Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 86
Текст из файла (страница 86)
п. 1 пастояпюго пополнения)..1егко подсчитать, что сумма л' п.ющадей всех удаляемых полуоткрыл ых треуголыш- р.,— 11 ков мепыпе п.юшади лз треуго.зьпика Т[ —, ). Слс.зовательпо, часть [2 ' 2" 1а имеет плаща.згч равную лз — 5 ) (). В у 2 этой главы при доказательстве квадрирусмости фигурьз, ограцичогпюй сирам,шомай кривой, мы докжзаззгз. что площадь сирам. зяемой кривой равна пулю (сирам.зягмую кривукз можззо покрьзтз кпзогоз го зьпикоч сгсо зз з годно ззатсзй ззлошади). Почтамт касаи Аа кривой А, а <шедовательпо, и часть 1', содержащая 1", песпрямляема. 3 а м е ч а и и е. Каждая пз построенных фушсций р(1) и с,(() нс имссга прои,твдяай ни в одной точке сегмента [О, 1). ) Эти формулы легко получиттч ес;ш учосзь.
что суммы п.юшадей треугольников, удаляемых па нечетных шагах процесса, образуют геометричз'- скую преп.рессию 1, 1з4,..., а суммы плошадеи треуз.о.зьпиков, удаляемых па четных гаазах процесса, — геометрическукз прогресспкз 1(2, 1)'8.... ГПАВЛ Г2 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫт1ИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ и'РАВНЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ В этой главе рассматриваготся прглближенные методы нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений и вычисления определенных интегралов.
'й 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений В этом параграфе мы займемся приближенным вычислением одного из корней уравнения г [ж) = О, где р = 1(ж) некоторая непрерывная или дифференцпруемая функция. Будем считать, что интересугощий нас корень с этого уравнения изолирован на некотором сегменте [а, б], т, е, будем с ш гать, что этот корень является внутренней точкой сегмента [а, 6], не содержащего других корней рассматриваемого уравнения.
Па практике обычно путем грубой прикидки определяют рзззгеры указанного сегмента [а, Ь] ). 1. Метод «вилки». Начнем с метода, который часто используется для прпблпзкенного вычисления корней на современных бысгродегйствучоггвгх матеагазнческпх машинах. Пусть пнтересукпцийг нас корень с уравнения г(ж) = О изолирован на некотором сегменте [а, Ь]. Относительно функции ) (ж) мы предположим. гто она непрерывна на сегменте [а, б] и имеет на концах этого сегмента значения разных знаков. В да;гьнейгпем для краткостгл мы будем называть «вилкой» всякий сегмент, на концах которого у(ж) имеет значения разных знаков. Перейдем к описанию метода отыскания корня уравнения 1(га) = О, называемого мстггодом «вили»вы 11 ) При этом может быть использована вытекакггпая из физического содержания задачи „гополиитсльная глпфорыаггия о распозоягении корпя.
вычислкиик когвкй лч явикиий Ради определенности будем считать, 1то «(и) < О, «(6) > О. Разделим сегмент [11, 11) пополам. При этом может представиться два случая: 1) значение функции в середине сегмента [и, 11) равно нулю (в этом случае искомый корень найден); 2) указанное значение нс равно нулю.
В этом случае одна пз половин сегмента [п, 6) является вилкой. Эту половину мы обозначим [и1, 61). Очевидно, что «(и1) < О, «(61) > О. С с1тментом [111.61[ поступим точно так же, как с сегментом [и., !1), т. е, разде зим сегмент [и1., 61) попо.,1ам. Продолжая ана.1огичные рассуждения далее, мы будем иметь две возможности: 1) либо описанный вылив процесс оборвется вследствие того, что значение функции в середине некоторого из сегментов окажется равным нулю (в этом случае искомый корень найден); 2) л1лбо описанный процесс люжно продолжать неогранп инно, и мы получим стягивающуюся систел!у ССГМЕНтОВ-ВИЛОК [а1.
61), [1Ла, 11Э), ..., [Пло Ьо[,..., ПРИЧЕМ ддя ЛЮ- бого номеРа 11 «(па) < О, «(6а) > О. Укаланпан стагиваЮЩаЯОЯ система сегментов имеет одну общую точку с, к которой сходит- сЯ кажДаи из послеДовательностей (11а) и (Ьа) (см. слеДствие из теоремы 3.15). Докажем, что с и является искомым корнем. т. е. «(с) = О. Поскольку функция «(я) пег1рерывна в 1о 1ке с. то каждая из последовательностей («(а,„)) и («(6а)) сходится к «(с). Но тогда пз условий «(па) < О, «(Ьо) > О, в силу теоремы 3.13 и заме 1ания к этой теореме, получим.
что одновременно справедливы неравенства «(с) < О и «(с) > О, т. е. «(с) = О. Проведенные вьппе рассуждения дают алгоритм отыскания искол!ого корня с. За приближенное значение этого корня можно а„-Ь 6„ ВЗятЬ тОЧКу " ". т. Е. СЕрЕдИНу СЕГЛ1ЕНта [По,(1,).
ПОСКОЛЬКУ 2 Б — а, а„-!- Ь„ Длина сегмента [пап(1„,] Равна ', то плсло " " оншчаетсЯ 2" '2 6 — а ог точного значения корня не более чем на . Таким образом, Описанный выпю процесс пос'1с![Ова гельн01 О деления сс1 мснтогвилок пополам позволяет вычислить искомый корень с с любой наперед заданной степенью точности. Так как описанный пропесс приво,лиг к мнолократному повтор!"ншо одноли11г1И11а! вычислительных операцллй, он особенно удобен для проведения вычислении на быстродействующих математи леских маппшах.
