Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Квадрирусмость повсрхпости врашеиия можно доказать при более слабых ус говиях. Достаточпо потребовать, чтобы фупкния 1'(х) была опрелелсва и интегрируема иа сегменте [о, Ь). Из это((: ( '( ((' (л(('г допол(щвие 1 к гл. 10).,'(альпейшие рассуждения пичем ие отличаются от рассуэкдепий, проведеппых при доказательстве утвсрждеиия этого пункта. 3 а м с ч а и и с 2. Если поверхность П получаетс» посредством вращения вокруг оси Оа кривой 1, определяемой парах» тричоскими уравяепиями х = ээ(!), у = б((1), а < 1 < !1, то осушсствля» замепу псремсппых под злаком опроделеппо(о интеграла в формуле (11.33), получим следу»в шое выражение для плошади Р этой поверхности 397 ДОПОЛИГЛ1ИЕ то по формуле (11.37) найдем приближенное выражение для ко- ОРДИНатЫ;1;с ЦЕНтРа тЯжсетн НЕОДНОРОДНОГО СтЕРЛСНЯ Е бр(б.)Ья.
ЛХ (11.38) Выражение, стоящее в числителе правой части соотногпения (11.38), представляет собой 1пгтегральнуго сумму для функции хр(х) на сегменте [11,11). В соответствии с проведенными расСУэклениЯми мы опРеДелим кооРДинатУ хс центРа тажести нео,1- породного стержня по формуле Х яр(х) 4х хс ь )' р(т) 4х (11.39) А = Г(х) 11х.
(11 АО) , 1ОПОЛНЕНИЕ ПРИМЕР НЕКВАДРИРа'ЕМОЙ ФИГ"а'РЫ Е Будем называть нолуегвкрьнпмм ~ггрсраольннкем множество точек треугольника, из гранины ) которого удалены точки двух его сторон и двух ы вершин, прилегаюших к этим сторонам. Рассмотрим построение кривой Г, которая будет частью гранины неквадрируемой фигуры сГ. Это построение производится путем посте.говательпых удалопий определенных полуоткрытых треугольников из некоторого данного равнобедренного прямоуго, ~ьного о ) Гранина троугольника — множество точек его сторон и вершин.
2. Работа переменной силы. Пусть материальная точка перемещается из точки а осн Ох в точку Ь этой оси под действием силы г', паралле.льпой оси Ох. Будем считать, что зта сила является функцией от х. определенной на сегменте [а. Ь). Пусть Т разбиение сегмента [ае Ь| точкаьпл а =:го < х1 « ... ха =- =- Ь. Выберем на каж;1ом частичном сегменте [х, 1,.т,] точку С; н будем считать приближенным значением работы А переменной н силы Г(х) на сегменте [а,11) выРажение 2 Рф)Ьхг,ь СогласУ- г=1 ясь с этими п11едварителы1ь!а1и 1зассуждениями, мы оп1эеднлиы РаботУ А пейеменной силы Р''(х) на сегъ1енте [неЬ) как интегРал ь [ Ь'(гг) дх. Таким образом, а ь 398 п1 1471сзукйния оп1 кд8711сииото иитйп йий Руб « треугольника Т, козорый для удобства да;и нейппих рассуждений мы обо- значим Т[0, Ц. Координаты вершин етого троугольника равны (О, 0)., (1, 1), (2, 0) (рис.
11.15). Опишем теперь пропесс последовате.нных удалений из треугольника Т[0, Ц опре,1елснных полуоткрытых трезто.зьников: (2,0) х (2,0) х (0,0) (0,0) Рис. 11.15 Рис. 11.16 (0,0) (О,О) 7[0,1/4] (2,0) х 1/8,1/4] Т]3/4,7/8] 7]7/8,Ц х Рнс. 11.18 Рис. 11.17 3. Из каждого указанного треугольника удаляется по одному треугольнику, сумма ла н.юща,гей которых равна 1/16. Полученная в розу„п,тате фигура изображена па рис. 11.18. Она состоит нз восьми треугольников: Т[0, 1/8], Т[1/8, 1/4], Т[1/4,, 3/8], Т[3/8.
1/2],, Т[1/2, 5/8], Т~[5/8.3/4]. Т[3/4, 7/8], Т[7/8, Ц, площади которых равны друг дрзч у. 4. Из каждого ука запного треугольника удаляется по одному треуго. и— пику. сумма 5з плснпадей которых равна 1/32. Полученная в результате фи- 1. Удаляется полуоткрытый троугольпик, одна вершина которого имеет координаты (1, 1), а две дрзтие расположены на оси Ов.
