Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Абсолютно и условно сходящиеся ряды 1. Понятия абсолютно и условно сходящегося ряда. 1внер» мы перейдем к нзучс!нню рядов, члены которых являкзтся веглественнымн числами любого знака. Определение 1. Будем назывонпь 1!яд (13.49) !! ! За та принимаем в<ю гумму ~ рю г —.! тио! ия числовых гядон Гл. та а б с о л, ю т, и, о с х о д,я сй и м с я, если(, сход(инея ряд (ил(. л=ч (13.50) 1( , (е. я=п-(-! (13. 51) Фиксируем лктбое е > О. Так как ряд (13.50) сходится, то, в силу теоремы 13.1, найдется номер Ю такой, что для всех номеров и, удовлетворяктщих ус!повию и ) (лт, и для любого натурального р )вл! < е. (с.— -пс! (13.52) Имея в виду.
что мо„:(улп суммы нескольких ела(немых не пре- восходит суммы их модулей, можем записать лир тт( (13.53) у=п-~-! л=((-(-! Сопоставляя щ рав(тнства (13.52) и (13.53), получим неравенство (13.51). Т(.орема доказана. Определение 9. Ряд (13.49) навывиетпся у с л о в и о с и од я (ц т(,,м с я, если ги(ютп, ряд сход(пася, в тпо время как ((оот; ветен((й((кт(ций ряд пв модулей (13.50) расход((тт(ся. Примером абголнттю(о сход(пц((гася ряда меже(т ивужить ряд =1 — — + — — — +..., Где((>1.
Е (-!)" ' к" 2" 3" 4 г=-! Этот ряд сходится абсолютно, ибо при ст > 1 сходится ряд (13.33). Приведем пример условно сходящегося ряда. Докажем Заметив(, что в зтом определении ни ито не сказано о том, предполагается лп при ятом сходимость самого ряда (13.19). Оказывается.
такое предположение оказалось бы излишним, ибо справедлива следующая теорема. Теорема 1о.в. Ив сходимосп(и ряда (13.50) вып(екаеп(, сходил(ость ряда (13А9). Д о к а ! а т е и ь с т в о. Воспользуемся критерием Еоши для ряда (т. е. теоремой 13.1). Требуется доказатьч что для любого е ) 0 найдется номер (лт такой, что для всех пох(еров и, удовлетворяющих условию и ) Х, и для любого натурального р 13 АйсО2НОтнО и УслОВКО схОД1!ЩиесЯ РЯДЫ 447 условиук! сходимость ряда Х: =1 — — + — — — +...+ +... ( 1)"- ! ! 1 (-П -' l! 2 3 4 и Ь вЂ” 1 (13.54) Так как соответствун)щий рш! Из модулей (га1гх!Оиический ряд), как мы уже зпаем, расподигпся. то для доказательства условной сходимости ряда (13.54) достаточно доказать, что этот ряд сходится.
докажем, что ряд (13,54) сходится к чис:!у !и 2. В и. 2 3 15 гл. 8 мы получили ра;шожеиие по формуле !1аклорепа функции 1п(1 + в) ! ! 1 (1 + ,) =:; — †', + †" — †' + ... + (-1)" ' †' +В,н (:). (!3.55) 2 3 4 и Тах! же для всех т: и ! сегмента 0 < л < 1 получена следующая оценка оста!очного члена: !Ппэ 1(т)! < Полагая в формулах (13.55) и (13.56) я = 1, будем иметь 1п2 = 1 — — + — — — + + Лп~~(1), 1 1 1 ( — 1)"' 2 3 4 где ~Лп.„(1)~ < или 1 — — + — — — +...+ ~ — !п2 < [ --- '1 1 1 1 ! Ц"' '1, 1 3 ! '' ! и -'; 1 Обозна !ая через о„г!-к> !астичиую сумму ряда (13.54), мы можем переписать последнее неравенство в виде (Яв — !п2( < Таким образом, разность 5п — 1п2 предо!авляет собой бесконечно мвлук! последовательность, Это и доказывает сходимость ряда (13.54) к числу 1п2.
2. О перестановке членов условно сходящегося ряда. Одним из важисйших свой!ств суммы ковечпого числа вещественных слагаемых является переьчесттпельвое свойство. Это свойство утверждаег. !!о от перестаиовки слагаех!ых суу!ма ве меняется. Естественно, возникает вопрос, остается ли справедливым зто свойство для суммы сходящегося ряда, г. е. моясегп ли !ьэменипиьсл сйл!мо сгодли4егосл ряда ош перестпаповгп! членов ьтпого ряда? В этом пункте мы выясним этот вопрос в отиошевии условие сходлп1еаося рлдп,. Мы начнем ваше расытрен ив с изучения некоторой конкретной перестановки членов ряда 448 тьоОВИЯ ЧИС ЛОВЫХ ГЯДОВ ГЛ. 13 '1 =-~:(21'1-4.' 2-4'-) =- 1=1 т т ~ (41 — 2 41) 2 ~ (21.
— 1 11 1 ) — Я~в ° 21) 2 Итак, 1 Взв, = р92во (13.58) Далее, очевидно, что у 1 1 Язт — ! = о2 + 2 4т / / 1 4т — 2 Поскольку !пп о2 = Я, в пределе при гн — 1 т — ~х (13.58), (13.59) и (13.60) получим (13 59) (13. 60) оо из формул '93ш, ~" 1пп 'аозт — ! '9: 11п1 ~зт,— 2 г 1 ° ~ 1 ° ! 1 т — ~х зш' 2 ' т-чж 'т 2 ' т — ех '™ 2 Тем самым окончательно доказано, что ряд (13.57) сходится и 1 имеет сумму, равнун) — Я. Поскольку Я = 1п2 .ф 0 ясно, что 2 -Я 7': Я.
