Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 82
Текст из файла (страница 82)
ограничены. 3 а м е ч а и и е 2. Фо!элсула, (11.1О) длл вы сислених длинъэ дуги справедлива, если ороизввдньсе Ээ'(С) и ср()) внределггсы и интеврирусллы на, сегменте ]о, 8]. В самом леле. из иптегрируемости этих производпых слелует их ограниченность и поэтому. в силу замечания 1, спрямляеъюсть кривой Е. Заънтим далее. что для вывода перавоцств (!1.14), (1!.15) и (11.16), а следовательно, и иеравепства (11.13),гостато*эссо лишь существования и иптегрируемости производных р (С) и ы (С), так как отскэда, согласно до!.
с»* ..* ° '.» .. *.Ф « °,ФРГ~етс Все остальные ращ:ужвеция такие же, как в в доказательстве теоремы 11.1. 3 в м е ч а н и е 3. Еелп нрссвссл, 1 яеляетея, г!къс)]ссксэм функцсссс у = ) (х). !смею!с!ес! На сегме)сте (а,(э] непре!)асс!)сунэ проссзаодную Х' (х), то к]псвал Е сп!зямляема п, длина 1 дуглс Х лсожет бисти найдена по (]]о)эллуле а 1 = 1+ (сэ(х) дх.
(11.19) а Для доказательства заметим, что график рассматриваемой функ)(ии представляет собой криву!о, определяемую парвметрическиънл уравнениями х = — Х, у =- Т(Х), а < Х < (э и )сри этом, очевидно. выполнены все условия те;орсмы 11.1.
Поэтому, полагая в формуле (11.10) ~ср(Х) = Х, сг(Х) = !'(Х) и заменяя персменнук) интстрирования Х на х, мы получим формулу (11.19). Отметим длинл дтги кривой такьк., что 1)гли кривая 1 оцредезя1тгся нолярнызг уравнением г = г(0), 01 < О < 02 и функция г(0) имеет на сегменте [01,02» непрерывную производную, то кривая Т снрямляема и длина 1 дуги 1, мо)к1)т 61,)тг найдена по фора)у.»1 ат 1 = г2(0) + г)2(О)дО. (11.20) о) Д:1я дока)агельства ВОС»ольз)'емся й)Ормулами 1»)рехОда От »О- лярных координат к декартовым х =- г(О) соаО. й = г(0) вшО.
Таким сора)ом, мы видим, что кривая А Определяется наракютрическими уравнениями. причем функции 1о = г(0) совО и ))) = = г(0) вшО удовлетворяют уг»)вияк) теоремы 11.1. Подставляя в (11.10) уют)Явные значения 1)) и 1)). мы получим формулу (11.26). Сформулируем достаточные условия спрямляемости пространственной кривой. Если 1[)йнкции р(1), г[)(1) а у(1) имеют на сегменте [омй» иепрерыоные производные, то кривая Т.
определяемая, йро,имениями (11.5). спрямллема и длина! ее дуги меже)п О)ь)гпь найдена по фо))ллуле <Н,. (11.21) Доказательство аналогично доказательству теоремы 11.1. 3 а м е ч а и и е 4. Если функции Й(1), )Ь(1) и 1 (1) имеют ограниченные па гегмепте [о, О) производные. то кривая А, определяемая уравнениями (11.5). спрямляема. Если )три атом произво,)пые указанных функций ивтегрируемы па сегмепте [и. 3). то длина 1 луги кривой б может быть вычиглепа по формуле (11.21) (см. замечапия 1 и 2). 6. Дифференциал дуги. Пусть функции х = 1р(1) и д = = )))(1) нк)еют на сегменте [г),,3» непрерывные производные.
В этом случае, в силу теоремы 11.1. переменная дуга 1(1) нредгтаВляе)тся 1лг'.Л)'юн11)Й форы)'лОЙ: )(1) = ~р)2(т) +,1)2(т) дт. (11.22) Так как подьштегральная функция в правой части формулы (11.22) непрерывна. то функция 1(1) дифференцнруема,. причем ГИ) = еРРТ~-Ф'1О 382 НРИ'!ОНСЕНИЯ ОП!'ЕДЕ!!ЕННОГО ИНТЕГ!'Алй ГЛ. 11 (см. и. 1 8 7 гл. 10). Возводя обг сас'ти последнего равснствн в квадрат и умножая затем нн с)12, получим формулу [1'(1) 111] = [ср'(1) с11) + [ф'(1) Н~~. (11.23) Поскольку 1'(1) Ю = с(1.
