Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 95
Текст из файла (страница 95)
— 617 оказалась меньтпе Л. Затем снова добавим 1)ОВНО с7110лько положит ни ных 1:11 и!)в рс 1, пт) ' г...,, р)в чтобы общая сумма рт + ра + + ртс, — ут — уг — — Чяг + +рв) е)+... +рв) оказаласт. больше Е. Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы получим бесконечный ряд, в состав которого войдут Все члены исходного ряда (13.61), ибо каждый раз нам при!!с тся добавлять хонга бы одт!н. положительный или отрипательнь)й )лен исходного ряда. Остается доказать. что полученный ряд схот!нтся к Л. Заметим. что в полученном ряде последовательно чередуются грутть! 7)с)лс)снст!)иег!ьныхт и крути!ьт с)тп1)7)ттитсвльт!ых членов. Если !асз и шая сумма по чученного ряда закан швангся т)лностьн) .завершенной, грушит', то отклонение этой частичной суммы от числа Л не превосходит модуля пос !еднего его члена !. Если же частичная сумма заканчивается не иолносп!ьн) сзиесртисзнной вру!той, то отклсшепие чтой частичной суммы от числа Л не превосходит модуля последнего члс'на предпоснтс)71!зс)Й из г1зупп.
Для установзития сходихи)сти ряда к Е ги)статочно убелиться в том, тто модули пос.ипших членов групп образуют бесконечно малук) последовательность, а зто непосредственно вытекает из необходтлмого ус п)вия сходихикти исхо,шаго ряда (13.61). Теорема Римана доказана. 3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. В предыдущем пункте мы доказали, что ус.юсто ст:ос1яирлйся ряд не обладает перел!егпмннельт*ь)м снойстпно,,и.
В этом пункте мы докажем. что дл„я, сп)такого абсолтоттю стодмцеснн:я ряда с)7)рятсзедАт!Сзс) 7!Сй)елт(стт!т!тнельт!Ое с)ноисвпно. Теорема 13.11 (теорема Котин). Если данный ряд сходи!вся с)бсолнтгно, то лн)бсзй рлд, 1)с)лученнтгитт, ин данного ряда 7)оср!'.дшттном нсзкотпо1)с)71 7)ерсзсзтнстнс)с)ни !7)сзт)ВВ. та!ивсе сходитпся абсолн)птно и имети тпу хсе сумму. чпто и, данный ряд. ,1 о к а з а т е .и ь с т в о. Пусть ряд (13.64) Я=1 ') Ибо мы 1!обавляем в даннщо группу )лены ровно 1!о тек пор, пока общая сумма л!)е перейдетк через число А.
13 йнсолготно н мслонно сходурщинс11 ряды 451 сходится аосолютно н су'.1ма етого )зяда )завив Я. Пусть., далее. (13.65) ряд, полученный из ряда (13.64) посредством некоторой перестановки членов. Требуется доказать: 1) что ряд (13.65) сходится и их1еет сумму, равную Я; 2) что ряд (13.65) сходится абсолютно. Докажем снабжала 1). Достаточно доказать, что для любого е > О найдется помер 1з' такой, *но при и, > Лг (13.66) Фиксируем произвольное е > О. Так как ряд (13.64) схо11ится абсо:потно и имеет сумму„равнукз Я„то для выб1ранного е > О можно указать номер Дга такой, что будут справедливы неравен- ства гувйр Е )иа) ( — (р — любое натуральное число) (13.67) 2 й=к -~-1 И уо '~ ' п1 - Я < -', '). 2 й=1 (13.68) Выберем теперь номер Х столь болыпим, чтобы дк1бая 1асти 1ная сумх1а Я„' ряда (13,65) с номером п, пр1 восходя1пим Х, спде11оюггла осе торные ДГ6 членов 11яди (13.65) ). 011еннм разность, стоящую в левой части (13.66), и докажем, что при и > Х для чтой разности справедливо неравенство (13.66).
В салюм деле, уьазаннун1 разность можно представить в вн;и п. и гге гго п~ — Я = ~~~ иг — ~ и1, + ~~1 иг — Я . (13.69) 1=1 й=-1 й=-1 1=1 ') Номер Же в неравенствах (13.67) и (13.68) можно взять один и шот оме. В самом .1еле, предварительно записав указанные два неравегптва с разными номерами Хв. мы затем можем взюь наибольший из двух номеров %>.
