Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 87
Текст из файла (страница 87)
ПОСЛР;ЮаатРЛЬНОСтЬ ХО,ХЕ,...,Есп,... будЕМ НаЗЫВатЬ итс- Р)ГЛЕЕЕЛОЕЛЕЛОЕЛ. РСЕЧИ -ЕЛЯ ДЮбОГО т), ~ )1 ЭЛС М«НТ;Хтт ВЕ ЕРйжйг ТСЯ ЧСЕРРЭ эломснт х„с по РекУРРРнтной фоРмУ)и хп = Г(хп 1). а в ка«ствс хо взято любое чис)о из области задания функции Р(т). Мы докажем, что при определс.нных условиях итерационная пос:Ее:Еоватсльносеть сходится к корню уравнения (12.3) и, стало бттть. РР элсмснты могут бьгсь аз~ты зй приблелжснес),ЕР )нй«- ния этого корня. Справедливо следующее утверждение. Утелерэесдентле 1.
Пуестг)ь функция Р(х) нсепу)григ)на на, ссегменетг. [а, б], и плссть всс. Плсмтипи елттегрстлстлг)нтлой 7)оследово; тпельноспси хс),.ЕЕ,..., х„„... леэюат на этом сегменлпе. Тогда, еслп, эпш последоватсльность сходипюя к некопюраму числу с„ тпо уьтазанное 'сисло с являетпся корнем уровнснеля (12.3), Д О к й 3 а т Р л ь с т в О. Так как пОСПРдОвйтРл!посте' (хт~) сходится к с и все РР элементы принадлежат гвгмгнту [о..
6], то и предел с прина:елсжслт сегменту [о,. Ь] (см. сщгдствиР 2 из тсоремы 3.13). По усщовпк) функция Г(:1:) нгпргрывна в точке с. и ПОЭтаьсу ПОСЛРдОВатсдЬПОСтЬ (Р(Хп 1)) СХОднтоя К Р(С). ТаКПМ образом, равснство хп = — Г(т;и 1) в прсднвс при п — э сс 1«ерсходит в равенство с = Г(с). т. е. с является корнем уравнения (12.3). Дока)аинос утверждение будет существенно использовано нами в пп. 5 и 6 для обоснования метода касательных и хорд. Докажем Рще одно утверждение, часто используемое для приближенного вьгее«щения корпя уравнения (12.3) с помощью нтсрационной поселедоватсльногти. Утверэесдение 2. Лустпь с корень ууии)нснпя (12.3), и теусть о тлгкоттлором стемметри птм оптосительтсо точюел г сегменте [с) — в.с+ г] производная функции Г(х) удовлепеворяст етсгловелто ]Г'(е))] ( се ( 1, Тогда, слтерациотгная последоватп«льность хо.
)хс,..., хп, ..,, У ксив)Рой в качеспеве хо взлтпо лтобое "гтлслг) из е вгмснлаа [с — г, с+ г], ссоделплсэя к ух)стэг)нтсг)му корню с. Д о к а з а т Р л ь с т в о. Прсждг всего докажгм, что все элементы итеРаЦионной посщР.Довательности (э:и ) ПРина. )лежат УКа"тащ10М'т' С:И'КЕРН1У [С вЂ” З. С+ г].
