Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Выбор нужного ха без труда осущ<ствляется па современной быстродействун)щей электронно-вычислительной машине при помощи нескол! ких строб. 3 а ът е ч а н и е '2. Сщстним отклонение приближенного значения корня:га ! ! от точного значения с. С этой целью разложим фУнкЦнк) ! (:е) в окРестности хп по фоРмУле ТейлоРа с остато тным членом в формс Лагранжа: У(ттт) = 1(хт<) + У (хп)(х хп) + + — т' (б)(х — х„) . Полагая в этой формуле:с: = с и у"плтывая, 1<! „,, 2 2 что 1'(с) = О, будем иметь О = т'(ттп) + т" (<е„)(с — х„) + —,2'п(с)(с — хо) '.
Вычи Гат! из последней <])ормулы формулу 1("'и) + т '(хп)(!аэ! — ха) .=- О, которая вытекает из рекуррентного соотношения (12.9), получим х„тт — с = — (:е„— с) . 1 1"Ю 2Г(х„) "" Опяода, используя принятые выше обозначения (12.10). придем к <'чед)'тошеът\' ттеравенств1ч ]хп т — с! ( — !х« — с[ . ,2 2п), Последовательно применяя эту оценку для и, = О.
1, '2,..., полу- чим еле,ч1пощую отсс'.!!к~". у ' и )хаэт — с! ( ( — ) [ха — с[ ъ 2<о, 2'. Дадим обоснованис. метода кас:ательных при несколько иных прстдположстниях. Пусть искомый корень с уравнения 1(х) = О изолирован на сегменте [а, б], на котором т(х) имеет л<онототтнйто ттерв1)о про- т)а<)од)<9)о, есъсрит<ятот<19)о от)сред<тле)<!тат<2 внак. Эта производная обязательно непрерывна.
нбо она не может иметь точек разрыва первого ро;та, а монотонная функция других то и к разрыва н< имеет. Ради определенттостн предположим, что производная не убы- виет и положительна на сегменте [и, Ь]. Докажем, что итераци- онная последовательность (:г„), у которой хв = б, а <г„тт опреде- ли< тся и!роз <е„с помощью <[)оръ<1лы (12.9), с~ели~с~ к корня) с.
Если для некоторого ноъп ра и окажется, что ха =- с. где с ис:коътый корень, то т" (:г„) = 2" (с!) = О и из формулы (12.9) полу- чим, что н хпч ! = с. Ирол<тжая аналогичные рассуждения, мы ИЫ'1НС|1ЕЫНИ КОПНЕ|| |РРАВНШЕИ11 по((п|ДОВВтРльно Докажем. Что и .'!Ь(эв = — ипата .=- ... = с, т. (. В этом с|Упав и!(31ВЕЕПОИПЕЕЯ по(:В(ДОВВ!(льне(ть [;гп) схо||ит(Я к искомох|у корню с. Теперь докажем по инд|кцни, г!О еслп ип рдовлеп(во|(лен| (хх(7((нашенплж с ( 17777 ~ (6, 771(7:сд 1.1 79донлспеоп||леп(, саоппюн(с- 711!л'1( Е ~ ~(п-1-1 ~ ~.Еп ОтСЮда будвт (ЛЕДОВатЬ„ЧтО ВС( гап Прниадпвжат СЕГМЕНту [с, 6] (ибо гно = Ь (й|инад„и|кит э!Ом| сегменту).
а г|кже тот факт. |то последовательность (и„) являетгя невозрагтающей и потому сходящейся. В силу утв('рждения 1 из п. 4 сходимость по(' 1(н(ОВВтеьльнос1"и (ип) и Н1)инзД(1('.жно(ггь Вс('х е|(' элРм(',нтов сегменту [г., 6] (а потому и сегм( нту [а, Ь]) завершает доказательство сходимости этой последовательности к искомому корню с. Итак.
остается доказать, что если ип удовлетворяет гоотво- шепиЯЬЕ с < (ап < Ь, то и„| УДовлетвоРЯет соотноппниам с < < (ВЕ~-71 <. 1 и. Пусть с < ип < Ь. Тогда из формулы (12.9). учитывая, что ('(с) = О, получим 7(77 ) — 1((7) и ' п~1 и( ) Применяя к выражечппо. стоящему в числителе последней дро- би.
