Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 96
Текст из файла (страница 96)
В самом де;и, всякий раз, когда признак Далаъ<бера или Коши констатирунт расходимосз.ь ряда из модулей 3 ~пъ~, й-й член ряда (13.76) и< не <=1 гтромится к пулю при А -з сс, т. е. Ряд (13.76) расходитгя. В качеггве примера установим, ч<о ряд ъ У1(-1< расходизся для люоого фиксиро<и/ ь —.1 ванного значения х, удовлетворяющего неравенству )х' ,> е. Пол <еркнем, что непогр<дственная проверка того, что 1<-й член рис< магриваемого ряда не стреъ<ится к нулю при у -з ж, является ветру.<нительноя.
Применим к рассматриваемому ряду признак Даламбера. 0<хлначая и-й член я<ого рв~а<в<~ !х/ !аъ~-<~ /х/ да чоре< а<з будем иметь = ., откуда 1ш< = — > 1. ~о< ) 7 1 1 <*'-ъ )аъ( '1'+ -) Расходиъих ть ряда доказана. 466 ГЛ. 1З ткория числовых рядов Л о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 13 14. Пусть дан ряд (13.77) и известно, гго потледовательность (рл) является невозрастающей и бесконе шо малой. Частичную сумму этого РЯДа ЧС1ПНОЕО ПОРЯДКа Юга МОжНО:1аннеатЬ В ВИДЕ ~2.
= (Р1 — Рг) + (Рз — р1) + + (рза 1 — рза) (13.78) Так как каждая круглая скобка в (13.78) нсотрицепнелг на '), то ясно, что при возрастании н последовательность (Яза) не убыеа,еш. С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, Ьга Межие ПЕРЕПИСатЬ В ВИДЕ 'тга, Р1 (Р2 Рз) (Р1 Хгз) (Р2а — 2 Р2а — 1) Р2а~ откуда очевидно, что для,чюбого номера и будет 52а ( р1. Таким образом, последовательнтк:ть чегннвы: частичных сумм,92а не убывает и ограни тена сверху. В силу теоремы 3.15 эта последовательность сходится к некоторому чи1лу Ь', т.
е. 1пп 92а =- Ь'. а-тоо ИЗ ОЧЕВИДНОГО РаВЕНСтВа Яза 1 = Яза + Рга И ИЗ тО1.О, ЧтО 11ш,11га = О, вы11.кает. что и по121едова111.1ьнос1ь а,— еоо ЧаСтИЧНЫХ СУММ (Яга 1) СХОДИТСЯ К ТОМУ жс ППШУ Я, т. Е. 11п1 Ьза 1 =- Ь'. '1аким образом, вся шк пдоваге.тьность 1Ьа) а — ево сходится к Я.
3 а м е ч а н н е '2. Прн доказательстве теоремы 13.14 мы обнаружили, что последовательность четных части шых сумм (%а) сходитсЯ к пРе 1елУ Я не Убыиил. Аналогично пз Равенства ~2 — 1 = Р1 — (Рз — Рз) — (Хгз — Рз) — .. — (Рг. -г — Рза-1) вытекает, что по< чедовательность нечетных ча1тичных сумм (52а 1) сходится к пределу Я не воарпстаи Таким образом, для любого номера и ога а о ~ ~т2а — 1 ° (13.
79) Посколысу Я а 1 — Ьза = рга из неравенств (13.79) вытекает, ЧтО Я вЂ” Ьа ( Рга И Яга 1 — Я ( Рза ( Рза 1. ТЕМ СаМЫМ МЫ полу ием„что для любого номера и справедливо неравенство (5а —,8'( ( ра. (13.80) Неравенство (13.80) широко используется для приближенных ВЫЧИ12И 1Шй С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ. В ка 1естве примера рассмотрим уже неоднократно фигурировавший выше ряд +' '+...+(-')' '+... (13.81) Л 2 3 4 Л: В=1 ' ) Всаедствие того, что (ре) ве возрастает, т. е.