) Такой номер йй выбрать можно, ибо ряд (13.66) полтчается ггз ряда (13.64) посредством некоторой перестановки членов. 452 тгогия чис ловых гядов ГЛ. 13 Так как мо,туль суммы двух вели.шн не превосходит суммы их модулей„то из (13.69) получим и п ?УО ~ ?У?? и~ — Я ( ) и?. — ~? и1. + У ие — Я . (13.70) И:?неравенств (13.68) и (13.70) очевидно, что для доказательства неравенства (13.66) достаточно доказелаь что при и > 7?7 в -"~'?? Х: -Š— ( 2 (13. 71) ь=! Ь=.1 Для доказательства неравенства (13.71) заметим. что при и ) Х первая пз сумм, стоящих в левой части (13.71), сод??ро?с??т всв 7?7о первых членов рядо (13.64).
Вследсгвие этого резвость ?? ?иа Еиг-Е??Ь (13. 72) ?уо 7? ?еь ,',— '~«, ( Ь=? Г=-? 1=72?-~-1 (13.73) Из неравенств (13.73) и (13.67) вытекает перавенство (13.71). Тем самым доказано неравенство (13.66), т. е. доказано, что ряд (13.65) сходится и имеет сумму, равную К Остается доказать утверж,1ение 2) о том, что ряд (13.65) сходится пбсолт?ино.
Доказательство эт?п.о утверждения следует из утверждения 1). если его прим? нить к рядам и ~ !ил!. (13.74) При этом ь?ы докажем сходимость второго из рядов (13.74), т. е. докажем абсолн?тную сходихпхть ряда (13,65). Теорема 13.11 полностью доказана. вреди?авляет сэбой сумму (и, — ?1?о) членов ряда (13.64) с номерами, коо?еды аз кот??рь?;г пр??в??сходи?п Л~?.
Если выбрать натуральное р столь большим. чтобы номер 7?7о + р ??ревгнходил номера всех (и — Х??) членов ?полько ч??ш ?7кавонной срмлгь?, то для разности (13.72), во всяком случае справедливо неравенство ОПЕРАЦИИ НАД СХ()ДЯЩИМИС7! Рг!ДАМИ 433 ~ 4. Арифметические операции над сходящимися рядами В зтом параграфе мы рассмотрим вопрос: о возможности по- ЧЛЕЕШОГО СЛОЖ("НИЯ И ПЕЕРЕ!МНОЖЕЕНЕ!и СХОДЕПДИХСЯ РЯ!!ОВ.
Теорема 13.12. Если два ряди ~ и!. и ~ е!ь с;годятся г=е ! — — 1 и илнют суммы, соогпвенестяенно равные сг и Ег. то и ряд 2, (иг х 'ия) сходтт!я и. имеет срлллг11, равную (Е х Ег. я=1 Д о к а з а т е. л ь с т в о. Обозначим и;е частичные суммы рядов 2 иг, 2 иг и 2 (Ееь х иг) соо~~е~с~~енно '!(71кез бггг, 'Гп И Ов. ТОГДа, О и!ВИДНО, Ов = Ога Х !Гп. Тан КаК 11Ш Гв = ЕУ., и — ех 1!ш Ъв = 17, то, согласно теоремам 3.9 и 3.10, существует предел ге — е х 1ПП Оп = Сг Х Г.
1ЕОрЕМа дОКаваив. и — ех Такиле ггб1яеезгглг гинбь!е г!г!Егдяи!иееся ряды можно пвчленнв складьгвать и, вычлепготь. Переходя к вопросу о возможности почги;нного перемножения рядов, докажем следующее узве'рждение. Теорема 1а.1а. Если дог!, ряда ~ и! и ~ ое еходятея абг=! Е=! солнптно и нменлт, гл(лгмы„совтеветственно раен!хе П и 1сг Епо ряд, сосЕпавлегнньи! иг всегх 7!ргн!(ге!!дени(! вида и! ОЕ (Й = 1.
2,...:, 1 = 1. 2,... ), вг!нрлгеровт!е!ни(ге в каком цгодно порядке, пеакже сг;одьипся абг:г!люгпсго 'и (!го с!!ммг! 1хеепгг! С71 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим чеРез иг!. ига, игг,... произведения вида и!77! (й = 1, 2....; 1 = 1, 2..... ), занумсрованные в каком угодно порядке. Докажем, что ряд 2 )иг!) Сходится.