формулу Лагранжа. получим гле с < ~7( < ип. В силт гого, что НРоизвоДнаЯ фУнкЦии 1(ес) не убывает и положительна, дробь, " положительна и не пре- Х'(х *) ВОСХО:(ИТ ЕДИНИ1|ы, Т. Р. О (~ 71ЬЕ Гп 1 и17, С И(1П С ~ (Уп-~-1 (~ ХЕ( 3 а м е ч а н н е 3. Ь)ы рассмотрели слу (ай, когда 1п((В) не убывает н положительна на [О.,Ь]. Возможны еще три с((учая: 1) Г'(л) не возрастает и отрицательна на [а.. 6]; 2) !''(и) не ВОзрек71В('т и полОжи1еь1ьна па [а, 6]; 3) 7 (и) нР убыВЖ'т и От||ицатгл( па на [а., 6] В каждом из этих тр(х случ ив обоснование метода касат("льных проводится в полной аналогии со случаем, рассмотренным выше. Отметим лишь, что в (шучае 1) за нулевое приближение следует Взять:шаи|ние хо = Ь, В в (ыучаях 2) и 3) —.
значение ио = а. Это обеспечит принадлежность в('(х членов итерационной по(|ледовательно(|тн ((ап) сегменгу [а, Ь] и сходимость этой последовательности к искомому корню с. 3 а м е ч а н и е 4. Укажем оценку отклонения а-го приближения л„от точного значения корня с (прп сформулированнь|х В этОм п|нхте.
П|ждпОложе|ниях). 412 НГИЬЛИ)КК(ШЫК МКТОДЫ Г1.12 Пр .. - )И.,((ха) =У(хп) — У(с) 11. Оул«вЂ” Гр)ШЖЯ, б)дЕМ ИМЕТЬ У(<Г«<) = (Хп — С)('(1п). ОТ(10да ПОЛ) ЧНМ следующую оценку: ]ха — с] < 1~()")], (12.13) ги г.!е пг минимальное значение ]«ч(х)] на сеген нте (а, Ь]. Формула (12.13) позволяет оценить отклонешп т;и от точного значения корня с через значение модуля заданной функции «« = 1(<«!) в точке:1:„. 6. Обоснование метода хорд. Предположим, что искоыь(й кор(нь с уравнения 1(<«)) = О из<)лнрован на н(кото)юм сегм<нте (и, Ь], на котором функция 1(х) нме("г мояотонн)1ю пер<«у)о произ<«о<)н<«н>, сохранлющ1(«о постолнньг<1 знак.
Ра;(и опредш<епности будем считать, что зта производная не убывает и положительна на сегменте (ач 5]. Заметим, что уравнение ;г = Р(х). где Е(<с) = х — ( ')" ()) ') (12.14) 1(Ь) - Х(х) имеет на сегменте (а, Ь] "только один корень с, совпадающий с корнем уравнения 1(х) = О. Поэтому вместо уравнения 1 (<««) = 0 мы бучем решать уравнение (12.14). Для этого, взяв хо = а., построит1 нтерацнонн) 10 по("н)ловят(.)п.ность «)7<-~.1 ~ (11'7)) '('и 1 (Ь вЂ” ' )Х(т.) (12.15) Зам('тим, «то рекурревтная формула (12.!5) в точности совпадает < рекуррентно!1 форму.<ой (12.'2). ДОКНЖЕК(, Что ПО< >!ГДОВ«)ТЕЛ« НОСТЬ .<Хп) С~од~~с~ К ИСКОК(от() корша с.
ЕСДН «!Ля НЕК010РОГ<> НОМЕРИ 11 ОКЯЖЕТСЯ, Ч10 Хп — — С, ГДЕ С искомый коРень, то !"(хп) = У'(с) = О и из фоРмУлы (12.15) полу 1им (то и («и ' ! с Продолжая аналоГи 1ш*к рш'с) ждения, последовательно докажем. что Н:«;а 12 = (Ги<;1 = ...
= с, т. е. итерационная последовательность (ах«)) сходится к искомому корню с. ,докажем теперь по ин.<у(о(пи, что если х» 1«до(зл<«творлсг«1, СОО««)паи<ЕН(«ЛМ а < Хи < С, ЬаО Ха 11 («()О<З«(С««1<«ОРЛЕ««1 Сает<НЕ(«>ЕННЛМ а < Хп ~< Х«<-Ез < С. Отсюда и из того, что (ге = а, будет <шедоватгч что все х„принадлежат сегменту (а, с] (и тем более сегменту (а, Ь]) и что по< чедовательность 1х«)) является неубывающей (а потому и схо- ЛЯП!Е!«СЯ).
>'(1~) ') При чтем считаем, пе и'(Ь) =- Ь вЂ”, Тогда функция г (т) будет непрерывна на всем сегменте (а, Ь). ВЫ'1ИОЛЕР!ИЕ КОРНЕЙ ЕРЛВНЕИИЙ 413 В силу утверждения 1 из п. 4 это завершит доказательство сходимости итс'ряс!ионной пос:гс довательвостгг (х„) к искотгоьг) корню с. Итак, остается доказать, что есги:г:„ удовлетворяет соотно- ШЕНИЯМ а < Х„, < С, тО Х„г УДОВЛЕтВОРЯЕт СООТНОШЕНИЯМ Хп < < Хв+1 < С. Пусть а <:г,„< с. Из соотношения (12.15), учитывая.
