Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 92
Текст из файла (страница 92)
й — !ос Р!. то сходимость ряда 2; рсй, ас!ечетп, за, собой сходимость рядсл ,=1 рс,! расходилссйсть 7зяда 2,' рй олечет за собой 7йасхос)имогть й=! й=! рлда 2, рсй. й:-1 Доказательство. Таккак 11ш —,"' =Л,то,ио Р! й-сьс Р!. онределениго нредес!а., для нс!которого е > 0 найдется номер с17 такой. что при 7г > Х 7 — Е( —, (Ь+Е. Р', Рй-';~ ( 7'1, ! Р! Р! 113.16) Тогда сходимость ряда 2 рсс, олечет за собой сходня!ость ряда й=1 2„рй: расходимосзнь ряда, 2 7!1, але сети за собой расходи,масть 1.=1 й —...! ряда 2, р„. й=! Д о к а з а т е л ь с т в о.
Занишеь! неравенство 113.16) для 1г = 1,2.....7! — 1, где и ллобой номер. Будем иметь Рс Р! Р Рс' Р!» ( РР— ! Р„ Стало быть, ври 1г > Х енрааедлнво неравенство рй ( !А+ е)рсс. Последнее неравс.нство совпадает с неравенством !13.15) прн с— = Л+ е. В силу заме тания 2 к теореме 13.3 следствие доказано. Теорема 13.4. Пусть 2, рс,- и 2 рй даа рядо, го строго й.=1 й.=1 т!олс!зсесстег!ьньсмт! членами. Пусть.
далее, длл асах номеров й етц ас!едс!ис!с! нерво енстпао 435 Рл!ДЫ О ПОЛОИСИТНЛЬНЫМИ '1ЛЕПАМИ Перемножая почлснно всс написанные нсравснства, получим Поскольку в последнем нсравснствс величина с = р)г)1)~) прсдставляст собгпл с)влвэюиапсяпи)ую г)глсгпглян))у)гл, нс завасяи)унл ока номера н, то. в силу замсчания 2 к тсорсмс 13.3с тсорсма 13.4 доказана. 3 а и с ч а н и с 3. В ус.ювии тсорсмы 13.4 можно трсбовать, чтобы нсравснство (13.16) бь).)о выполнено нс для всех номсров й. а лишь начиная с неквпюроав нглме1)гл й (ибо отбрасыванис коночного числа первых члснов нс влияет на сходимость 1)яда). Обо доказанныс в настоящем пунктс теоремы называют касглрсмамп сравнения, или признаками сравнения. Приводом примеры примснспия признаков сравнения.
1. Исо)сдусм вопрос о сходимости ряда гдс Ь>0. а=1 Если б < 1с то й-й член рассматривасмого ряда нс стремится к нулю при й — ~ ж. Стилю быть, нарушено нсобходпмос условие сходимости ряда и ряд рглгс рглд)лплгся. Ес.)и жс Ь > 1с то, поскольку для любого помора й справсд:п)во неравенство 1 1 <— 3 Ч- Ь' 1)л сс и поскольку ряд 2, — сходится, тсорсма сравнения 13.3 позво),л )с=) лист утвсрждать ггсодимость рассматриваемого ряда.
2. Исслсдусм вопрос о сходимости для любо! о о < 1 гг)сдую- щего ряда: — = 1 + — +... + — +... 113.17) )с =) Этот ряд часто лги )ыиают обвбпгеннмм гг)1)мггн)гчегелсгллс ут)1г)м. Поскольку при о < 1 для любого помора й справедливо нсра)лснс')'Во 1 1 — >— )с й 1 и посколькУ гаРмоничсскнй РЯд 2, — Расходитсл )с то тсоРсма й сравнения 13.3 позволяет утверждать расходпмость ряда (13.17) для любого сл < 1. ') Расхолимость гармоиичоского ри )а устаиоолоии в и. 2 1 1. 436 тногия числовых Рядов '~'1=1+1+1+..
(13.19) Теорема 1о.о (признак Даламбера) '). !. Если для всех номеров а:. лллгл по крайней мере нс»илния с некотороао номере, зз справедмлво зле!к>вез>с>тво Рлт> < 1 2) (Рзт» 1) (13 з20) Рл: ЗР, то ряд 2 рл сходится (1х>с:ходзлтсзя). П. Если существует, т>1>вдел, !зш 1>+> = А, (13,21) Ь вЂ” зж Рс- то ряд 2; рв схс>дзлтся, прзл Е < 1 гл 1асходзлтся при Е > 1.