р1 )~ р1еь ( б ИРизнАки ОхОдимООти НРОизВОльпых РЯДОВ 457 Зам(зтит(, что ряд (13.81) яйляется рядом Лейбница, а поэтому сходимость его вытекает из теоремы 13.14. Пусть, например, нужно вычислить сумму ряда !13.81), т. е. число 1п2, с точно- 1 стькз до —. В силу оценки (13.80) эта сумма с требуемой точ10и 1 1 1 1 ность10 совпадает с 8(Й = 1 — —.
+ — — — +... — —. 2 3 4 10 и 2. Признак Дирихле — Абеля. Для установления егце одно- ГО тонкоГО п)зизпйка сходитигсти )гядОВ Выведем Одно инте)зесное тождество, представляюп(ее собой аналог формулы пнтегрироВания по частям. Пз сть п1, п2, пз ~... ~ 111 ~ И2, Раз ~... " ' соВершенно ПРОИЗВОЛЬНЫЕ (ИСга, Яа = из+ й2 +...
+ ип, Гг И Р вЂ” ЛЮбЫЕ НО- й(ера. 'Г(ггд(а сиргаведливо сл(здзю(це(з Тождество; и-(-р а-1-р — ! ийпй = ~~1 Ъй(пй — ой 1.1) + Я(г, па рр — би..гп(г. !13.82) й=а й=п Тождеств(г (13.82) обычно называют пго(гю()есгг((зол( Абеля '). Вывод тождества Абеля. Учтет!.чтоий= = 8й — Ой. 1, и подставим это значение ий в левую часть !13.82). Получим и -(.Р ~ '((!Спй = ~ гй(гй ~ Ой -1пй ° й=а й' =- а й=-и В последней сумме уменьшим на единицу индекс суммирования )с. Получим и,-(-р и+р гррр — 1 Е ыйий = ~ Ой(гй — ~, 8йей+1 = й=и й — а й — а"1 а-1-р — 1 и-~-р-1 Рйвй + Оа-(рва-~-р ~ Ой(гй+1 Ои — 1 Пп п(.р.-1 '8й(((гй (гй (1) + ба-рр(зп-рр 8р~ — 1пп ° й.-а ') Г('чи равенство 113.82) переписать в виде и ер » -1- р — ! Е я(!ой — ой () = 5 +рви р — о„— ((ы — ~~ Б(1(гть( — ий), й-и то ггвновится очввпднырл, (то преобразовании Абгля являвтся по сущрс гну формулой суммирования по частям, представляющая собою рачностный аналог форл(улы интегрирования по частяи(.
468 тьювия числовых рядов ГЛ. 1З 34ы получили выражение, совпадающее с правой частью (13.82). '1ет1 самым тождество Абеля доказано. Теорема Хо.1б (признак Дирихле-Абеля). 11устпь дан Хулд ~~у иьиь. (13.83) ь! Этот, рлд свод«алел, если гютолнеугм следу«1щис дсю условия; 1) нослсдооатс1льность (оу) лоллетеа нсьч1араспщющсй 'и б1хнонгчно м11лой1 2) ряд 2,' иу имстп ограниченнут тсосмвдооатсльность чай--1 тпичнь1х сумм. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Обозначим Яа н-ю частичную сумму ряда 2 а1,. По условию существует такое чи1 ю ЛХ > Ь=1 > О, что (Я„~ < ЛХ для всех номеров и. В силу критерия Коши достаточно доказать, что для л«1оого е > О найдется номер 1у такой, что при н > Л1 и для любого натурального р (13. 84) иуиу < ю ь=ь Пусть дано люоое е > О. Так как последовательность (оь) являе'гся 01'скош'.