что «(с) =- О, получим (Ь вЂ” х„)«(х„) (Ь вЂ” х„)(«(с>) — «(«„)) У(1 ) — «(«-) («(1>) — «(с')! -ь («( >) — У(:-)) Применяя к выражениям в квадратных скобках тсорему 21В- гранжа, получим (6 — «')«'(4 ) (1> — с)«'(с„*) -!- (г — х„)«'(4„) где хп < ~ь» < с, с < с,,*, < 6, так что сс> < ~",,",. В силу неубывания и положительности производной «'(х) можно записать, что О < < «'(св) < <«'(с,*,). Отсюда следует. что дробь в правой части (12.16) положительна и, кроме того, не превосходит единицы (ибо (6 — с)«'(~х) + (с — х»)«'((с>) ~ )((6 — с) + (с — сги)~)«(~») = (6 — х„)«'((В)).
Ст>ло быть. О < сг,„зг — х„< с — х„, т. е. х„<х„Ы <х. 3 В м е ч а н и с. 1. Мы рассмотрели сгучай, когти «'(сх) не убывает н положительна на [а„6]. Возможны еще три случая: 1) ~'(сг>) не во:>растает и отрицательна на (аз 6); 2) «'(х) не возрастает и !гол!>жигсгльна на (а, 6): 3) «'(:х) не ) бывает и отри!сит!;лг на, НВ )а, 1>1 Этг! три сггучая аналошгчны рассмотренному выше.
В с"гучае 1) уравнение «(х) = О, так же как и выше, заменяется уравненис м (12.14) и в качестве пулевого приближения берется хо = а (при этом пошпссовательность (х„) гакже оксгзьгвается нсубывгюгцсй). В схгучаях 2) и 3) уравггсггггс «(х) = О замсняется нс; уравнс'пнем (12.14), а уравнением х = 6'(х), где (а — х)«(х) «(а) — «(х) и в качестве нулевого приближения берется точка хо = 6 (при ЭТОМ ПОС-ГСДОВВТС=ГЫГОСТЬ (Хв) ОКВЗЫВВЕТСЯ ГП!ВОЗРВСТВК>ЩЕЙ). 3 а меч а ни е 2. Укажем, что дсгя метода хорд справедлива та же самая О!!сика (12.13) Отклонения:х, От корня с:, что и для метода кас:Втс льных, пгпклижшшык мктоды ГЛ.
Га 3 а м е ч а н и е 3. Нг! практике часто игпользун>т комбинированный метод, заклю шющийся в поочередном прнмененигг метода хорд н метода юн:а- тельных. Ради определенности предположим, что ~'(х) пе убывает и положительна на сегменте [О,!>] «рис. 12.6). Опрсдс.>им хг по х!столу касательных, взяв:)а нулевое щ)нОлижс'.Ии!1 точку !>. Пог:и! '-)тоХ2 Х4 го определим т:>, применяя меС ХЗ Хг год хорд, но не к сегменту «ач6], и к сегмептб [гл,хг].
ДаА л()е, Ощи)делим х) по методу касателытых, исходя пз уже Рис. 12.С найденного х!, .а х) по методу хорд., применяя !То к сегменту [хя, хз]. Указанный процесс иллюстрируется на рнг. 12.6. Преимущества комбинированного метода состоят в !меду!они)м: во-нерв!>х, Он дги)т более бьн;труа) сходимосг>ч чем к!Игод хорд, и, во-вторых, поскольку последовательные приближения хн п х„гг комбинированного метода с разных сторон приближан>тся к корню, то разность «!г.„гг — гг„! дает оценку погрешности этого метода. Если за приближенное значение корня взять х, = "" ""+, то для погрешности получим оценку а т,„ж и„+! )х„— с«( ~' "+ к 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 1.
Вводные замечания. При решегшн ряда актуальных фи')ическнх п технических за;1ач вст1х!!ак)тся Опреде.1ю!Ньк' 1пгтегралы от функций., нервообразнь!е которых не нь!рози~ионная через элементарные функцшг,. Крохкг того, в щ>иложегшях приходится иметь дело с опре)деленными интегралами. сами г!одь!г!теяральгняе функции которых не,явля>отел элементарными. Это приводит к необходимости ра)работки щ>нближенных методов вычисления определенных интегралов 1) В этом параграфе мы познакомимся с тремя наиболее употребительнымп приближенными методами вычи!меняя опреде- ) Заагетиаг, по приближенными методами часто иользуюгся н тля интегралов, выражаюганхся через злснентарные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