2. Метод касательных ). Метод касательных является од- 11 ним из самых эффективных приближенных методов вычисления корней! у1)анне'.Иия «(х) = О. Пусть искомый корень с уравнения «(;г) =- О изолирован на сегменте [О.,Ь). Перейдем к описанило метода касательных.
Ие выясняя пока ус;1овпй, при которых применим этот метод. ) Этот метод наамвак1т такжо .методом Нь1атаиа. принлижкннык мктоды Г21. 12 Обратимся к ра<'смотрению графика функции 1(х) на с<)гменте (а,()] (рнс. 12.1). Возьмем за нулевое приближенн<' искомого корня некоторое значешле:го из сегмента (и..'и) н обозначим ВО точку графика функции с абсциссой (го.
Пров<длил через точкУ Ло касательнУю к гРафикУ фУнкЦии и возьмем за и<'Р- вог приближение нскомо<о корня абсциссу хл точки пересечения этой касатцпьной с осью Ох)). Далее проведем касат<)льную к графику функции через точку Вл с абсцнссой х) н возьмем:ла второе приближение абсциссу х) точки пересечения этой касательной г осью Ох. Продолжая этот процес( неограии 1< нно, мы построим по<:и довательно<ть хо, хл...., <х„, .,, приближенных значений искомого корня. В практн неких целях удобно полу пнь рекуррентную формулу.
выражающую хны нрсз хп. Для этого возьмем уравне- ниР У ) (хп ) — ) ( хп ) (х х и) ка( атРЛЬНОЙ к ГРа<1)ик) ())Ункдии Р тоЧК< Ли И ВЫЧИ(ЛИМ абгл<ИС- в 1 то лкн )п ресеч<лння э)ОЙ касательной с осью Ох. При этом получим <Рорхлула (12.1) определяет алгоритм метода касательных. А Таким образом, метод каса- т()льных пр("дставля('т РОООЙ Рис. 12.1 м( тод по<ледоваз Рльных при- блнжиний (нли, как говорят.
метод итераций), которые строятся при помощи рекуррентной формулы (12.1). Нашей дальнейшей:)адачей явля<-тся обоснование метода касательных. В п. 5 мы выясним болония, прн которых по<)д('донат()явность значений:хп, Определи<)мых формулой (12.1). сходится к искоклокл) кОрн1О с. и;<алим Оценк) погрРшн<х:1и. т. (н О1к<10ИРния приб.:)их(гнпп<о зна и)ния хп от точного значения корня с. 3.
Метод хорд. К чи(лу широко распространенных приближенных методов реппния уравнения ((:с) = О относится мето.д ХОРД. Перейдем к описанию этого метода. н< выясняя пока усповий, при которых он применим. ) Так как касательная в точке Ве представляет собой график диффереипиала фуикпии н = 1(х) в точке хе, то указанный прием отьп:каиия перво) о приближения х) основан на зпл(ене <р())нк(Лии ее ди4ферен(лиилвм в точке хе. ВЫ'1ИСЛЕЫИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕИИ11 405 (б х~)1Ь~) У(б) — П :*) (12.2) Формула (12.2) опр(делает алгоритм ълетода хорд.
Таким образом, метод хорд представляет собой метод итераций, которые строятся при помощи рекуррентной форму)ты (12.2). Нашей дальнейшей задачей является о(юснование метода хорд. В и. 6 мы выясним условия. при которых по(щедовятельностт. значении хя сходится к искомому корню с, и да:(им оценку по- Г))('п!ности и('.тОдя хор;1.
4. Метод итераций (последовательных приближений). Из пп. 2 и 3 ясно, что методы касательных и хорд связаны общей идеей построения последовательных приб..плжений к искоън)му корню. Этя идея и л(тж1)т в Ос(топе излаГяемОГО в настоящем пункте метода. Этот метод мы рассмотрим в примеш)нии к уравнения) (12.3) х = г'((т;).
Предположим. что искомый корень с уравнения 1(х) =. О изолирован ня с(тменте [а, Ь), и обратимся к рассмотрению графика функции 1((г) на этом (егъпнте (рис. 12.2). Возьмем за нулевое приближение искомого корня некоторое число хя из сегътентя [а, Ь] и обозначим Ае и Л точки графика функции с абсциссами (гя и Ь. Проведем через точки Ае и В графика функции хорду АОВ и возьъп и зя первое приблтлжение искомого корня ябсци(.- су:т:1 гочки пересечения этой хорды с осью Ох (см, рис, 12.2). Далее проведем хорду п)рез точки графика функции Ат с аб(Т1иссой хт и В. За второе приближение возьмет абсциссу хт точки пересечения хорды А)Л ( огьн) Ох. Продолжая ха а Хт Х2 с Ь э)тот процесс неограниченно, Хъ мы построим последовательНОСТЬ ХЕ,:Гт,, .., (Гя,... ПРИ- Аг ближетшых значений искомого Ат корня.
В практических целях удобно тто)тъ пить рек11цп нт ную формулу, выражая)тпую х„ът через х„. Для этого возьмем уравнение = ' ' хор- 1' -- 1(хи) г(б) — б(х„) ды, проходящей через точки А„(х„, ('(х„)) и В(Ь, б'(Ь)), и вычислим абсциссу х„эт точки пересечения этой хорды с осью Ох. При этом ттолучим гл. гг пниьли)киппык митоды Еэвсл)епе поияте«' тсюаг1яциинноп, тлослс'.Е)г)сеслттлсгеьтлг)стг)тл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