1но малой и не Возрасти!т, то для полоткительного числа: найдется номер Л1 такой. что 2ЛХ О<иь<: (прин>Ж). 2ЛХ (13. 85) Применим теперь для оценки величины, стоящей в левой части (13.84), тожд1 ство Абеля (13.82). Учитывая, что модуль суммы 1«:сколькик вели щн не превосходит суммы их модулей, модуль ПРОИЗВЕДЕНИЯ РаВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ МОДУЛЕЙ И Чта иу > О1ььу, ПО- лу щм ь-1-р а-Рр — 1 иуоу < ~ )Яь)(иу — иуу1)+(Яа,р/иалр+(Яь 1)иь.
(13.86) ь.= а у — -а В правой части (13.86) вос1юльзуемся неравенством ~Яь~ < ЛХ, справедливым длл, осах номеров и, Получим а«р а-~-р — 1 ивиу < М ~~У (Оу — иЬ..1) + иа Н + Миа. (13.87) у=а у=а 1 ь рп изнлки сходимости ри оизвольпых рядов 459 п-~-р Х: иггий < 2М1ло (13.88) '1епергн есчи в правой части (13.88) воспользоваться неравенством (13.85), получим, что нри и ) Х и для любого натурачьного р справедливо неравенство (13.84). Теорема доказала. 3 а и е ч а и и е. Теорема 13.14 (прпзнак Лейбница) является частным случаем теоремы 13.15 при ') иь = ( — 1)й П р и м е р ы. 1. Исследовать на сходимость следующий ряд: 1+ — — — + — + — — — +...+, + — — +... 1 2 1 1 2 г 2 3 4 З 6 Зп — 2 Зп — 1 Зп Указанный ряд можно рассматривать как ряд вида (13.83) при 1 ий = —, и1 = 1, .ия = 1, из = — 2., и1 = 1, из = 1.
ие = — 2, ... й' Очевидно, что: 1) ряд 2; ий обладает ограничентю11 поспедовай=1 тельностью частичных сумм: Я1 =- 1, 52 =- 2, Яз = О, Ь1 = 1. Яз = 2, ле = О.....: 2) последовательность (иг) не возрастает и является бесконс--пю малой. По теореън. 13.15 рассматриваемый ряд сходится. т ~ совйв 2. Вьшсним вопрос о сходимости ряда ~ ' ', где л — некой-;. ~ торос фиксированное вспгественное число. Пользуясь обозна иь виями теоремы 13.15, т1ложим ий = созйл, ий = 1/й. Оценим последовательность частичных сумм Яп ряда 2, ий.
Поскспьку й=1 для любого номера й вш(й+ -)л — яш~ й — — )л = 2ьйп'— , сов йл, г) то, суммируя зто соотноп|ение по й от 1 до т~,, получим в1гг(г1+ -) л — чш -л = 2 ьш —,' ~ гов йл = 2Яп нш 2) 2 2 "' 2 ') Очевипно, что рвд г ит = г 1 — 1) ' = 1 — 1 -ь 1 — 1 -ь .. нмеег т.=1 г=-1 ограниченную последоватю~ьность частичных сумхь Дгглее, заметим что сумма, стоя|пан в фигурных скобках, точно равна ип.
В таком случае неравенство (13.87) принимает вид 460 трория чис ловых рядов гл. <а Отсюда й 6. Бесконечные произведения 1. Основные понятия. К понятию числового ряда близко примыкает понятие бесконечного ч полозово г<ро<гзесдсг<от<. Пусть дана бесконечная чи<шовая по<шедовитсльность сг, <г2,...., о<<,... За<<<<санное формально выражение вида и, йоа.,. ' ... — П . (13.89) прггнят<г ~аз~на~~ бесконечным т<1<оозоеденпсл<.
Отдельные злементы оь принято называть членами данного бесконечного произведения. Произведение первых и членов данного бесконечного произведения принято называть гг-м «итичным произведением и обозна шть символом Рп; а да <<<<22 ° ° <'и П <ЗЬ. Л=1 Бесконечное произведение (13.89) называют сходни<имел, е«ти последовательность частичных произведений Ра имеет конечный предел Р„отличю«2 о<и пуля<).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
