Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В дальнейшем мы будем часто пользоваться с )едующей лет)мой. Лемма. Пусть ! (Х«) . длина ломано)л, аписа))ной) в кривую Л и отвечанлцей' Хх)збиеиик) Т ссглгенпш [о.(!], а !(Ь«)— длмно, лг)манг))1. вписанной в кр)ивун) Л и отвечая)«двй разйис; нию Т, г)г)))ученнолгу из разбг)енлгя Та посредсгавом дг)бавлвния несколькит новь)ж т)ючеж. Тогда ! (Х,) (!(Хч). Д о к а з а т е л ь с т в о. О и'видно, достаточно рассмотреть случай, когда к ризбиеншо Та добавляется одна точки у. Ломанйя, отв<".гыощйя разбиению Т, отз)и'гаетг:я от ломйеюй, г)твечгпощей разбиению Т*, лишь тем, что одно звено ЛХ, ) ЛХ; заменяется 1« Будем называ)ь Шыл)ой .линию, определяемую парамегрн )ескими уравнениями к = а! + Ь, у = с! -)- г).
Пос)оянные о, Ь, с н г) заведомо можно выбрать )ак, чтобы прямая проходила врез две данные точки ЛХ) (г). у)) и ЛХо(г), уе). Учаспж прямой между точками ЛХ) и Лйа естес) воино назвать отрезком„а совокупность коне шо) о числа примыкаюших друг к друг) озршков естес)асино назвать ломовый. ) Рйы исполюовали формулу для расстояния между двумя ) о )кави ЛХ„ и М,. координаты которых равны соответс)венно а,-) — ~(б-1). )Х,,-) — «у(й-1) )г к; — «.(и), р, — В(б). ПРИЛОЖЕНИЯ ОН1'ЕДЕЛЕННОГО ИН'!'ЕГРА.!и ГЛ.
11 двУмЯ звеньами ЛХ; 1С п СЛХ? (С точка кРивой, соответствУ- ю?1!аэя значению "1 параметра, 1). Т>эк как длина стороны ЛХ; 1ЛХ, треугольника М, 1СЛХ, пе превосходит суммы длин двух других его сторон ) М; ?С и СЛХ„то 7 (Ь>) ( 1(Ь>). Перечислим некоторые свойства спрямляемых кривых; 1'.
Если кривая Х спрям.ляема, пгс> дл?гна 7 ее дуги не зависит от п?17>аме?п7>?лзгл?1?л?л пиит" ?,роост. 2'. Если спрямляемая хрээлия Л разбэипа ?17>?л ?лл>мо!л!?э. кг>печногоо 'шсло, тючхк ЛХв, ЛХ1, .... ЛХв2) на коне:чное алело кри,— вых Хч, ?по касясдая ?иэ;этллх ьривью Хо спрямляема и суллма дллэ;н, 7,, всех кривыс Х? рлита дли,не 7 кри?эо?3 Х 3'. Пусть кривая Х, зглдана парами?пр?гчесьчл ?17клвнен?лям?л (11.3), Обо;тач?ллл 7(Ь) дмпп1 дуги у!глотка Ал кривой А, точк?л которогв определя?огпся всеми значениями парил!стра из сегмен?>ыл, )лт, Ь]. Функц?ля 7(т) яалятпся возрастаю?йей и, непрерьтной функцией пауклллегп7>а 1, Эту функцию 7 = 7(1) будем называть переменноГл дугой на кривой Х.
4'. Переменная дуга, 7 может бы?пь вьлбра?лв, в кочетпве. пара,мет7хл. Этот парики'тр называется ?ла?пяхлль?лылл глл?Хелмс?ц7>ом. Справедливость свойства 4' непосредственно вытекает из свойства 3'. В самом деле, так как переменная ;луга 1 = 1(1) является возраста?ошей и непрерывной функцией параметра 1, то и параметр 1 ью>кет быть представлен в виде монотонной и непрерывной функции 1 = Х(7) переменной дуги 7, и поэтому плц>лпюнная л>га 7 мо>кл.т оыть выбрана в качесэвл> п;П>аметра. Показательство свойств 1' 3'.
1'. Пусть имеются две параметризации кривой Е, а 1 и е параметры этих параметризаций, определенные соответственно па сегментах )о. Н) и )о. Ь). Так как 1 представляет собой строго мопотоццу>о и цепрорывпую фупкцию от е, а в — строго моцотоипую и непрерывную фуцкпию от Л, то каждоыу разбиению Т сегмента )с>. Р) соответгтвует определенное разбиение Р сегмента )и. Ь) и паоборот. Очевидно. что вписанные в Е ломаные, отвечающие соответствующим ра >биениям ?егмептов )ц. 3) и )о.
Ь). тождественны, и поэтому их длины Г б) и 1(з,) равны. Следовательно, множества (1(1,)) и (1(е,)) тождественны. Отск>да вьпекает, что длипа,луги кривой це .>ависил от >юрам»ризации мой кривой. 2'. Очевидно, свойство 2" дос таточка юказать для случая, когда кривая Е разбив точкой С ца две кривые Е> и Е .
Обозпачим ! значение параметра 1, которому отвечает точка С. Тогча точки кривой 7.> соответствуют значениям параметра Л из сегмента [ц, !), а точки кривой Е? соответствуют значениям параметра 1 из сегмеита (>,1)). Пусть Т и Т произвольные разбиения указанных сегментов. а Т вЂ”. разбиение сегмента )с>.