Стало бьггь. в резйльгпвгпе йказиннвй вьгше переспш- 2* невки членов сумме, йсловнв скодяи1севся рлдв (13.54) изменилась. Рассмогренный нами конкретный пример показывает, что (13.54). Для удобства запишем ряд (13.54) в виде 1 — — + — — — +... + — — +... (13.56) 1 1 1 1 1 2 3 4 21 — 1 2lг В копне предыдущего пункта мы доказали, что ряд (13.54) сходится устовно и имеет сумму 9 = 1п2. Переставим теперь члены ряда (13.54) так, чтобы после одного положительного члена стояли два отрипательных члена. В резу.п,тате такой перестановки о1енов получим ряд 1 1 1 1 1 (' 1 1 11 2 4 3 6 8 (,2й — 1 41 — 2 41/ Докажем, что полученный в результате указанной перестановки членов ряда (13.54) ряд (13.57) сходится и имеет сумму, вдвое меньшунх чем ряд (13.54).
Будем обозначать 2п-е частичные суммы рядов (13.54) и (13.57) символами Я„и Ь" соответственно. Можем записать: !а АВООД1ОтнО и УО„1ОВнО ОхОДЯШиеОЯ РЯДЫ 449 усе!ОВНО сход51щийся р)1д не облидссепс 7)ерелсссс)71)ттптестьтсьсм своп; ствол(.. Полную яс;ность в вопрос о влиянии перестановок членов на сумму ус:воино сходящегося ряда вносит следующее замечательное утверждение, принад.
и;жащс е Риману Теорема 13.10 (теорема Римана). Есллс, ряд сходипюя условно, псо. киково бы нтс, было наперед ввяп)ое число Л, мои(Оно птк 7)ерс)стас)с)!стив члены отоео рлди„чтиобм 7!рвс)б1кь)с)всшнь(11, ряд сход(тлея к 'сисл1! 1, 1оказа тельство. Пусть (13.61) с-.— ! произвольный условно сходящттйся ряд. Обо)начим через рт(ри,ра....
посо()ссптпсльнмсс "тсньс ряда (13.61), выписанные В з'акоьт порядксь В какОм Они ст05!т В атом р51де. а 'н'.рез (11. ()и. ()а,... модсрти отултцительнах "слет)в ряда (13.61), выписанные в таком же порядке, в каком они стоят в зтом ряде. Ряд (13.6Ц с'одержит бесконечное 'тсло как 7)олс)с)ссисттельньсх, тс)к и (Втдиицсгтельны 7 членов. ибо если бы членов одного знака оыло кон() 1ное 1и(сло, то, ОторОСНВ не Влив!о!!!(1(1 на схОдимос'ть конечное чисто первых членов.
Мы бы пол!чили ряд. состоящий из членов одного знака, для которого сходимость означала бы с)бс)с)лн)тнрн) сходимость. Итак, с рядом (13.61) связаны два бесконечных ряда с полос)тителлттсылстт членами 2; рт,„и 2, 'д!. БуЯ=1 Ь=! дем обозначать первый из зтих рядов символом Р, а второй .- СИМВОЛОМ (ь). ЗОКВЖЕМ, 110 Ооа РЯДа 1 И !ь) ЯВЛ5ПОТСЯ РВСХО,)51- щимися. Обозначим символом зт( 71-10 части шую сумму ряда (13.61).
символом Р„сумму всех положительных членов, вхоДЯЩих в зн, символом бь)н сУхтх(У моДУлей всех отРипате)тьных членов, входящих в Ост. Тогда, очевидно, зт( = Рн — с,)ст, и так как по условию ряд (13.61) сходится к некоторому !пслу 9, то (13.62) 1!!П (Рн — б)н) = О. С другой стороны. так как ряд (13.61) не сходится стбс)олтн)сси(о( 10 1ПП (Рн + Сс)о) = ОС. (13.63) н — ьк Сопоставляя (13,62) и (13.63). !толу шм 1РН! Рп = ж.
1Пп Щ) = 7( — ) ос а -5 К .— -- Ос, т. е. доказано. что оба ряда Р и б) расходятся. Из расходи- мости рядов Р и с~ вытекает, сто даже после удаления лк)бого конечногО шс"та первых члеен)В зтих рядОВ„мь) мож(ты Взять из оставтпихся членов как ряда Р., так и ряда б) столь болыпос. 1В В.А.
Ильпн, Э.!1 Позняк, часть 1 Г:1. 13 тг:ОРия "!11ст!ОВых РядОВ число чти нов, что их сумма прев,зайдет лк)бое наперед взятое число. Опираясь на этот факт, докажем, что можно так перс ставить тены исходного ряда (13.61)., что в результате получится ряд, сходя1цийся к наперед вз)ггому числ!' м.
В самом дел!'., мы получим требуемый ряд счедун)щим абра:юм, С!зачат!а выберем из исхо,пюго ряда (13.61) ронни сгп)олька погтожительных членов Р),Рг,Рг....,Р!ч чтооы их сУммаР)+Р)+...+Р!., ИРевзошла А. Затем;!обавим к выбранным .ше!)аь! раино 1:п)илько отрицатсл)— ных иденов — й), — стг,..., — йят, !!Обь! общая сумма рт+рг+... ... +ру) — ут — дг —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