7,— 1 ПуСтЬ Ог, 71-я ЧаетИЧНая СуММа ЗтОГО ряда. СуММа О'„, СОСтОИт из членов вида (исо!(. Среди индексов ЛЕ и 1 таких членов, вхоДЯЩих В сУММ1 оп ° наиДет(Я е!Еигбгм!!гение! Вн,!Скс, кот(ЕРый мы ОООзва'!им '1(грег! 711,. 10гда во Всяком с(1у Еае'. Ег, ( ((!и1! + )е!г/ +... + ~гггп~)(1171~ + 1иг~ +... + ~7>ггг~). (13 75) В правой части неравенства (13.75) стоит произвег!енпс.' т-х частичных сумм ря;!ов 2 )и!.! И,) (и!(. В силу сходимости указанных рядов с положительными членами все их частичньнг с:уммы (а стало быть., и их ир(!иге(где!не!Ее) гггдяееи! !Сны.
Поэтому ограни; 454 твовия числовых гядов ГЛ. 13 чена и по(щедовательность части [ных сумм 1о,„,). я это и доказывает сходимость ряда 2; (и[(. т. е. абсвлюн[ную сходимость ряда 2 и[,. Остается доказать, что погследний ряд имеет сумму Я, равную [У'['. Так как этот ряд сходится абсолютно, то в силу теоремы 13.11 его сумма Я нв зависит вт, порядки., в котором лгь[ егв суммируем.
1~акую бы мы ни взяли последовательшх:ть (а стало оыть, и пвдпвследвв[зп[ельнвс[пь )) частичных сумм этого 1[ ряда, она сходится к чиг.[у Я. Но в таком [[зучас сумма Я ряда 2 ю, заведомо равна И', ибо именно к этому числу схо,[птся [=1 пвдноследввательнвсть И'л, частичных сумм этого ряда вида И'т = (и[ + и: +...
+ и„[)(в[ + пи +... + в,„), Теорема 13.13 доказана. 3 а м е [ а н и е. Произведение рядов ~~[ ив и ,'[ вь ь=-[ ь=[ для многих целей удобно записывать в виде и, ~па = и[в[ + (н[ви + пав[) + + ([[[вь [ + + иь [в[) + Отметим без доказат[щьства, что ряд, полученный почлснным [и;ремножением двух рядов указанным щи[циальным образом, сходится и в случае, когда только один из двух перемножаемых рядов [х[ыится абсолютно (а другой ряд может при этом сходиться только у[ыовно). В [ [учае, когда оба ряда сходятся у[ловле, почленное перемножение их даже по этому правилу приводит, вообще говоря, к расходящемуся ряду. я 5. Признаки сходимости произвольных рядов В 3 2 мы у[тановили ряд признаков сходимости для рядов с п[злвз[сн[п[м[ьнь[л[и [лвнамн. В этом парю рщ)[е мы изу п[м вопро[.
о признаках сходимости для рядов с членами любого знака. Итак, пусть (13.76) иь ь=[ ') В силу п. 1 ~ 4 гл. 3. 1 б пе'изиАки схОДимОсти пРОизВОг!ы1ых РЯДОВ 455 )зяд. <лены кото)того имеют каки<! ) годно знаки. П)л<жл<! Вс<<< о, заън.тим. что дзгь! установления абсолюта<ю<й сходнмостн что!о ряда. т. с. для установле<шя сходимости ряда и положителы<ыми оп'не<к<и /ий/, в — ! можно применять з<юоой из признаков 3 2 (признак Днле<х<бера, Коши. Раабе или интегральный признак).
Однако ни один из указанных признаков не дает возможности выяснить более тоня<ей вопрос об условной с<еодимост<л ряда (13.76) '). Ниже мы и займемся отысканием более тонких признаков, позволъпотцих устанавливать сходимость ряда (13.76) и в тгх <лу<нях, когда этот )зяд 1и явля<!тон абсолютно схо,[ящиьп:я. 1. Признак Лейбница.
Признак Лейбница относится к весьма распространенному ча<<гному виду ряда (13.?6), к так называемому знакочередую<иемуся ряду. Ряд называется;такочереду<ощил<ся, с<!ли члеззы гаого ряда поочер«дно имеют то положительный, то отрш<ательный знаки. Знакочередуюп<ийгя ряд удобно записывать так, чтобы были выявлены знаки всех его членов, т. с. в виде , + рз „, + (-1)"-'р, +..., (13.77) где вге рв > О. Теорема 13.11< (приэнак Лейбница). Ясли ччения знакочередую<цегося, ряда. будучи <злят ы по ягоду.лю. образуют неооз)изстаюа<ую бесконечно малую иоследотгтельностач то этот ряд сходит,ся. о и и <'. ч а и и е 1. Ряд, удовлетво)зъ<юший 1< зовиям те!о)з<".ъ<ы 13.14, часто ннзывают рядом Лейбница, Заметим, впро.н<м, что признаки Даламоера и Копти можно приъпня<в длл <ус<ппновлснял расходнмостп ряда с злвнс лт любава знака (13.76).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