Площадь Я~ удаляекюго треугольника равна 1/4. Полученная в результате фигура изображена па рнс. ! 1.16. Она состопт из двух з рс1тольпиков Т[0, 1/2] и Т[1/2. Ц, площади которых равны друг пруту. 2. Из тре5тольников Т[0, 1/2] и Т[1/2, Ц удаляется но одному треугольнику, сумма ле площадей которых равна 1/8. Полученная в результате фигура изобрагкепа на рис. 11.17. Опа состоит из четырех треугольников: Т[О, 1/4], Т(1/4. 1/2]. Т[1/2,3/4], Т[3/4, Ц, площади которых равны друг Д1)УГУ. ПОПОГШКНИП гура изображена на риг.
11.19. Опа состоит из шесчкадцати треба ольггиков равной плошади. Каждый из этих троугольпиков мы обозначим символом Т~ — о ° —,]; 1э=о 1,15. Да.гьпейший процесс удаления требто.пинков очовидеа. Перейдем теперь у+ 11 к опрггэо;Гению кривой П Треугольники Т! —, ! Гр и и лнэбые !2'' 2 неотрицательные целые числа, у.товлет- Гэ < 2"). описанном выше процессе, обладают гле- )1 1) Г Р1 Рг + 11 дунпцим свойсч вам: пусть Т ! —... ] л л Г Рг Рг + 11 и Т ! †, ! два треугольника та- !2"г 2"г ! Р, рг Р,-Е 1 Р, + 1 ких, что — « — < 2"г 2"г 2"г Тогда второй из этих гречтольпиков со- гб 0) 12,0) х держится в первом. Отметим также слсдугоише очевидпое свойство треугольпи- Гр у+11 ков Т! —, ): при п — э оо их диаметры ) стромятся к иулго. Пусть !2" ' 2" ! (~ .и Грг Рг Э 111 Т! —, ! г, Л, '=- 1,2....., .
стягиаа1ощаяся система пйюуголыгакоо 2о (это означает, что треугольник, отвеча|оший индексу рм содержит треугольпик, отвечающий ипдексу й -1- 1, и при к -э оо диаметры треугольников стремятся к пулкэ). Каждая такая сгягивакэщаяся сислпсма треугольпикоо имешп роагш одпу общую гпо гку ).
Рассмотрим всевсоможпые стягиванэщиеся системы указанных выше треугольников. Криауго Е мы определим как млголсщгпао 1М) есеьооэлэоэклгглг: то'нт, камсдал иг которые предстаоляелп собой общую гпочку ткоторой стягиоаюи сйся системы укаэагтыя р Э-11 омиш треугольпикоа Т! —, !2" 2" Отметим, что множеству )М) )кривой Ь) припадгожат верппшы всех Г р Р~-11 гречко.гьников Т! —, — !. Чтобы убедизи си в этом, .заметим, что вер- !2" ' 2" шина каждого такого треугочышка прггпадчежпг стягиванвцойся системе Г2ьр 2ьэч-1чч г Г2ь — 1 2э треугольников (Т[,, ]) гл счлстекге г Т!, " .Чтобы убедглться, что иосч роепное вами множество )ЛГ) яв.чается простой кривогч в смысле определения, лаппо1 о в п.
1 3 1 этап главы, мы должны доказать. Диаметром чреугольпика называется длипа его макгимачьпой стороны. г) В гл. 3 Гсы. и. 2 3 3) мы доказа.ш, что счягиванппаяся система сегментов ихп ег ровно одну обпгую точку. Проецируя стягивающуюся систему треугошников иа оси Ох и Оу, мы Гэо.сгчим стягивающиеся системы сегментов па коордипатпых осях. Пусть х и у . соответственно общие точки указаипых стягивающихся систем сщ ментов па осях Ол и Оу. г1итатель его ко убедится, гго точка М с координатами я и 11 является единсч венной общей точкой рассматриваемой стягиванпцейся системы треугольников.
400 ПРИ!!ОЖЕНИ!! ОН!»ЕДЕХ!ЕНИОГО ИНТЕГРАЛ А ГУ1 11 что все точки мпожества ЛХ определянзтгя параметрическими уравнениями х = И[!), й = Ф[Г). о < ! < Гз, где»л[Г) и ы[Х) — непрерывные функции ). Г Р' Р.-1-11 Рассмотрим сегмент [О, Ц оси Е Каждому сегменту [ —,, ~, где Р и [2 2- ! и —. любые неотрицательные целые числа. Р < 2", поставим в соответствие Г Р Р -1- ! 1 треугольник Т [ —, — ~ "). На рис.
11.20 изображены сегменты, которым отвечанзт треугольники Т [ —, — ~. Любая точка ! сегмента [О, Ц принадлежит всем сегментам ллекозх»рой стягивающейся системы ( [ —, ~ ) Г [2"» ' 2" » ссз ментов»з). Поставиы в соответствие этой точке Х общунз точку ЛХ стчги- ГР» Р» Г!11 ванзшейся системы трсулолышков (Т[ —, ~). Таким обра'юм, каж- [2'» ' 2" ». дому зпачешлнз Г из сегмента [О, Ц стащлтся в соответствие два чиг за:г и й— коордипаты точки М.
