Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Поэтому мы будем считать известным понятие объема многогранника. Пусть 1)эс) сис.зовов >и!еж!!ство обызмов вписанных в тсз— ло Е многогранников, а 11'з) лиловое множество объемов описанных вокрут Е многогранников. т)пожество 11гс) ограшсчепо сверху (объедок! любого описанного многогранника), а множество ()гн) ограничено снизу (напрнхсер., "питом нуль). Обозначим !г точную верхнюю грань множества 11сс), а 1' точную нижнюю грань множества )Тгз). Числа 1э и 1г называются соответственно иизкстм об! ьемом и осрхнилл обьемом села Е.
Отметив!, "!то нижний обьем 1' тела Е не болыпе верхнего обьема Гэ этого тела, т. е. 1г <)э. Чтобы убелиться в справедливости этого, .достаточно пров!эсти рассуждения, аналоги 1- ные тем, .которые были сделаны для доказательства неравенства Р < Р (сх!. п. 1 ~ 2). Введем теперь понятие хубируемоспги гела.
Определение. Тело Е ссссзьссзиссссся к у б и р у е м и м, если верхний обаам 1' о!ного свела соопидает, с иижсгим обьвмом 1', При о!валс число 1~ = 1 = 1" ~азьсооетвся обвелюм свели Е. Сп1эаведлива следующая теорема. Теорема 11.л. Дгся !~ого чтобы пссдссэ Е было хубируемьсм. сссобходигкэ и дастин!о с!со, чсвобы для лсобого полоокитслысого чси:ла с можссо было указан!с такой, оьмиссппсый оок1эуг псслсс Е миогогромислк и такой о!гас!лисий о ~вело Е лшогограшиск, ризиоссвь )э! — Г оба! люв которьсх были бы меньше .
Доказательство этой теоремы вполне аналоги шо доказательству теоремьс 11.2 (сх!. п. 1 ч 2). 2. Кубируемость некоторых классов тел. Будем называть цсслиид1солс те:кэ, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными некоторой оси, и двумя плоскостями,. перпендикулярными этой оси. Эти плоскости в пересечении с шшиндрической поверхностью образуют и:юскив фигуры, па:зываемые отпэвиииями цилиндра. а расстояние 6 между основанияхш цилинл]!а называсзтся аысосвои цилинд1эа (рис. 11. 10 ) .
сз Э Телом мы будем называть часть пространства, ограниченную замкнутой пепересекаюшейся поверхнос:тью. ОБ'ьемы тел 1л плОшади ВОВе1'хнООтей Зоу Докажем слечуюшес 1твсрждс;нис.. Если ос!со!!с!!спел! цилиндри .Е пол!летел квадрирууемал григ!ура бУ, сао цилиндр предстивллтп собой крбиррелсое и!ело, при сем объем Р цилиссдри Е равен Р6, где. Р ало!с!сгдь оснокикия сг', а l! кьссотс! цилиндра. 'Леси как фис1ра СУ квадрирусъсе!., для любого поаожптельного пила е можно указать такие описанный и вписан- 6 ный в эту фигуру кшогоугольники, разность Яг — Яс плошадей косорых будет меньше е,У6.
Обьемы 1сг и и', призм с В11сотой 6, осноганиями котор1!х служат укшанные вылив многоугольники, ра,вны соответственно Ягй и Я,6. Поэтому Рл— ( - у 1;... Рис. 11.10 эти призмы являются соответственно описанным и вписанным в рассматриваемое тело Е многогранниками, то в силу теоремы 11А тело Е кубпруемо. Поскольку Р; ( РЬ, ( Рдь то обьем цилиндра равен Р6. Из доказанного утверждения вытекает куубссулуемость ступессчсипс ст тел уступенчатытс телом называется оосьедансние, конечного числа цилиндров, расположенных так, что верхнее основание каждого предыдусцего из этих цилиндров находите:я в одной плоскости с нижним ос:нованием последующего цилиндра, сх!.
рис. 11.11). Рис. 11.11 Рис. 11.12 3 а м е ч а н и е. Справедливо следующее очевидное утверлсдсние. Если для л!обого полком!и!селю!с!ге! числа е исаж!со ркагигпь тиков описатсое вокруг тела, Е стйпепчипсое тело и та'кое вписасисое в Е стрпессчитое спело, разнос"спь 1сл — Ъ', объемов которысе лсессьше е, то тело Е кубирууемсь пни.!Ожения ОН1'еде!!еннОГО интеГРАля 1'л 11 Х2),,) д,, а (11.31) Д о к аз а те,сь с 1 в о.