со'(1) Ж = с1х, ф'(1) с(1 = с1у, то из (11.23) найдем 1212+12 (11. 24) 1Лсз формулы (11.24), в .и!отнести, следует, что если зн параметр выбрана переменная дуга 1, т. е. х = 87(1) и у = Ь(1), то ( — ") + ( — '") = 1. (11.25) Отметим, по при устловии непрерывности производных функпий х = со(1), с) = ус(1) н я =,у(1) для дифференциала с11 дуги прос:транс'твенной кривой, определяемой парнметричес:кими уравнениями (11.5), справедлива формула 11212+12+12 (11.26) 1Ь формулы (11.26) следует, сто если за параметр выбрана, переменная дуга 1, то (й) "('-,"') '($) =' ("' 7. Примеры вьсчислении длины дуги.
1'. Длина дуги циклоиды1) х = а(1 — вшй). д = а(1 — сов1), 0 < ! < 2!с. В рассматриваемом случае ср' = а(1 — сов!), с)з' = а.вш1. Позтому по формуле (11.10) 2к ят С ~2т а (1 — сов!)2+ в)п21сй = 2а 1 вш-'с11 = — 4асов -'~ = 8а. О О 2'. Цепсссссл лссссссес1 называется график функции у = а с1з —" 2). Найдем длину учщ:ткн пенной линии, отвечающего сш мни!у [О, се[. Имеем по формуле (11.19) 1(х) = 1+!)с2(б)сК = 1+вйа — сК = Гсй ~сК = анй — '"'. и, н, о ') Цссклеида — п:юская кривая, которую описывает точка окружности радиуса о, катящейся без скольжения но прямой линии. е) Наименование цепная линия связано с тем, что с)юрму рассматриваемой кривой имеет тяжелая цепь, подвешенная за концы.
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУ!'Ы Х> 3'. Найдем пеРсменнУю д>тУ эллипса — ", + Уц = 1, а > Ь„от- о' Ь> считываемую от точки >!Хо!0. Ь). Рассмотрим параметрические уравнения эллипса са = а 8>г>1, у = Ьсое1, О ( 1 ( 2п. По формуле !11.22) имеем 1Я = С»>21т) + >)>>2!т)дт = о о = а 1 — еэ е>и тс1т = оЕ1е,р). О зги' — Ь>' Число е = называется эксцентриситетом эллипса,.
яц. цц.. а .ц а !Л вЂ”:'ЙР~>ц цй ц» ц ц» нуль при Х = О, называется эллиптическим интегралом 2-го рода и обозначается Рц>е,1) !ст!. 8 11 гл. 7). 8 2. Площадь плоской фигуры ') 1. Понятие квадрируемости плоской фигуры. Площадь квадрируемой плоской фигуры. Понятие п,лощади плоской фигурь>, яв.>яющейся многоугольником ), и:>вестно из курса элементарной математики.
В этом пункте мы введем понятие площади плоской фигуры с> части плоскскти. ограниченной !!Вестой зааскнутой кривой 1 '). При этоь! кривую А будем называть грюпщей фигуры 1). Мы будем говорить. что многоугольник описан в фигуру сцэ, если каждая точка этого кшогоутольника принадлежит фигуре Я или ее границе. Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоупщьнику, то будем говорить, что указанный ьшогоугольник описан, вокруг фигуры с>. т11>но, что площадь л>обого вписанного н фигуру б> многоугольника не бо:>ьп>е >слспцадп любоп> спщсанного вокруг фигуры С2 зшогоугольника. ПУсть 1Яц) щсловое множество пло>ца>ей вписанных в плоскую с)>игуру 63 многоугольников, а 1л,с) чис>ловов множе- ) Во второй час ги настояще>о курса читатель найдет широкое примепение понятий площади плоской фигуры и произвольного >шожества точек плогкости.