Сле- 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 ! довательпо, х и у являкзт»я функциями параметра Е Убедимся, что эти фупкпии Рис. 11.20 х = Р[Г) и у = нз[Х) непрерывны па согмевте [О, Ц. В самом деле, пусть я — лнзбое данное полол»ительпое число, ! — да»шая точка сегмента [О, Ц и ЛХ вЂ”. точка кривой Ь, определяемая этим значением Г Р» Р» + 11 параметра Х. Из стягивающейся системы (Т[ —., ) ) треугольников, "2"» ' 2'» определяющих точку Л|, выберем трелтолышк, диаметр которого меньше в, Г Р» Р» ! 11 и рассмотрим сегмент [ —, ~ ., козорь»й содержиэ точку Г, оллределянь [2"» ' 2"» щую ЛХ [а следовательно, л,' п у). Все гочки кривой Е, определяемые значениями ! из этого сш ыеита, расположены в ука.зашюм вьппс трелто.зьпике, и поэтому их коордлплаты отличанпгя от координат точки ЛХ нс более чем иа е.
Но это означает, что функции Р[Г) и О[!) непрерывны в указанной точке. 2. Перейдем к построению псквадрируемой фигуры Я. Рассмотрим квадрат Я, сторона которого равна 2. На каялдой стороне это~о квадрата построим равнобедренные прямо»гольпые треугольники Тз, Тм Тл, Тл, в результате ыы получи»» квадрат ГХ со стороной 2»/2 [рис. 11.21). Затом из каждого такого»роугольпика произведем удаление полуоткрытьлх треугольников так, как это описано вьпве, в п. 1. В результате мы получим фил уру ГХ, ограпичсипунз замкнутой кривой„состояшшл из четьцн'х кривых, кошруэптпых ') кривой Х [см. и. !). Докажем, что полученная фигура Я пеква- ) То, что различным ! отвечают различные точки»шожества ЛХ, очевидно из построения кривой Е.
) Отметим, что каждому такоыу трслтольпику отвечает только один ссг- ГР Р+!1 ыепт [ —,— [2" ' 2" ! з) Пусть ! . любая точка сел.мента [О. Ц и и - любое целое положит» льпоо число. Тогда, очевидно, точка ! принадлсясит некоторому слтыепту Р Х11 —, — ), причем каждый такой сегмент, отвечающий воыеру и + 1, со- 2" ' 2' держится в сел менте, который отвечает помору и,. ' ) Гбножества А и В называются колирущ»пп»ымнл если опи могут быть совмещены движением. .,(Оп()1!НВНИВ дрируема. Рассмотрим две спепиальпьзе последовательности многоугольпиков (О ) и Щ„), первая из которых состоит и з вписанных в фзигуру 14 многоугольников, а вторая из описшшых вокруг (1 многоугольников.
Послсдователькость (бд ) получается посре.зством прв- з з соединения к квадрату Я псыуоткрьзгых Я треуголыплков, удаляемых из треугольников Тн 1з, Тз, Тз на каждом нечетном шаго гзрозгесза, ошлсаниого в п. 1. Последовате:п Ность (сз„) гзо, з)"заезсв ззос)зедством Т Я т удаления из квадрата О полуоз крыл ых треугольников, удаляемых из треугольников Тз, Тм Тз, Тз па каждом четном шаге процесса, описанного в и. 1.
Очевидно, Тз что лкзбой вписанный в фигуру 14 многозтольпвк содержится в каком-пибудь многоугольнике 1) ., а лкзбой описанный вокруг фигуры бу' к|ног оугольпик содержит какой- Рис. 11.21 нибудь многоугольник О,. Поэтому предел последовательности (Я,) площадей многоугольников 11 равен низкзнвй нлозлади Р фигуры 1), а предел последовательности (5'„) площадей мцогозтолызиков бз)„равезз верхней 1 алвзз)адзз Р фш.УРы бз). Легко УбодитьсЯ, что л„=- 4-(- 2,, а Я„= 8— ,(г — 1 ' — — ). Псытому Р = 1зш л„= 16,(3, а Р = !шз л„= 22/3. Так как 2 ь, 4ь Р ф Р, го зззиг ура (г ззсквадрируема.
Отметим, что разность Р— Р = 2. Таким образом, граница рассматриваемой фигуры 11 имеет плошадь, равную 2. 3. Покажем, что лзвбал часть кривой 1, вграззи"ютзал двумл равличнъг ми точками, несерллытсма. Локаасекз сначаза, что такая часть 1' кривой Е имеет отличпукз от пуля площадь, з. е. любой мпогозтольпик, покрывакзший 1 '. вмеет площадь, большткз некоторого положительного числа. Заззетим, что 1' содержит часть 1ь, отвочаюпзую точкам некоторозо сегмента р р+ 11 и Г р р+ 11 — ), и поэтому 1 содержзпся в треуголызике Т [ —, ( и может [2" ' 2" быть получена посредством удаления из этого треугольника определенных полуоткрытых троуго.зьпиков (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
