Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Так как Яз < Р < Р < Ядз то Р— Р < с, В силу произвольности с отшода вытекает, что Р = = Р. Таким образом, фигура квадрируема. Теорема доказана. Мьз будем говорить, что граззззцзз плоской фигуры бьд амесла площадь, равиузо нулю, шли для любого положтггельпого числа с ) О можно указать такой описанный вокрут физ-уры бд ъппзгоугольник и такой вписшшый в фигуру О много- УГОЛЬЯИК, РаЗНОСтЬ Яд — Яз Пдащалсй КОТОРЫХ МЕНЫПЕ С. ОЧЕ- видно, теорему 11.2 можно также сформулировать зледующим образом. Длл того чтобы папская фигура Ц бьиа коадраруслзой, ззсобзсодимо и достапючззо, чтобы сс граница алзела площадь, равззую нулю.
3 а м е ч а н и е. Во всех приведенных нами рассуждениях вместо плоской фш уры ззовзно рззссмат1зивать произвольное множество точек плоскости. хггтановим достатв озьщ Шзпзнак хззадрпруемвста плоской фигуры. Теорема 11.3. Если граница Х плоской фигуры Ц првдсзпавллет собой сгйтмллвмую кривую. пзв фигура бд хвадрируема. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1 — длина кривой ь. Будем счи- тать.
что кривая А параметризована с помощью натз рального параметра 1. 0 < 1 < 1, причем, поскольку кривая ь 'замкнута, ее граничные точки, отве- чающие значениям 0 и 1~ параметра 1. совпадают. Пусть г — произвольное положительное число. Разобьем сегмент 10,1*) точкамиО = 1в < 1з « ... 1„=1* нап равных частей длины меньше взз91Ч Рассмотрим ломаную ЛХвЛХз... зУХ„(Мо = М„), вписанную и Ьз в крнв1ю Е и озвечаюшую указанному разбие- и и нию сегмента 10,1*]. Точки ЛХа, ЛХз...., ЛХ„разбивают кривую ь на части Ьз, Х з,....
Ь„. дли- Х ны которых равны 11 ззп) < 1вХО1 ). Очевидно. длины звеньев ЛХ, зЛХ, указанной выше ломаной МвМз .., М„не больше 1*1'и. Поместим каж- з У1" дос:звено ЛХ, з ЛХ, вззутрь ззвалрата со стороной и 31 зззз так, как зто указано на рнс. 11хй Легко убедиться. что дуга Хв. стягнваомая звеном Рис. 11А М,. з ЛХ,, располагается внутри этого квадрата, ибо расстоянно от любой точки, расположенной вне илн на границе это- го квадрата, до каждой из точек ЛХ, з и ЛХ, не меныпе 1*1зз. и поэтому, если бы какая-либо то зка ЛХ дуги Хо была вне нли на границе указанно- го квадрата, то вписанная в эту лзту ломаная ЛХ, зММ, имела бы длину, не меньшую 21*/зз, ь е. большую, чем длина 1*зззз д1ти Хо чего не может быль. Обьеднненне всех заких квадратов.
посзроенных на всех звеньях ло- 13 П.Л. Ильин, Э.Г. Позняк, часть 1 386 при'1О)кения ОН1'еделеннОГО интеГ1'Алл Г11 11 маной 7]й)М)... )71„. представляет собой многоугтгльную фигуру, содержащую кривую Е. причем очевидно. что граница этой фщуры представляет собой обьединение границ вписанного в фигуру Г) многоугольника и описанного вокр)г С> э)ного)зольника. Очевидно также, что разность Яа — 5, площадей этих многоугольников равна площади указанной фи) уры, а площадь этой фигуры не превосходит гуммы 8 площадей описюшых выше 91* квадратов.
Так как 5 = и ,, = 91 — < е (последнее неравенство еле)7оет 7) 7) из того. что — <: . то Я7 — 8, < е. Поэтоъ)у, согласно теореме 11.2, и 91*/' фигура Гэ) квадрируема. Теорема доказана. 2. Площадь криволинейной трапеции. Криволиией)юй т]х)пецией называется фигура., ограни генная графиком заданной на сегменте [о7Ь) непрерывной н неотрицательной функции ] (:г), ордипатами. проведенными в точках а и Ь, и отрезком оси Ох между точкатщ а и Ь (рис.
