Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 97
Текст из файла (страница 97)
В случае сходиъпн:ти бесконечного произведения (13.89) указанный пйгедел Р называют зночекеш<м зтоео б<юхонечл<оно <гроиз<зедег<ил, т. е. пишут Р=П- (13.90) 11 ) Тот факт, что при Р = О бесконе шов произведение принито считать расхедлщпмсл, хотя и носит условный характер, но, как мы увидим пижо, позволяет провести четкую аналогию а<ежду сходимостью рядов и бесконечных произведений.
1< . х ып и, -<- -)х — вш 2 х<п —, 2 Таким образом, для любого х, нс критноео 2<г, по< чедоватсльность исти шых сумм Яг< ограничена: Ф.~ < < (вш 2 Т1о теореме 13.15 рассматриваемый ряд сходится длл любого знпчен:пл х, нс ьтхгпгг<оео 2<т. Енти же х хрп.т:но 2<<, то рассмат1зиваемый ряд пригв1за<пается в га1<мони «.ский и, как до«азы<о выше, рп,с,содптсл.
16 ВЕСКОНЕЧШЫЕ Н!'ОИЗВЕДЕН!45! П . Х Х Х .< сов — = сов — сов — ...сов — ' 2< 2 ' 4 ''' ' 2< '' я=! (13.91) (х л1ООО» фиксирОванно<1 'шсло) . Докаж»я<, си< бесконечно» произведепи» (13.91) схо.<итси и яа х имеет значение — '. Подсчитаем и-е частичное произведение Х' Рв: сов сОв, сОв 2 2 ''' 2»' (13.92) Умножая обе части (13.92) на вш — ' и последовательно исполь- 2"' зуя формулу для синуса двойного угла вш2у = 2 в<в усову, по- ЛУ 1ИМ х 1 Р„вш — = — вш х.
2" 2 Подчеркнем, что равенство (13.90) имеет смысл лишь для сходяпитося бсгсконечного произв»дения. Ясно, и о рассмотренис. бесконечных произведений по существу представляет собой новую форму изучения ниловых последовательностей, ибо каждому данному бе»коне шому произведению однозначно соответствует последовательность его частичных произведений и каждой числовой последоват»льности (Рь<5, вге элементы которой отличны от нуля, однозначно соответствует бесконечное произведение, для которого эта по<ледовательность являетея посл<.';Н)ватель<их:т< ю части'п1ых прОИ:<в<'.д<<ний (достатОчнО Р< положить члены бесконечного произведения равными вг,, = — ' .!'<-! при 1< ) 1 и 'в< — — Р< ).
'Хеорема 13.16. Необходимый условием сходимостп бгг,конечного произведен я (13.89) является стремление к единице его Й-го ч,.лена ири Й вЂ” 5 сю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть бесконечное произведение (13.89) сходится и имеет значение Р. отличное от нуля. Тогда, Р,. 1пп Ря.< = 1ш< Рь = Р у= О. Поскольку вг =, то 1<ш вя я <~ к. <ы< " Р<. < я-эвс существует и равен одинице.
Замегим. <то на сходимся:ть бесконечного произведения нв ел<гнет, удаление любого т<нечногв числа членов этого произв»депия (если, кош;чно, среди этих членов нет равных нулю). Поскольку бескоп»чпое произведение, у которого хотя бы один член равен ну.чю, согласно принятому выше пир<<делению, считается расход5ивимся, то мы в дальней<нем вообще исключим аз рг<самотрс<ни<1 б<кквне гни<с нроазс<еденая., у которых хотя бы один член равен нулю.
Примеры бесконечных произведений. НЕСКОНЕЧНЫЕ НПОИЗВЕДЕНИЯ 1 и В случае схпдимпстп сумма Я рлдп, (13.94) и значение Р пра- изведенгия (13.89) связаны формулой (13.96) Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначив через Ри и-е частичное произведение бесконечного произведения (13.89), а через Яп и-ю частичную сумму ряда (13.94), можем записать бл = 1п Р„, В силу непрерывности показательной функции для всех значений аргумента и непрерывности логарифми геской функции для всех положительных значений аргумента, последовательнск:ть 1'а сходится тогда и только тогда, когда сходится 5,„.
причем если !пп Ял =- Ь', то !!ш Р„= е~. Теорема оказана. н-~~ " ~~-эх При ис< недовании па сходимость бесконечного произведения оююывается о юнь удобным представить это бесконечное произведение в Виде П (1 + иь) = (1 + ич )(! + нг) ...(1 + иь) .. ь.—.л (13.96) При этом. конечно, в соответствии с принятым выше предположением, мы считаем, что все иь > — 1. Теорема 13.17 утверждает, что воп!эос о сходиьпк:ти произведения (13.96) эквивалентен вопросу о сходимости ряда ~ 1п(1 + иь). ь=-~ (13.97) иь я=я (13.98) Д о к аз а г е л ь с т в о. Поскольку условие !пп ив=О явь-эсо ляется необходимым и для сходимости ряда (13.98).
и для сходимости произведения (13.96), мы можем считать это утгчовие выполненным как при доказательстве необходимости, так и прп доказательстве достато гностик Но из указанного условия и из Теперь мы можем доказать с!це одно утверждение. Теорема 13.18. Если все иь (по крайней мере на пинал с некоторого номера. Й) сохраняют один н тпт псе знак, то для сходилсости бесконечного произведения (13.96) непбходн но и досн~ипгп"чнп, чгпабеэ сходами:я ряд ткогия числовых гядов асимптотической формулы 1) !гт11+ у) = у+ о(д) вытскаег, что 1п 11 1- иг.) 1пп ь — гж ги 113.