Теорему П обычно называют >лрпзноквм Даламбера в пре: деленой форме. В атой форме он наиболее часто используется. Д о к а з а т с л ь с т в о, Разборок> отдельно теоремы 1 и П. 1) Для доказательства теоремы ! положим рь — — л)" (рл, — — 1). Тогда — ', = л).
здс >7 < 1 — ', = 1, н мы можем переписать Рлтз Рлт~ Рл, Р, неравенство (13.20) в виде Рз > з < Р>ке> (1>ат> > Ргт> (13.22) Ра Ре З Рл Рз ') Мак Ларси Даламбер фриш>узский математик и философ (1717 1783). гз ) При э>ом, коне шо, ирс,зпо»агаетсзз, что есе члеин ряда 2„' Рг (по краи>..з пей моро начиная с иокоторого номера) строго положите>и пм.
3. Признаки Даламбера и Коши. К признакам сравнения непосредственно примыкают два весьма употребительных признака сходимости рядов с положительными членами Даламбера и Коши. Признаки Даламбера н Коши основаны на сраззнсныя рассматриваемого ряда с рядом, составленным нз элементов гсомстри леской прогрессии, а именно со сходящимся рядом 1!в = с)+ л7 +л)' +... > ~>7~ < 1. (13Д3) в-1 нли с расходящимся рядом 437 ряды о полоисситнльными сзспслтси 1г (13 г24) Так как Рнд 2 Р>в.
совпадающий с РЯдом (13.18) ((13.19)), схоь=! дится (расходи!ся), то неравенство (13.22) на основании теоремы сравнения 13.4 гарантирует сходикюгть ?рас>ходиыость) ряда р>, Теорема 1 доказана. ь=! 2) >,окажем теперь теорему П. Если А < 1, то найдется полкж.напольное пк и е такое, что Л = 1 — 2е и Л+ е = 1 — е.
По определению предела последовательности д.тя указанного е найдется помер Х такой, что при Й ) Лс Л вЂ” с<Рв '"' <А+с=1 — е. (13.23) >л Число А + е = 1 — е играет роль с! в теореме 1. Ряд сходится. Если >ко ь ) 1, то найде>си с!алов>си>пель>сое чисо>о е >акое, что Л = 1+ е и Л вЂ” е = 1. В этом с' >учао на основании левого из неравенств (13.23) получим "" ) Л вЂ” е = 1 (прг! Й ) Х). Р!; Ряд расходится на основании теоремы 1. Теорема 13.5 полное гью доказана. Замечания к теореме 135. 1)Обратиывпиманиена то.
что в теореме 13.5 (?) неравенство ьы < с? < 1 (д>>я всех Й,. Р с. начиная с некоторого) нельзя зал!спит:ь на — ' < 1. Р!.+с Р! В самом деле, как доказано выше, гармонический ряд (13.12) рассходится„но для этого ряда — ' =- — < 1 (для всех номер!+! Й ря Й-ь ! ров Й). 2) Если в условиях теоремы 13.5 ?П) Ь = 1. то нельзя сказать ничего определенного о сходимости ряда (тс е, при А =- 1 признак ,'?аламбера, «не действустя). В самом деле. для гармонического ряда (13.12) Л = 1, причс>м этот ряд.
как мы знаем, расходится. Вместе с тем для ряда Й=! также Ь = 1, во этот ряд, как будет показано в слсдующеь! пунк>с, сход>лтся. Тео?>ема 13.6 (признак Касаи). 1. Если для осях >сомерг>о Й, или по крайней мере начиная с некс>торс>го номе!а Й, справедливо неро,венство И~ < с? < 1 («с,>Рв в) 1), (13.25) то ряд 2, р!, .схс>дится ?расходится). ь=! ткория числовых рядов ГЛ.
