х сегмента 1а, Ь) справедливо неравенство (10.26) 1 „)В~ ) < -1'Ф Р В"'(х) Р Р Опзода, в силу оценки 3' из 3 б и форыул (10.37) следует, что г1[х)Вбг) дх < — ~:1 Яс)х гг —, ь В бт) дх <— 1' Р Р Р м; — = 1.
1 Р! Неравенство (10.38) доказано. Полагая В1х) = ь ыр' '" ь ыр' ' ~Х Я" Р ~х) ~Х !ау 'Нр' дг:~ ь ь 7р 17р У~ '«. ', У~ '»"': 1~.()~'дх Так как, в силу замечания '2. и. 1 3 6. 77х)ббх) дг < / ) 7(х)))8(г)! Ех. ьо неравенство Гельдера (10.36) д:щ интегралов установлено. 3 а и е ч а н и е. В часзном случае Р = Р' = 2 неравенство Гельдера для интегралов пероходит в следукзщее неравенство: ь (8 (х))г дг,.
(10.39) называемое ньугооентьоомл Конга — Брнмкооркого длл внглогрилон. мы придем к с гедующему неравенству ь ь / Дх)8 (х) г)х < / )Цх) Р дх Г 365 ДОПОЛНЕНИЕ " 6. Неравенство Минковского для интегралов. Для любых неоз рицательных и интегрируемых на сегменте [о,Ь) функций 1"(х) и 8(х) и для тпобого числа р > 1 ттправедливо следующее неравенство: < ь т та ь тур тзт ~[1(т) +8(х))эдх ( / 1Р(х) дх -Ь ( 8Р(т) дс, (1040) натываомот.
нгтуанюнттанам ттттзттвтттттжота длл нитаст1тилае. Для получения этого неравенства нужно исходить из формулы ь ь ь [т(г) + 8(хт))рдх = / т(х)[1(г) +8(тг))р ' дх+ (' 8(х)[т(х) + 6(х)]т' дз и примт пить неравенство Гельдера к интегралам, стояттьиьт в прююй части этой формулы. Детали рассуткдений предоставляем читателю.
По индукции из неравенства (10.40) моткно пату тить следующее неравенство для п функций тт (г), )т(зт), .... т„(х), неотрицательных и интегрируемых на сегьтенте [а, Ь): < ь тьр /У(г)+Их)-'-" +.т (з'))'дх ( ь Пр т/р ь т 'р т [(тттт тт ~ +[)тттктт*~ [1'ттт тт ~ ДОПОЛНЕНИЕ2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ~ТВЕР2КДЕНИЯ ИЗ П. 4 5 6 Для удобства сформулируем еще раз утверж,гение из п. 4 Ь' б. Если на сеемснтгж [а, Ь) фуньцил 8(х) .монотонна. а 1(х) ттнтаег1тттутуемтт.
таа на зтаом тстметтпм сущгхпщусттт таакос "иттла 8, иаа ь С ь 1'(х)8(г) дх = 8 (а) / 1(х) дтс -Ь 8(Ь) ~ ((хт) дг,. (10.16) ') Предварительно докажем тледующее вспомогательное предложение. Лемма Абеляр). Пусттть вт > ьт » ... в„> 0 в имат.....и„ лнвбын чивли.
Если суммы Я,, = ит -Ь и +... -1- и, ари любам т' эаплнтчены между Л и Е, тан сумма тттттт+взттз+...-Ьтьги„вттклнтттттттт мсакду итсллмв, Ав, тт'Евт. Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем вт = Ят, и, = Гн — Я, .т. Поэтому втит + втв т -Ь... Ч- в„и„= втЯт -Ь вт(Ят — Ят) Ч-... ~- т„(߄— Я„т) = =- 5т (гт — ттт) .~- Ез (тт — вз) -~-... -ь Е„т (в„т — в„) + Я„тт„.