Ц С',йМОЫ ДЕ'ЛЕ). Хв ПРИПЕЩЛРЖЕЕТ э)ломе' СРгмгнту по есщовпк). Поэтом1 досг)сочно, п|)сдположпв, 1 ПРИНйДЛЕ жнт ЭТОМУ ССЕКЕС*.ЕЕТЕД ЕЕОЕСйэйтЬ, ЕТО И Хп С Х11 пресне)дле)жит. Для это~о примс ним с])орм1 лч Дйграпжй к рйзности Г(х„с) — Р(с) и учтем. что Г(с) = с, х = Г(хп 1). Получим хп — с = Г(хп с) — Р(с) = Р'Я(хп ~ — с), (12.4) гдс б ьокоторая точка, лежащая между х„е и г: и. Стало быть, ПРЕЕНВДЛРЖВПЕЕЕЯ С:РГМРНТУ [С вЂ” Е,С+ г]. 1аК КаК ]Р (э)] (~ В ( 1. ВЫ'1ИС|1ЕНИЕ КОР1|Е13 МРАВНЕИИ11 407 то из равенства [12.4) полу |им [Ша — С[ ч ~о[*я .1 — С[. [12.5) Из [12.5), поскольку О < о < 1, в свою очередь получим [Юн — С[ < [Юа 1 — С[.
[12.6) Неравенство [12.6) устанавливаст, что каждый э|оплел|ующий элсмснт .т;я |эас'положс-'н к с ближР. Нь! Н[эРды:СУЩнй элс'мсч!т сгп |„и, с|ало быль. Так как ш | прннадлежнг сегменту [с— — с, с+ с) и так как этот сегмент симметричен относительно точКи С, ТО И СГээ П[зэгиаДЛС жнт этом~ СРГМРНТ)Ч ОСТНРТСЯ ДОК;ЭЗНТЬ. что пос.ведовательность 1юэс) сходится к с. Поскольку неравенство [12.5) справс'дливо для всех номеров гэч то с помощью этого нР)эагРнства псэзэ) чим [:г„— с[ < оээ [|ге — с[. [1'2. 7) Из последнего неравенства очсвндно, что:г„— э с, пбо оп — э О. Утверждение 2 доказано. Рис. 12.3 На практике чаще во|то встречается еду|ай.
когда производная г'э[сэ) имеет на сегменте [а, Ь] определенный знак. Есщи этот :знак положителен, то из формулы [12.4) следует, что поспсдоватсльность [шээ) хюнотоннв. Этот с:эУчай п1энвсэдит к так называемой сггэд|гэенчолгссэс| дсгсэгралсме, изображенной на рис. 12.4. Если же производная 7г'[ссэ) отрицательна нв сстментс [а, Ь), то из той жс формулы [12.4) видно, что любыс'. два посщедовалл льных элемента тп | и:г„лежат по разньп'.
стороны от корня с. Этот С,селаем практические замечания осносительно только что доказанного утверждения. Предположим, что путем предварительной прикидки мы установили, что интересующий нас корень уравнении [12.3) изолирован на некотором сегменте [а. Ь[. иа котором производная функция Г[т) удовлетворяет условию [го[я)[ < сг < 1. Так как сегмент [а, Ь[, вообще говоря, но является силсмпври вгмм спносительно искомого корня, то, естественно, возникаес вопрос о том, как выбрать нулевое приближение хо, с тем, чтобы можно было применить доказанное а Ь выше утверждение 2.
Заасегиьэ, что где бы внутри сегмента [а, Ь[ ни находился ис- 2с — Ь с комый корона с, хотя б один из двух Ь симметричных относительно с сегмеэпов [а,2с — а[ или [2с — Ь, Ь) [рис. 12.3) целиком прииадлошсипэ гсямеэнау [а. Ь[. Почтому хотя бы одна из точек а или Ь принадлежит симметричному относительно корня с сегменту, всюду на котором [г"'[г)[ < а < 1.
Стало быть, по крайней мере одну из точек а или Ь можно, согласно доказанному выше утверждгникэ 2, выбрать за,го Конкретно за яо стелуог выбран ту из двух точек а или Ь, для которой приближение хэ = Ь'[яо) не выходит за пределы сегмента [а, Ь[. 408 ГЛ. С2 пгиьлижкннык мктоды Рис. 12.4 Рис. 12.5 случай приводит к так называемой сиссрссзсевбразссссй диагражлле, изображенной на рис. 12.5. 3 и м е ч а н и е. Восзниссает вопрос об ос севке пог1>енснсссти метода итераций, т.