11.5). Докажем следующее утверждение. Кр))воли))е)17)ал тр)пецил предстаьдлет собой коадрирйе.мри) ф)щц])у7 п„)17)и)7ад)7 Р ко)игрой моокгега оы)аи вычислена по формуле ь Р = у'(х) дх. (11. 28) а Д О к а 3 а т е .,1 1 г '1' В О. 17)к как нРНРРрыВн)ит на сРГ- монте [а)])) функция интегрируема7 то для любого положительного числа е можно указать ткое разбиение Т сегмента [а) Ь|., ')тО ра;)ность Я и ( е. ГДР Я И В СООТВ))ТСТВРННО ВЕРХ- няя и нижняя суммы разбиения Т.
Но О и я равны СООТВРТХ ТВЕННО Яи И Ом ГДЕ Яи и Я7 площади ступенчатых фигур (многоугольников)) первая нз которых со- Ь держит криволинейную ) ра- пе1ш1О, и Вторая содРржится хо х) хт х„ ) х„ в криволинейной трапеции (на рис. 11.5 изображены также н Рис. 11.5 указ)ншые ступенчатые фигуры). Так как Яя — о; ( е, то, в силу теоремы 11.2, криволинейная трапеция квадрируема. Поскольку предел при 1д --) Ь вЂ” 0 верхних и нижних сумм равен ) ф(х) дх и е ( Р ( Я7 )1 то пл)нцадь Р криволинейной трапеции может быть найдена по формуле (11.28).
плогцлдь плоской Фигу!'и 387 3 а м е ч а н и е. Если функция /(.г) непрерывна и нсп)о- ь ложительпа на сегменте [аь 6~), то значение пнтсгРала / 1(:г) йг; ь равно взятой г отрицательным знаком пснлцади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 1 (сс:), ордянатами в точках а, и б и отрезком осп От между точками а и 1). Поэтому, Ь ее!си Г(с!) меняет 'Знак, то / ) [к) сре 1)авен сугаме взя!ых с опрс- ь деленным знаком площадой криво,шнейных трапеций, расположенных выше и ниже оси От, причем площади первых берутся со знаком +, и вторых .
со )ником 3. Площадь криволинейного сектора. Пусть кривая 1 задана в сюлярной системе координат уравнением г =- г[0), о < О < 13 [рис. 11.6), причем функция г[0) непрерывна. и неотрсщательна на сегменте [об)3). Плоскую фигуру, ограниченную кривс)й 1 и двумя лучами, сс)ставляющими с полярнои осью углы о и )), мы будем называть крпаогиисейпым с)екгпоролс. Докажем <щедующее утверждение. Ху)нс)ог)и)сей)сы <<, секгпо1) представляет собой киидрируелеуо фигуру!., пссосйидь Р которой моаюесп быть еычпс8< и лена по формуле Р = — тг [О) 00.
[11.29) Рис. 11.6 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разбиени<" Т сегмента [и,/1) то )ками о = Оа < О! « ... Оп =,9 и для каждого частичного сегмента [О, 1, О,) гюстроим круговые секторы, радиусы которых равны минимальному ), и максимальному Л, значениям г[0) на с<гменте [О, 1,0,). В результате получим лве веерообразные фигуры, первая из которых содержится в криволинейном секторе, а вторая содержит криволинейный сектор [эти веерообразные фигуры изображены на рис. 11.6). Площади Я) и З,у ук)к)апных веерообра,)пых фигур равны соответствен- п и но — ~ г~<дд, и — ~ Л~<дО<. Отметим, что первая и:) этих <зумм ~,.=.