Пусть Т вЂ” разбиение сегмента [а, Ь] го сками а = хо ( хс ( ... < хи = Ь., тс и ЛХ, -- точные грани Х (х) на сегменте !хс 1,:гс]. На каждом таком сгтментс построим два прямоугольника с высотами т, и ЛХ, (на рис. 11.12 нсобра- ;КЕПЫ Этн ПРЯ2)О!ГОЛЫ)ики только Па ОДПОХ) ГЕГ2)ЕНТЕ !Хс .1, Хс]). ЛХы полу и!и две ступен сатые фигуры, одна ис которых содержится в криволинейной трапеции., а другая содержит ее. При ври!пении криволинейной трапеции и этих ступенчатых фигур мы получим тело Е и два ступенчатых тела, одно из кспорых содержится в Е. а другов содержит Е.
Обьексы 1'с и Ъз этих ступенчатых тел равны соответсгвенно и ъ к ~~) )гсвЬх) и к ~~) ЛХ стхс. с=1 Очевидно, эти выражения представляют с обой верхнюю и нижн1О1О с:умъсы д)1я функции к) (сг;). Чсск как эта с))ункгп1я интегрируекса, тО разность указ)1Н- и 213 2)3 213 ных сумм для некоторого разбиения Т сегмента !а, Ь] будет меньше данного положительного числа е.
След!)ватскльно. )ело Е К1 бируемо, Поскольку предел указанных сумм равен к / Хг(х) г!х, то объем 1' тела к Е может быть найден по формуле (11.31). 3. Примеры вычисления обьемов. Рве. 11.13 1'. Обьем тела, полученного вра; Гцением вокруг оси От, астроиды 11спользуем это заме !ание для доказательства кубируемосгпи осели араьцеиил (рс!с. 11.12). Именно, г)окажем следуюгнее утверждение. Пусггсь фу)скцил у = 1(х) )сепрерьсаио, па сеем!инне !а, Ь]. Тогда тело Е, обризоаи)исае !)расс,е)с!)ем вокруг оги Ох кригсол!1)се)1- игпс трапеции., огроаиичетсой графиколс функции Х(х), орг)и)сгсгпами а точких а и Ь и оггсрезкокс оси Г)х осп а до Ь, кубируелсо и его объелс 1г моаюеса быть ссайдесс ао формуле ОБ'ЪЕМЫ ТЕЛ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 393 сттг~г + у2Д! = агй! (рис.
11.13). Тяк как д =. (агйз — с!и~а)с!12, то и $' = и (иг '! —:ггрс)с!дт. = — тгвс!. 1ОЬ вЂ” и 2'. Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох синусоиды па сегменте (О, тг). 1'1меем 2 Г 1 — сов2х лг (т = и в1п хт1стс = тг с ' йх = —. 2 2 о о Р(хс): 2тг ~~т л 1с — тг ~~) (д ! + д )(с. (11.32) т =.! Сформулируем следуюпгне определ 1', г1исло Р пазывиепсся пределом площадей Р(х,), есопи для гиобого диспюго пот!опия!тел! тсссго чиг.ли г лнюютсо указитиь псиное полтляснспельное 'число й. чтио для любого раттбпетстся Т гегменпси (ттч6),,минсилсильссия г1лсиис сл чиспсичных сеглленгпоп вопи!рого лсеньше с1, вост!толст!лет!сея неравенста в о / Р(хс ) — Р / < г.
2'. Поверхтсосттсь врат!сессия П пазываетсл к!тат)рпруелсой, если сушесспвуесп предел. Р плотйадей Р(х,). Прп агполс число Р !созывается тслощслдьто поверхлиюттги П. Докажем следующее утверждение. ения. Ао Рттс. 11.14 4. Площадь поверхности вращении. Рассмотрим поверхность П, абра сованпую вращением вокр!т оси Ох графика функции у = !'(х), .заданной на сегменте [тс, 6) (рис. 11.14). Определим понятие, нвадрпруемости поверхности вращения П. Пусть гР разбиение сегмента ~а,б) то тками а = хо < х! < ... < х, = Ь, и пусть Ао. А1,...,Ап - соогветствующие .точки графика функции 7'(х). Построим ломаную АоЛ!...