ац > 1ц1ного!>го»ьнпкпм мы будем называть часть плоскости, ограниченную простой замкнутой ломаной линией. ) Отметим, что простая замкнутая плоская кривая Ь разделяет плоскость на лве части внутреннюю и внешнюю. Э>о утверхсдение было доказано французским математиком Жорданоь> 11838 — 1922). и!'ит!О>кения ОИ1'еде;1еннОГО интеГРА.!А Гл.
11 ство площадей описанных вокруг фигуры Сг многоугольников. Очевидно, множество )Я,,'! ограничено сверху !ил!оп!>сл!ью любо- го описанного вокруг фигуры бч! многоугольника), а множество (Ял) ограничено сни.су (нгпсрихсер, питом нуль). Обозн шим че- рез Р точную верхнюю грань множества )Яс), а через Р " точ- ную нижнюк> грань множества )Яи). Чглсла Р и Р тсслзывотютпся соотпоетстпвентсо тсислстлегл плютцидгио и ссср!пастей п.,лоьйидьнс фигу- !ты, б!. От>летим, сто нижн>!я плон!аль Р фссгуры Я пе польше верхней плосцади Р ьчой фигуры, т.
е. Р < Р. В самом дел!е, предположим, что верно п)тотивоположное неравенство Р ) Р. Р— Р То~да початая — = е ) О и ! титывая оп!».деление то шых граней., мы найдем такой вписанный в фигуру Г) многоуголь- РжР ник, плошадь Чс которого будет больше числя Р— е =— Р Ь Р т. е. — < я,, и такой описанный вокруг фигуры балт много'с; — РжР угольник, площадь Яз которого меньше числ>с. Р+ е =— 2 Р -ь Р т. е. Яи < —, . Сопоставляя полученные два неравенства, няй- 2 дем, что Яг ( Я,, чего не может быть, тяк как площадь Яи лю- бого описан!к>го ьшого! Голь!сика тсе .меньше площади Яс лк>оого вписанного многоугольника.
Введем понятие квадрнрусмостн плоской фигуры. Определение. Плоская фигура бгг тюзывиетсл к в а д р и р у- с лс о й, если верзстсял плсотссидь Р этой фигуры сотгидает с ее талон:сшй тслотл!ис1ьто Р. При эпсолс число Р = Р = Р тюсьывиетса плосцадтпо устлгуры !т. 3 а м е ч а н и е. В дополнении к этой главе будет приведен пример неквадрпруемой фигуры. Справедлива !си!дующая пгоремя, Теорема 11.в. Для того чпсслбьс плоскал фтлгуухл, б! были ьви- дрируемой, необходимо и даст!ипат!о.
чтобы, для лн>бого тхлло- эюитпелглсого числа е мооютсо было укизатпь такотл тсптлсатстсый вокруг фигуры !лс лшогоугольшлк и тикай вписиипьсй в фигуру б! лсногоугольтак, риз!!ость Вг — Я, плон!идя!1 кт»спорых были бьс метсьуле е, Яг — ос ( е. Д о к а з я т е л ь с т в о, !) лл е о б х о д и м о с т ь.
П!сть фи!ура С1 квадрирусма, т. е. Р = Р = Р. Так как Р и Р точные верхняя и нижняя грани ьтно>кестсв )Яс) и )ои), то для любого числа е > О можно указать такой вписанный в фигуру с1 многоугольник, площадь Я, которогст отличается от Р = Р меньше тем ня етс2, т. е. Р— Яс < есс2. Для этого же е > О можно площадь плоской Фигуры 385 указать такой описанный многоуз-ольник, плошадь Яд которого отличается от Р = Р меньше чем на с12з т. е. Яд — Р < сгз2. СКЛаДЫнаЯ ПОЛУЧЕННЫЕ НЕРаВЕНСтВа, НайДЕМ, Чте Яд — Яз < С. 2) Д О С т ЗЗ, т О З НОСТЬ. ПуСтЬ Яд И Яз ПЛОщадв МНОГОУгольников, Дли котоРых Яд — Яз < с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