1 ~.=1 1 2 является ни)кней суммой а для функции — !' (О) для указанно- 2 н) разбиения Т сегмента [с),Я, а вторая сума!а является верхней суммой Я для этой же функции п этого же разбиения. Так как функция — г [О) интегрируема на сегменте [с), )3), то разность 1,2 11* 388 при'10укения Он!'еде!!еннОГО интеГ1'Алй Гл 11 Я вЂ”.э = Ян — Ял Может быть как )годно малоЙ. 11апрллзлл"р. для лк)бого фиксированного е ) 0 эта разность может быть од!лана меньше е/2. Вшлшем теперь во внутреншою веерообразную фи- гуру многоугольник Я)) с площадью Я,, г!ля которого Я, — Я, <:, и опишем вокруг внешней веерообразной фигуры многоуголь- ник С)н площадью Ях, для которого Вн — Зн <: ).
Очевидно„ е 1) перВый и') этих мнОГОГГОльникОВ Впил:ан В криВОлин(ейный сек- тор, а второй описан вокруг него. Так как справедливы нера- венства Я, < Я,, < — л г(()) дО < Яй < Ял, (11.30) г / то, оч!'видно, Ян — О', < г. В силу произвольности е, отсюда вы- текает квадрируемость криволинейного сектора. ЕЕЭ неравенств (11.30) вытекает справедливость формулы (11.29). 4. Примеры вычисления площадей. 1'. 11айти пло- щадь Р фигуры Р., ограниченной графиками функций у = х" и т, = уо„о ) 1 (рис. 11.7).
Поскольку фигура Р симметрич- на относительно биссектрисы перво!о координатного угла, !о ее площадь может быть получена посредством вычитания йз 1 (площадь квадрата) удвоенной площади криволинейной трапе- пии., определяемой графиком функции у = хо на сегменте [О, 11. Таким образом, по формуле (11.28) ! О 2'. Через три то лки с координатами ( — )1, Уо), (О Ул): (Й Уг) проходит только одна парабо.га у = Ахг + Вх+ Е) (или прямая, ел ни эти точки лежат на одной прямой).
Действительно, система уравнений относительно А, В, В г) Апг — Вй+ В = уо; Е) =У!, А1!г + ВЙ+ В = уг 1) ) Рассматриваемые веерообразные фигуры состоят из круговых секторов. Каждый сектор квадрируем, и поэтому ква.!рпруемы и веерообразные фигуры. Поэтому для этих фигур мо)кно найти мно) оугальники, площади 8, н Ял которых удовлетворякн ука)анным неравенствам. Эти уравнения представляют собой условия расположения точек ( — 1), уе), (О, у) ) и (6, ул) на параболе у =-,1т:е Ч- Вх ж Р.
нлоп1адь нт!онкой е11вд1~ы 12 Рис. 11.8 Рис. 11Л имеет единственное решение. Именно: до — вдг -~- дг гг дг — до 26' ' 26 Р = д!. Выразим площадь Р криволинейной трап!пни, определяемой указанной параболой, ординатами в точках ( — 6, О) и 16, О) и от- резком оси От, между этихш точками (рис. 11.8), через ординаты де, д! и д2. Так как по формуле (11.28) ГА г гЗиг 1 а ойдо (А.д+~.;~ ) йа = ~ — '' — ~~::~ = =" 9126, ! 3 2 1 а 3 — л то, учитывая выра>кениг! для А н Р, найдем Р = - !,где + 4д! + д2) 6 3 3'. Найти площадь Р трилистника т = а сов 30 (рис.
11.9). Из чертежа ясно., что вся площадь трилистника равна увеличе!шой в шесть раз площади заштрихованной пи;ти тргьлистникгт, которая отвечает изменению 0 от О до гс/6. Поэтому по формуле (11.29) и,ге Оо /с ссгв230< 0 2 1 4 о Рис. 11.9 Н!'ИЛОУКЕНИЯ Онс'ЕДЕ:!ЕШ1ОГО ИНТЕГРЛ.!Л Г:1. 11 й 3. Объемы тел и площади поверхностей 1. Понятие кубируемости и объема. Пусть Е некоторое конечное тело '). Раск:мотрпм всевозмолсные многогранники, вписанные в тело Е, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела Е. Вычисление обьема хшогогранника сводится к вычислению обьемов тетраэдров 1треугольных пирамид).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