А„, При вращении этой ломаной вокруг осн мы получим поверхность П(А,), .составленную из ооковых поверхностей усе генных конусов. Обозначим через Р(ттт!) плошадь поверхности П(.4,). Если д; ординаты 7'(стт) в точках хт, а 1, длина звеня, А, 1А,. ломаной АоА!... Лп, то ПРИ'!07НЕНИЯ ОП!'ЕДЕ!!ЕННОГО ИНГЕГ1НЛЛХ ГЛ.
11 Если )т сегменте [сон(с) фу)!к)цсся 7"(х)) слмссессс непрсрьсвнунс г)7соссгссоднунс ))(и), п)о ссоверхность П, образованная врасценсселс г7)ссфссксс, этой' функции вокруг ос~ Ох., кссс!дрсср77ема и ее площадь Р может быснь вы сиелтса по формуле Р = 2я ~'(х) 1+ ~)а()е) с1х. (11.33) а Д о к а з а т е л ь с: т в о. Лгсина 1, звена А, )Ас ломаоой АоА!...Ап Равна (х; — х, !)г+(У, — У; !)г. По фоРмУле Лагранжа имеем у, — у; ! = 1(х!) — 1(хс !) = !'Д)(х, — хс !).
и» *! — х;,='ь:..! .; .,',=Л 7 )ь)ьх! согласно (11.32), с*:,) = К)сене+7 )ы к,;- с.=. ! и г.))с,— — ссс )) с-су* — )сы)! д.с!" сс.)ьи;). )сс сс) с=! Первая сумма в правой части соотношения (11.34) ссредставляет У" .' Фрп" "" С Л") гт.С.СФ рая. в силу условий утверждения. интстрируема и имеет предел г=с !С)л)~Ф.сС"сл)')з д ' """'»с» Ф ус. и ных скобках в правой части соотношения (11.34) имеет предел, равный нулю. В самом деле, пусть е .- любое положспе.сьное число. Так как функция 7 (х) равномерно непрерывна на сегменте [а., (с), то по данному е > О можно указать такое о > О, что при ь < д (сл = и!ахал)) выполнаютсЯ неуавенства [Уь ! — с'(с!)[ < е и [у, — ~(б,)[ < е.
Если ссХ максимальное значение функции /1.С.С"'сн) ..», ' ! „С), -:»» .«Ф .3» скобках в правой части соотношения (11.3-4) получаем оценку с и г,))11- -))С))С-)С -С)С)))гСС-)')ЫЬи:,~ ( с..! < 2Ме ~с Ьх) = 2М(Ь вЂ” а)е. — ! В силу произвольности е > О предел указанного выражения равен нулю. Итак, мы доказали существование предела Р площа- 1 1 Физические нриу!Оженин ОП1'еде;1еннО!'О интеггл.нл 395 дей Р(ш;) и установили, что этот предел может быть вычислен по формуле (11.33). Утверждение доказано. г = 2. )",>( (,ЭгЮ--,'"( ( « (1!.35) Рассмотрим примерь( вычисления и. (ощадей поверхностей вращения. 1'. Наидсм плогиадь Р поверхности эллипсоида вращения.
Пусть эллипс х д д 2 — — = 1 вращается вокруг. оси О:г, Рассмотрим сначала случай а > Ь (Р Ьэ (вращение вокр1т большой оси эллипса). Так как в этом случае 1(х) 2 2 = — Э(гоэ — хз, то, полагая е = ~), найдем а о г= .~и (Лт('(ь((к = -- ' (е-"(ьь =~-(((+ — - .) (л,/ Ь вЂ” а" / 2 Если а, < Ь, то.полагая е = )~ ,, и проводя соответствукнцие вычислсЬэ пия,получим а.
1 1-~-е! Р = 2(гЬ (Ь + — — 1п — ' ) . 2Ь е 1 — ег) 2*. Найдем плошаль Р поверхности, образованной вращением вокруг оси б).г, пиклоиды, определяемой параметрическими уравпениями х = а(!— — гйв !), у = а(1 — соэ !), 0 < ! < 2т. По формуле (11.35) имеем г=( ) э(((("'(( е((1(( =2 2 . )(~ —: е' 3 о 9 4. Некоторые физические приложения определенного интеграла 1. Масса и центр тяжести неоднородного стержня. Рассмотрим неоднородный стержень, расположенный на ссгмсн- 3 а м е ч а и и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