99) й(" )=")("-,')("-,') (" ) ь=! и(-,.',)=(--,')(- ) (-,'„) Легко понять. что первое из указанных произведений рггггходггтся к +ос. а второе к нулкг. 2) Из той же теоремы 13.18 и из сходимости ряда 113.33) прн сг > 1 вытекаег схо,гимость при о > 1 гыедующих бесконечных гг1гоггзведений: П( 1 ) ( 2")( 3 ) ( Й") ь=г Так же как и лля рядов, для бесконечных произведений вводится понятие абсолютной и условной сходимости. Бесконечное произведение 113.г96) называется абсолюгнно сходягоплгся в том и только том случае, когда сходится абсолютно ряд 113.97).
Теоремы Коши 13.11 и Римана 13.10 позволяют зак.почитгы что ') Сч. 1 7 гл. 4. 1пп " = 1. 113.100) Ь >~ 1а11 -Ь иг) Поскольку по у<гловию теоремы все ч.,и;пы рядов 113.г97) и 113.г98), начиная с некоторого номера 1г, сохраняют о.гин н тот же знак, условия 113.99) и 113.100). в силу следствия из теоремы сравненггя 13.3, позволяют утверждать, что ряд 113.98) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд 113.97). Теорема доказана. П р и м е р ы.
1) Из расходимости гармонического ряда и из теоремы 13.18 вытекает расходпмость <глг дующих бесконечных произведений: теория числовых рядов ГЛ. 13 3'. Полагая в разложении (13.102) т =- эггг2„получглуг Л вЂ” 1 1=1 гг=1 О'г'г:го;га получается так называегмая фо1элгдэга Вгыгэггэгга ) гг 'П (21') 2 2 4 4 2Л 21 (13.104) 2 ~~ (21 — 1)(2йо 1) 1 3 3 о 2й — 1 2Л -1-1 1=1 Путем несложных преобразований формулу Валлиса можно привести к виду гг 1 2эь(Лг)э 2 — 1(пг 2 Л-..г~ 2й -1-1 [ (211) (13.104е) Первоначально формулу Валлиса использовалн для приближенного вычисления числа эг.
В настоящее время для вычисления числа я существунгн более аффективные метгьды. Формула Валлиса (13.104) представляет интерес для ряда теоретических иссл<здований ). ДОПОЛНЕНИЕ 1 ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ и. 3 у 2 Теорема 13.хр. Пусть рг, — какие угодно полоэмгэтальггме числа 7оеда, если гнддесгпьуега предел !шг — ' = Лч рь-г-г рь (13.105) то сугдсгипвует и предгл 11ш ьгрь, п1гиче.м справедлива г)гоумула, Л: — г 1гш ггрь = 1пп — = б.
Рг+г рг (13. 106) ') Джон Валлис английский математик (1616 1703). э) В частности, она может быть использована для установления так называемой формулы Стнрлинга (см. часть 2 настоящего курса), Джемс Стирлинг . английский математик (1692-.1770). 'з) Подчеркнем, "ыо зто утверждение имеет и самостоятельный интерес. Д о к а з а т е гг ь с т в о. Прежде всего докажем следующее вспомогато гьног утверждение э): если последовательность пхглээюительггмх чисел ам аз,...,иь, .., гхгодатся к некоторому числу б, гпо к этому же чис- луГ Ь сходится и последэвагпггльггость средних есометричесжих этих чи- Г = Э ..:Бь.лк *.
*. ек заметим, что в силу непрерывности логарифмической функции для б ) 0 1гпг 1паг = 1п7. (Последнее равенство формально справедливо и прн й =.О, 467 ДОПОЛНЕН!!Е 2 когда 1п б = — схэ.) Но гогда по теореме о пределе среднего арифметического (см. дополнение к гл. 3, пример 1) существует предел 1па~ -1- 1паз -1-... + !вал. л л Ссз,...и = 1' = 1аб. Л гь й (Последнее равенство справедливо и при б =- О, когда 1пй — — — ю.) Из последнего равенства, в силу непрерывности показательной фуньпии, по. сучнлс з Есаг ..% = з С ' .,: ...яо = " ' = л.
ыь л -э (Эти рассуэкдения справедливы и при 7 = О.) Вспомогательное утверждение доказано. Применяя зто утверждешзе к рз рз рс числам аз = рм а = —, аз = —,.... ал, =,..., мы установим сущер сгвование предела !шл ллл1эмл зл равенство (13.!06).
Теорема (13.20) доказана. ДОПОЛНЕНИЕ 2 РАЗЛОтКЕНИЕ ФУНКЦИИ вши Б БЕСКОНЕс!НОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Ради удобства разобьем вывод формулы (13.102) на отдельные пункты. 1'. Пусть т - любое полооюигаельиое нечетное число: т = 2п + 1. Прежде всего докажем, что для любого отличного от Ьг (й = О, ж1,...
) значения О ) справедлива с.юдующая формула: 1\ вштВ я1злзО вше О я1а О т — 1 в!гз (13.107) Для установления форлкльз (13.107) будем исходить из формулы Муавра (см. Зз 1 гл. 7) сов тО -1- з влп пзО = (соь О -1- з вш О) "'. Расписывая правузо часть этой формулы с помощью бинома Ньютона и сравнивая лзнилсые части, получим пл(нл — 1)(т — 2) — з з в1пэглО = тсоя"' Оя(пб — ' сов ' ' Выв О -1- ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