е. об опенке отклонения и-го приближения;еп от точного значс'ния корня с. Из формулы (12.7) непосрс почвенно вытс'к'и:т с"сс'д1!Огцая Оцс.нка; ~х„— с! < о (Ь вЂ” а), где о -- точная верхняя грант функции !Р~(х) [ иа сегменте [а, Ь], на котором изолирован рассъсатрнваемый корень, Если производная х'(се) отрицательна на сегменте [а, Ь], то, как указано выга, хп .1 и х„лежат по Разные сто1сосссс от ко1ссси с, и ссоэтохс1 с:праведлива счс!дусе!ца.я 011с'нка: ~.~п — с[ ~!хи — хз-с 1 Если же в рассматриваемом случае взять за приближенное значение корня полусумму двух пог.седовательных приближений Ф Х„+У„с хсс то полу гим с:и'дуюгцую оценку погрсгиности: ,Ф,~ ( (Х.
— Х„~[ 5. Обоснование метода касательных. 1'. Рассмотризл сначала случай, когда искомый корень с уравнения 1 (:г) = О изолирован на некотором сегмс нте [а, Ь], на котором функция 1(сх) имеет ие обрасс1сзсощрсася в нуль первую проссзссссдирса сл версии сеиссдссс сгсссссрдю прссизводссрсо. Докажем, что в этом случас' найдс'тся такая достато сно малая окрестность корня с.
что сс'ли нулевое приближение хо лежит в этой окрест- ВЫ'1ИОЛЕНИЕ КОРНЕЙ мРЛВИЕИИЙ ности, то последовательность (ха), определяемая рекуррентной форму:)ой (12.1), сходится к корни> с. Прежде всего,:заметим, что уравнение У'(г) (12.8) имеет на сегменте (а, Ь] только один корень с, совпадающий с корнем уравнения 1(х) = О. Поэтому вместо уравнения !(х) = 0 мы будем решать уравнение (12.8). Дт)я этого, взяв некоторое:го, погтроим итерационную последовательность Хаь1 — г ()н) — ) а У'(ам) Заметим, что рекуррентная формула (12.9) в точности совпадает с рекуррснтной формулой (12.1). 1тобы доказать сходимость итерационной после;!овательности (х„) к искомому коршо с, достаточно доказать, что в некоторой е-окрестности корня с производная Г'(х) удовлетворяет угловию ~Е'(л)~ < св < 1, и взять хо в указанной ."-окрестности (см.
утверждение 2 из и. 4). В силу требований, наложенных на функцию 1(х), найдутся положительные числа) ьа и 1)' такие, что всюду на сегменте (а, 1)) выпочняются ш равенства !У'(х)/ 3 т ) 0 '), !~н(х)/ < Х. (12.10) (12.9) Поскольку (и(, ))е 1( )1п( ) 1( ) ~а( (1т(х))е (1(т))в то из неравенств (12.10) вытекает 1ще,)ующая оценка: ~ .)(х)~ < ~у(х)!й (12.11) Из непрерывности функции >(х) вытекает, что в некоторой е-окр1 стности корня с зчв функция удовл1 творяст неравенству 'Ь! (х)! < н, сн (12.12) где 11 фиксированное чи1х)о из интервала 0 < сг < 1. Сопоставляя неравенства (12.11) и (12.12). мы получим, что всюду в указанной е-окрестности корня )Г (х)! < о < 1.
Тем самым сходимость 11огледоватсльности (12.9) к корню с доказа,на. ') Эти неравенства вытекают и> того, что нроизволнаи 1'(х) непрерывна и не обреа)негев в нуль на рассматриваемом сег))анте. пгивлижштнык мктоды Г21. 12 3 а и е ч а н и е 1. Мы доказали сходимость ности)довательности (:еп) к корню с лишь при условии, что нулевое приближение ха лежит в достаточно малой е-окрестности корня с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