) Для удооства мы сохраняем нумерацию приведенной формулы. а) Нильс Генрих Абель (1802 — 1829) — норвежский матемнтик. ОШ БДБПБН!1Б!И ИНТО! ! АЛ Ргб 1О Так как о, > 0 и о, — о,~.! 3 О. то. замоняя в последнем соотношении каждое 5', сначала на 4, а погом на В, получим неранено!ва И](о! — оэ); — (о! — оз) 4-... 4- (о„! — о„) -!- о„] ( о! и! 4- о и +... 4- о„и„< < В/(о! иэ) лг (и! 'из) ! «! (!' — ! и ) Отсюда, замечая.
что ныражения в квадратных скобках равны о!. получим Ио! < о!и! 1- оэи! -!-... -!- о„и„< Во!. .1емма доказана. 3 а м е ч а н н о. При гоказагельстве леммы Абеля мы использовали преобразование суммы 2 оьиы которое обы*то называют преобрвзооанлшм АЬелл. Более полные сведения о преобразовании Абеля и важные применения этого преобразованяя можно найти в и.
й Ь' Ь гл. 13. До!газательс гво утверждения нз п. 4 Ь 6. Допустим. по функция я(х) не возрастает нв ]а.Ь] и неотрипательна па этом сегменте. Имеем. в силу нпгегрируемосги /(о)д(х) ). ~(х)б(х)г(х = 1гп! ~ Д(г, !)я(х, )!1г,, где !1 = п!ахг1хп а о —..! Пусть Л1,, и т, - точные грани !'(х) на /!г,, !.х,]. Тогда, поскольку й(х) неотрицагелыга, справедливы неравенства ггая(г, !)!лх, < ~ ~1(х, !)я(хз !)Лх, < ~ Л1я(х, !)!ах,. (!0.4Ц =! ,=! =! Так как я(:г) не возрастает на ]а. Ь], то разность М я(х, !)Ах, — ~! пия(!г, !)Ах, = ~ ~(М, — пг,)е(х, !)Ах, =! =! =! не превышает числа я(а) 2 (Л1, — пь)Ах,.
Поскольку функция /(х) инзе,=! грируема, сумма 2,'(М, — гг!,) лг, = 2,' го,.Ъхд сгремится к нул!о при А -э О. =! =1 О!сюда и из неранено!в (10.41) вьпекагз, что для любых чисел 1г,. удовлетворяюгцих неравенствам гп,, < р, ( М,„каждая из сумм т б(х, !)Лх,. 2 1ья(х, !)гхх,, ~~ ЛХя(х, !)Ах, =. ! =.! ,=! ь имеет своим ой!еделом при А — т 0 интеграл / ~(х)я(х) г)х. Согласно форм' ле (!0.12) числа р,, т,, < р, ( М,, можно выбразь так, по / 1(х) г(х = — ! = д,гхх,. Так как функция Е(х) = / 1(!) !гс непрерывна на сегменге (п,Ь] !) См. свойство 3' Ь' 5.
367 ПОПОЛНЕН11Е 2 мы л, =- ~„пг заключены между и! и Л4, то, в силу леммы Абеля, сумма ь=! я[х, !)1!,с1х, зак;почепа между и!я [а) и Л1я [и). Но тогда и предел при ь! — ! 0 этой суммы заключен между шй[о) н Луб[а), т. е. справедливы неравенства и [о)сл ( / /[х) д [!г) Й х ( я [э) М. Непрерывная функция Е[х) = / 1" [Ь) !11 приниъ|ает любое значение 4, за- ключенное между ее точными гранями гп и М, г. е. найдется такая точка (, чго Поэ! ому йх)й[ ) 4х = к [о) ~ 1[х) 4 [10. 42) Если новозрастаЮщая функция к[х) имесч и отрицагельные значения, то функция 1![х) = я[в) — 6[Ь) невозрж:та!ошая и имеет неотрицательные зна- чения.