В). получен- 1> > Этот > еометрический факт легко может быть дока>а?э чисто аналитическим способом. ") При этом точки Ьуа. 7г|э, ...ЛХ„соответствуют зпачепиям ?е,лэ, параметра ?, удовлетворщощим условиям и — — Ле < Лэ « ... 1„= УЬ дпинй ду1 и кги1зой 375 иое обьвдииением разбиений Тъ и Тг. Если !ъ(1,), 1г(1,) и 1(1,) — длины ломаных. вписапиых в кривые 2 д. Тг и Л и отвечакъщих разбиениям Тп Тг и Т указанных выше сегментов, то очевидно 1ъ(1,) -> !г(1 ) = !(1.) (11. 7) Поскольку чигла Уг(1 ), 1 (1 ) и 1(1 ) положительны, то из равепг тва (11 7) и спрямляемости кривой ь сзедует, что хиюжества (!ъ(1)) и (!г(1)) длин вписанных в кривые Тп и бъ ломаных, отвечающих всевозможныы разбиениям ссгмептов ]и, у] и ]ч.
8], ограничены. т. е. кривые бъ и Тг спрямляемы. Отметим, что из равенства (11.7) и из определения длипы,ъуги кривой следует, что длины 1н 1г и 1 яуг кривых Т м Ьз и Л удовлетворягот неравенству ) 11 + 12 (11.8) Предположим. сто 1~ -1-!г < 1. Тогда число 1 — (П+!г) = . (11.9) положительно. Из определения длины 1 дъти кривой А вытекает, что для положительного числа в можно указать такое разбиение Т* сегмента ]съ.
В]. что длина 1 (1,) ломаной, вписанной в кривую А и отвечающей этому ра и з биению, удовлетворяет неравенству 1 — 1 (1,) < е. Добавим к разбиецикъТ го ъку ъ и обозначим получешъое разбиепие через Т. Тогда, в силу леымы этого параграфа, длила !(1,,) ломаной. отвечающей разбиению Т, удовлетворяет перавепству ! — !(1,) < г.
Так как разбиение Т сегмегпа ]о, й] образовано обьедипецием некоторых разбиений Т~ и Тг сегмептов [о .,] и ] у. 8], то длины !ъ(1,) и !г(1,) поганых, отвечающих этим разбиениям, удовлетворяют соотношению (11.7). Поэтому с праведливо неравенство 1 — ]!ъ (1,) + 1г(1,)] < < е. Так как 1д(1,) + 4(1,,) < 1ъ -Ь 4, то тем более справедливо перавенство 1 — (1~ -1-1г) < е. Е!о это неравеш:тво противоречит равенству (11.9).
Поэтоъгу предположение, что !ъ -Ь !з < 1, неверно, а следовательно, в силу (11.8). 1~ -~- !г = 1. Справсдзъивость свойства 2' усзаповлепа. 3'. Пз свойсз ва 2' и замечщшя 1 чтото пункта следуезь по перс..неннпя дуга! = 1(1) леляепия строго возростпюшей полозкительной дъункцией1 тшрамеъпрп. 1. Для доказатаъьства пспрсрывиости функции 1(1) восъюльзуемся птедующиъгъз угеерждепиями.' 1) Пусъпь = любое фиксироеаътое нолозюипгельное число.
1 . гъуъпизвольнпл точка сегмента ]и,, 8], о М вЂ” соопъветсзлвуюшпл то~ко кривой б. Сушестьует такал ломакоя, вписанная е кривую Л. наторел имеет, ълоъку М своей веригиной и длине коъаорпй отличавшем пт длины кривой Т меньиъе и:.н на е/2.
2) Указанная ломаная люсзсет бить внбрпнп, июк, ппо длина кплюдого ее звена будега ментис е,12. 3) Пусть ломания выбрано. ток. кок указано в упнюрзсдекилх 1) и 2). Тогдп часть крапе!! Т. сзпягиваемая любьм звеном, рассъмптриваемой ломаной, имешп длину меньше г. Убъедиъзся, что из сформулированных утверждений и мопотопиости функции 1(1) вытекает ее пепрерывпость в любой фиксированной точке 1 ') Из равенства (11.7) вытекает, что для любых разбиений Т) и Т.
сегмеитое ]о,-1] и ]9. д] справедливо неравенство !ъ(1 ) +1г(1 ) < 1. Отсюда и из определения точной верхней грани получим неравенство (11.8). 376 Н!»!!1!ОЖЕНИ!! ОН1'ЕДЕЛЕ11НОГО ИНТЕГРАЛ А Г21 ! ! этого сегмента (в точках о и 3 функция 1(1) непрерывна соотвегстве»шо справа и слева). 11ам нужно доказать, что для люГ>ого в > О можно указать такое д > О. что цри (»л»( < Л выполцяетгя перавонство (1(1-1- »х1) — 1(1)( < в. Рассмотрим то разбиение Т сегмента [и. 3(, которому отвечает ломаная, обладающая перечне»еппыми в утверждениях 1) и 2) гвойствами.
Обозначим через д минимальную из длин двух частичных сегментов [1»,,1»(. [1»,1»ь»( разбиения Т. примыкающих к точке 1 = 1»„, сегмшпа [о. 3(. Пусть приращение .А1 аргумента удовлетворяет условию (л1( < Л. Ради определенности будем считать,что .А1 > О. Так как 1 < 1-~-»31 < 1-1-д < 1»»».то в силу строгого возрастания функции 1(1) справедливы неравенства 1(1) < 1(1 Э- »31) < 1(! ~- б) < 1(1» т» ). В силь утверждения 3 справедливо неравенство 1(1 ) — 1(1) < =-. Отсюда н из предыдущих неравенств вытекает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