13 П. Если глушестврет, предел (13.26) 1(гп ььг?зя = Л. я —,х 7зь < )зг (ря ) ре) (13.27) '1ак как ряд 2; р', совпадающий с рядом (13.18) ((13.19)), схоь дится (расходится), то неравенство (13.2?) на основании теоремы сравнения 13.3 гарантирует гходимость (расходимость) )»да 2 7я Я-1 Теорема 13.6 (1) доказана. 2) Для доказательства теоремы 13.6 (П) следует дословно повторить схему доказательства теоремы 13.5 (П), заменив во всех рассуждениях + на игры р~ Теорема 13.6 1юлностью доказана. Замечания к теореме 136. 1)Какивпредыдущсй теореме, в теореме 13.6 (1) неравенство "'/7зя < с) < 1 нельзя заменить на,се?оь < 1.
2) При Л = 1 признак Коши в предельной форме «не дсйствустгс Можно сослаться на два примера. указанные в соответсгвующсм замечании к признаку Даламбера. 3) Возникает вопрос о том, какой из двух признвков, Двлвмборв или Коши, является более сильным. Проанализируем зтот вопрос в отношении признаков Двлвмборв и Коши.
взятых в игзсдслгика форме. пожив доквзать, что из существования предела (13.21) въинеяав а сищссщвсвонис предела (13.26) и факт равенства э1пих пределов. (Доказательство приведено в доно:шепни 1 к зшй глава.) Обратное паперно. В сизым доло, легко убелиться в том. что для 1щдв ~- (-1)ь+ 3 2ьы (13. 28) продел (13.26) существует и рввоп 1/2, в то время квк предел (13.21) вообще пс существует. Таким образом, признак Коши является более сищ пым, чем признак Даламбера, ибо всякий риз. когда дайс« вуот признак Двлвмборв, дсяствуот я признак Коши и вместо с том сущосзвушт ряды (пвпримср, ряд пю ряд 2 тря сходится при А < 1 и, ршходится при Ь ) 1.
Я=1 Теорему П обычно называют признаком Коши о п7зедельной форме. Д о к а 3 а т с л ь с т в о, Разберем отдельно теоремы 1 и П. 1) Для доказательства теоремы 1 положим 7зг~ — — ц~ (7згя — — 1). Тогда из неравенства (13.25) получим Ру!ды О ПОлОукительными "1леийми (13.28)). л;ш которых действует признак Коши и пе действует признак Даламбера. Носк!от ря на зто, признак Даламбора на практике употробляотся чаше, чем признак Коши.
П р и м с р ы. 1) Исследуем вопрос о сходнмостн ряда (13.29) й=! Применим признак Даламбера в предельной форме. Имеем рй = (%)' р... („%чТ)й" й! 1 ~ 1Тй12 '11+ / — й! рй — (й,,)! ( й.,л - й+1~ Б (13.30) На основании (13.30) й,Л2 1шл — = 1ш 1лл.+л 1 / 1 ( 1+- й-лос !» й-лх;%+Т 1, йl 1л йл2 = 1шл 1шл (1+ — ) = 0 хллс! — 0 ( 1л й — лес л/Й, +Т й — лес т.
е. ряд (13.29) сход!тлея. 2) Изучим вопрос о сходимостн ряда Š—," (13.31) й-= ! Применим признак Копш в предельной форме. Имеем йлй= 2 ~й (13.32) На основании (13.32) 1шл ллулй = — 1шл лл1л = — с 1 ). Таким л, 1 . лл- 1 лл — лх 2йчсс 2 образом, признак Коши устанавливает сходнмость ряда (13.31). 4. Интегральный признак Коши — Маклорена. Признаки Да:щмбера н Коши оказываются непригодными для выяснения вопроса о сходимости некоторых часто встречающихся рядов с по:южптельными ч,и!нами. Так, например, с помощью этих признаков нельзя выяснить вопрос о сходнмостн обобщенного гармопнческого ряда (13.33) (сл — любое вещественное число).
') Д.пл вьлчистопия 1лш яо' слолует протогарифллллроватл выраккопис я йе и применить правило Ловителя, 440 ткогня чис ловых гядон гл. 1з зс «'(к) = «(т) + «'(т, + 1) + «(т+ 2) +... (13.34) И.=~а сходится в том и только в том случае, коееЭа сушеспвует пре- дел пуни п — ~ оо последовательности о ао = «(х) дх, ть (13. 35) Д о к а з а т с л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