Поэтому, в силу [10.42). /[х)[я [х) — я[Ь)] !Хх = [я [а) — я[Ь)[ / 1[х) дх. Отсюда путем несложных преобразоваяпй мы и получим формулу [10.16). [см. эаме.!анне 3 и. 1 З 7). то числа 5, = 2 1!ь!эхь = / 7[Ь) !11 заключеь=! ны между !очной ш!жней гранью и! и !очной верхней гранью М функции Лг[х) на сегменте [п.Ь).
Положим г! = я0!). в = ц[з!!)...., гм = 6[х„!), и! = р!Лгх!, ..., и,„= ры!ах„, Так как г! > >г! » ... в„> 0 и сум- ГЛАВА 11 ГЕОМЕТРИ'ЧЕСКИЕ И ФИЗИх1ЕСКИК ПРИЛОяККНИЯ ОПРКДКЛКННОГО ИНТЕГРАЛА й 1. Длина дуги кривой 1. Понятие плоской кривой. Наиболее естественно рассматривать кривую как «лед движущейся точки. В этом пункте мы придадим этому представлению о кривой математический смыл"< и введем понятие так называемой ярос<по<1 кр«во<1,. Пусть функции <р(Х) и <б(Х) Ц непрерывны на сегменте [<г,)Х) (аргумен< этих функций р=хй<) -------- и в дальнейшем будем называть параметром). Если рассматривать параметр й как время, то указанные функции определяют закон движения точки ЛХ с координатами 'У»< (111) 1 г<с.
11.1 гг ( Х ( <г)г по плоск<и:ти (рис. П.1) '). ЛХножество (г<уЦ точек ЛХ, отвечшощих всевозможным значениям параметра Х из сегмента [<г,(Х) естественно рассматривать как след точки ЛХ, движущейся гго :<акопу (11.1).
Отметим, что множество (ЛХ), представляющее собой гчед движущейся то'<ки< может гп'. соответствовать нагпим наглядным представлениях< о кривой. Межи<э, например, ука- ы ) Здесь и в дальнейшем л<ь< будем начыва< алоскоюльх< совокунгюсг< всевозможных упорядоченных лар (,г, д) чисел я н у (каждую <акт<о нару мы будем нязь<вага точкой плоскости). Числа я и у назывг<готся координатами точки (к, р). Для краткое ги мы будем также обозначагь точку (к, р) одной буквой ЛХ, Запись ЛХ(,г, р) означает, что точка ЛХ нмеез координаты л н <ь дз!иил дъл! и квивой 369 зать такие нс)прерывныс) функции Ъз(1) и Ф(1), заданные на сстменте (0,1], !то !след точки М, движущейся по закону х = ср(й).
у .=-. )у(с). будет заполнять целый квадрат. Поэтому естественно выдс.)шть тй!сие множс«с:тгй )ЛХ), которы!'. соотвс)тетву !0т нйшпм наглядным представлениям о кривой. Таким образом, мы приходим к понятию простивй криво!). Мтсотсествп (ЛХ) всех тп сек ЛХ, коордттаты х тс у кпп)врых определяннпся уравнетисямн (11.1)., будем называть простой плоской кривой Х, ес:лн рс)злт)чным значениям, парят.лсетй)с), Х нз сеглсентиа. (о, Д отвеч»иот 1мз.лплечыс тв:сктл зтвго) мт)асяс)ест,ва. Лйы будем также употреблять стзеду!Ощую терминологию: «уХ)ввнент)я (11.1) определяттп т)росшую тслоскую кртсвую Ь» и «прсн:тая плоская к1)с)вая Х пвйясмепц)п,)с)с)отса прп помп!да ~цх!внстисй (11.1)» Каждую точку множества (ЛХ). фигурирующего в определении простой плоской кривой, мы будем называть точкой этой кривой, причем точки, отвечающие граничным значениям сс и 56 параметра 1, будем называть грани сньсмп, точками простой кривой. ПримРВОм 1ц)остОй к1)ивой можР1 слъ жить грйфик ИР!ц)ерыВ- ной пй сс)гмс)нтс) (о, Д фу~~и~~ у = Х(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
